1、第五节 线性方程组的有解判别第二章二、二、 线性方程组的解法线性方程组的解法一、一、 线性方程组有解的判定线性方程组有解的判定三、三、 小结小结引例引例 求解线性方程组求解线性方程组 , 97963, 42264, 42, 224321432143214321xxxxxxxxxxxxxxxx134221分析：用消元法求解分析：用消元法求解)1(解解)1(21132 , 97963, 232, 22, 424321432143214321xxxxxxxxxxxxxxxx13422 132 33 14 , 3433, 6355, 0222, 424324324324321xxxxxxxxxxxxx
2、1342 , 3, 62, 0, 42444324321xxxxxxxxx13425 221 33 422 , 00, 3, 0, 4244324321xxxxxxxx134232 443用用“回代回代”的方法求出解的方法求出解于是解得于是解得 33443231xxxxx.3为任意取值为任意取值其中其中x方程组的解可记作方程组的解可记作或令或令,3cx ,3344321 cccxxxxx.为任意常数为任意常数其中其中c 30340111cx即即消元法解线性方程组消元法解线性方程组11112211211222221122nnnnmmmnnma xa xa xba xa xaxbaxaxaxb 始
3、终把方程组看作一个整体变形，用到如下三种变换：始终把方程组看作一个整体变形，用到如下三种变换：（1）交换两个方程的位置；）交换两个方程的位置；（2）用非零常数乘某个方程；）用非零常数乘某个方程；（3）一个方程的）一个方程的k倍加到另一个方程上倍加到另一个方程上在上述变换过程中，未知量并未参与运算，仅仅在上述变换过程中，未知量并未参与运算，仅仅只对方程组的系数和常数进行运算只对方程组的系数和常数进行运算显然上述三种变换都是可逆的显然上述三种变换都是可逆的由于三种变换都是可逆的，所以变换前的方程组与由于三种变换都是可逆的，所以变换前的方程组与变换后的方程组是同解的故这三种变换是同解变换变换后的方程
4、组是同解的故这三种变换是同解变换线性方程组线性方程组11112211211222221122nnnnmmmnnma xa xa xba xa xaxbaxaxaxb 线性方程组的线性方程组的系数矩阵系数矩阵111212122212nnmmmnaaaaaaAaaa 11121121222212nnmmmnmaaabaaabBA baaab线性方程组的线性方程组的增广矩阵增广矩阵对方程组的变换完全可以转换为对增广矩阵对方程组的变换完全可以转换为对增广矩阵B的初等行变换的初等行变换 .01nARxAnnm 矩矩阵阵的的秩秩的的充充分分必必要要条条件件是是系系数数有有非非零零解解元元齐齐次次线线性性方
5、方程程组组定定理理一、线性方程组有解的判定条件的解的解讨论线性方程组讨论线性方程组的秩，的秩，和增广矩阵和增广矩阵如何利用系数矩阵如何利用系数矩阵bAxBA 问题：问题：证证必要性（反证法）：必要性（反证法）： ,nDnAnAR阶非零子式阶非零子式中应有一个中应有一个则在则在设设 ( (根据克拉默法则根据克拉默法则) )个方程只有零解个方程只有零解所对应的所对应的 nDn有非零解，有非零解，设方程组设方程组0 Ax这与原方程组有非零解相矛盾，这与原方程组有非零解相矛盾， .nAR 即即( )R An 所所以以不不能能成成立立，充分性：充分性： ,nrAR 设设.个自由未知量个自由未知量从而知其
6、有从而知其有rn 任取一个自由未知量为，其余自由未知量为，任取一个自由未知量为，其余自由未知量为，即可得方程组的一个非零解即可得方程组的一个非零解 .个非零行，个非零行，的行阶梯形矩阵只含的行阶梯形矩阵只含则则rA证证必要性：必要性：,有解有解设方程组设方程组bAx ,BRAR 设设则则B B的行阶梯形矩阵中最后一个非零行对应矛盾的行阶梯形矩阵中最后一个非零行对应矛盾方程，方程， .,2的秩的秩阵阵的秩等于增广矩的秩等于增广矩矩阵矩阵的充分必要条件是系数的充分必要条件是系数有解有解元非齐次线性方程组元非齐次线性方程组定理定理bABAbxAnnm 这与方程组有解相矛盾这与方程组有解相矛盾. .B
