1、第四节 逆矩阵第一章三、小结一、逆矩阵的概念和性质二、逆矩阵的求法一、逆矩阵的概念和性质 定义定义 对于对于 阶矩阵阶矩阵 ，若存在一个，若存在一个 阶矩阵阶矩阵 则称矩阵则称矩阵 是是可逆可逆的，并把矩阵的，并把矩阵 称为称为 的的逆矩阵逆矩阵.nAB,EBAAB BAnA使得使得.1 AA的逆矩阵记作的逆矩阵记作例例 设设,21212121,1111 BA,EBAAB .的一个逆矩阵的一个逆矩阵是是AB说明说明 若若 是可逆矩阵，则是可逆矩阵，则 的逆矩阵是的逆矩阵是唯一唯一的的.AA若设若设 和和 是是 的可逆矩阵，的可逆矩阵，BCA则有则有,ECAACEBAAB 可得可得EBB BCA
2、 ABC .CCE 所以所以 的逆矩阵是唯一的的逆矩阵是唯一的,即即A.1 ACB定理定理1 1 矩阵矩阵 可逆的充要条件是可逆的充要条件是 ，且，且 ,11 AAAA0 A证明证明若若 可逆，可逆，A.EAAA 11使使即有即有, 11 EAA故故. 0 A所所以以 nnnnnnAAAAAAAAAA212221212111称为矩阵称为矩阵 的的伴随矩阵伴随矩阵A.)(的代数余子式中元素表示矩阵其中ijijijaaAA,0时时当当 A nnnnnnnnnnnnAAAAAAAAAaaaaaaaaaAA212221212111212222111211AAaAaAann 1112121111AAaA
3、aAannnnnnnn 2211, AAAAEAEAAAAA ,EAAAAAA .1AAA 按逆矩阵的定义得按逆矩阵的定义得证毕证毕.,0,0非非奇奇异异矩矩阵阵称称为为时时当当称称为为奇奇异异矩矩阵阵时时当当AAAA 奇异矩阵与非奇异矩阵的定义奇异矩阵与非奇异矩阵的定义.为为非非奇奇异异矩矩阵阵是是可可逆逆阵阵的的充充要要条条件件是是由由此此可可得得AA, 1 EBA, 0 A故故,1存存在在因因而而 A于是于是EBB BAA1 ABA1 证毕证毕 .,1 ABEBAEAB则则或或若若推论推论证明证明1A E 1.A 说明：说明：，若要证1 AB.EAB 即要证 且且可逆可逆则则数数可逆可逆
4、若若, 0,2AA 且且亦可逆亦可逆则则为同阶方阵且均可逆为同阶方阵且均可逆若若,3ABBA 1111 ABBAABAB1 AEA,1EAA .111 ABAB证明证明 .111 AA 逆矩阵的运算性质逆矩阵的运算性质: .,1111AAAA 且且亦可逆亦可逆则则可逆可逆若若 .1212 AA推推广广1AmA1 mA1 1A111ABAB TTTAAAA11 TE ,E .11TTAA .,0,10kkAAEAA 定义定义时时当当另外另外证明证明 为正整数为正整数k .,4AAAAT 且且亦可逆亦可逆则则可逆可逆若若TT1 1 115,AAA 若若 可可逆逆 则则有有证明证明EAA 111 A
5、A11AA 因因此此有有为整数时为整数时当当, 0 A, AAA . AA 1201,2,0,isAisAAAA 若若则则并并有有.21 sAAAA ,621 sAAAA设设1 1 1 1 1122000000000000ssABABAB .0000002211 ssBABABA例例1 1 设设,0112 A.的逆阵的逆阵求求A解解设设 是是 的逆矩阵的逆矩阵, dcbaBA则则 dcbaAB0112 1001 100122badbca利用待定系数法利用待定系数法二、逆矩阵的求法二、逆矩阵的求法 , 1, 0, 02, 12badbca . 2, 1, 1, 0dcba101.12A 例例2
6、2 求方阵求方阵 的逆矩阵的逆矩阵. . 343122321A解解1232212343A 0, .1存在存在 A, 2341211 A, 3331212 A同理可得同理可得, 2, 6, 6, 223222113 AAAA, 2, 5, 4333231 AAA,222563462 A得得故故 AAA11 22256346221.11125323231 ,331212321 A.1151531132 B解解331212321 A010430321 ?,是否可逆下列矩阵BA例例3 30143 4 , 0 .A可可逆逆所所以以, 0 1151531132 B由于由于.B不不可可逆逆故故,130231
7、,3512,343122321 CBA例例4 4 设设.CAXBX 使满足使满足求矩阵求矩阵解解, 02343122321 A, 013512 B.,11都存在都存在 BA,111253232311 A且且,25131 BCAXB 又由又由1111 CBAAXBBA.11 CBAX于是于是11 CBAX 251313023111125323231E 2513202011.41041012 证证明明, 022 EAA由由 EEAA2 得得, 0 AEEAA 212 EAA.,2,:, 022并求它们的逆矩阵并求它们的逆矩阵都可逆都可逆证明证明满足方程满足方程设方阵设方阵EAAEAAA 例例5 5
8、.可可逆逆故故A1 A .211EAA 022 EAA又由又由 0432 EEAEA EEAEA 3412.EA可可逆逆故故2 EAEA34121 且且.43AE 12 EA , 13412 EAEA证证, 可逆可逆由由CB, 0 CBA有有.可逆可逆得得A,1 YWZXA设设.000 EEYWZXCDB则则 .,ECYOCWODYBZEDWBX .,1111OWDCBZCYBX,0BDABCC 例例6 6 设设其其中中 和和 都都是是可可逆逆方方阵阵.,1 AA并求并求可逆可逆证明证明.11111 CODCBBA因此因此三、小结逆矩阵的概念及运算性质逆矩阵的概念及运算性质. 0 A逆矩阵的计
9、算方法逆矩阵的计算方法 ;21AAA 利用公式利用公式逆矩阵逆矩阵 存在存在1 A ;1 待定系数法待定系数法 .3下一章介绍下一章介绍初等变换法初等变换法思考题?,11 BAYBYABAXBAXA是是否否有有唯唯一一解解矩矩阵阵方方程程是是否否有有唯唯一一解解那那么么矩矩阵阵方方程程可可逆逆若若解:.1的唯一性决定的的唯一性决定的这是由于这是由于是的是的 A, 0! 5 A因因解解.1存在存在故故 A.50000040000030000020000011 AA求求已已知知 1.1.11000001 2000.001 3000001 4000001 5A 714121,61ABAABAA且且.B求求ABABAA61 ABAEA61 EBEA61 .611 EAB解解:,满满足足关关系系设设三三阶阶矩矩阵阵BA2.2.11000100017000400026 16000300016 16000300016 610003100016.100020006 116 EAB3. 3. 设设,120130005 A.1 A求求解解 120130005A,21 AOOA ,51 A,12132 A;321112 A;5111 A 12111AOOAA.3201100051