7、RAR 因此因此并令并令 个自由未知量全取个自由未知量全取0 0，rn 即可得方程组的一个解即可得方程组的一个解充分性：充分性： ,BRAR 设设 ,nrrBRAR 设设证毕证毕个非零行，个非零行，的行阶梯形矩阵中含的行阶梯形矩阵中含则则rB其余其余 个作为自由未知量个作为自由未知量, ,rn 把这把这 行的第一个非零元所对应的未知量作为行的第一个非零元所对应的未知量作为非自由未知量非自由未知量, ,r小结小结有唯一解有唯一解 nBRAR nBRAR 有无穷多解有无穷多解定定义义：含含有有参参数数的的方方程程组组的的任任一一解解，称称为为线线性性方方程程组组的的通通解解齐次线性方程组齐次线性方
8、程组：系数矩阵化成行阶梯形矩阵，：系数矩阵化成行阶梯形矩阵，便可写出其通解；便可写出其通解；非齐次线性方程组：非齐次线性方程组：增广矩阵化成行阶梯形矩阵，增广矩阵化成行阶梯形矩阵，便可判断其是否有解若有解，便可写出其通解便可判断其是否有解若有解，便可写出其通解.m nAxb m nAxb （未知量的个数）（未知量的个数）例例1 1 求解齐次线性方程组求解齐次线性方程组1234123412342202220430 xxxxxxxxxxxx 解解 341122121221A 463046301221二、线性方程组的解法施行初等行变换：施行初等行变换：对系数矩阵对系数矩阵 A 00003421012
9、21 00003421035201即得与原方程组同解的方程组即得与原方程组同解的方程组13423452034203xxxxxx 112212314252,342,3,xccxccxcxc ).,(43可可任任意意取取值值xx由此即得由此即得134234523423xxxxxx 形式形式，把它写成通常的参数，把它写成通常的参数令令2413,cxcx .1034350122214321 ccxxxx例例 求解非齐次线性方程组求解非齐次线性方程组 . 3222, 2353, 132432143214321xxxxxxxxxxxx解解对增广矩阵对增广矩阵B进行初等行变换，进行初等行变换， 322122
10、351311321B 104501045011321 200001045011321, 3)(, 2)( BRAR显然，显然，故方程组无解故方程组无解例例 求解非齐次方程组的通解求解非齐次方程组的通解.2132130432143214321 xxxxxxxxxxxx解解 对增广矩阵对增广矩阵B进行初等行变换进行初等行变换 2132111311101111B111100024100121 2 11011 200121 200000 , 2 BRAR由于由于故方程组有解，且有故方程组有解，且有 2122143421xxxxx1242243244241 20021 20 xxxxxxxxxxxx .
11、02102112000011424321 xxxxxx所以方程组的通解为所以方程组的通解为.,42任意任意其中其中xx例例 求求出出它它的的一一切切解解在在有有解解的的情情况况下下，是是有有解解的的充充要要条条件件证证明明方方程程组组. 054321515454343232121 aaaaaaxxaxxaxxaxxaxx解证解证对增广矩阵对增广矩阵B进行初等行变换进行初等行变换 123451100001100001100001110001aaaBA baa 1234511100001100001100001100000iiaaaaa 510iiR AR Ba 方程组的增广矩阵为方程组的增广矩阵
12、为. 051 iia是是方方程程组组有有解解的的充充要要条条件件原方程组等价于方程组原方程组等价于方程组121232343454xxaxxaxxaxxa 由此得通解：由此得通解： 544543354322543211xaxxaaxxaaaxxaaaax .5为为任任意意实实数数x510iia 在在方方程程组组有有解解的的情情况况下下，例例 设有线性方程组设有线性方程组 23213213211 xxxxxxxxx?,有无穷多个解有无穷多个解有解有解取何值时取何值时问问 解解 21111111 B21111111 作初等行变换，作初等行变换，对增广矩阵对增广矩阵),(bAB 22221101101
13、1122223110110021 22112100111011 ,11时时当当 111100000000B ., 3 方方程程组组有有无无穷穷多多解解 BRAR其通解为其通解为 33223211xxxxxxx .,32为为任任意意实实数数xx ,12时时当当 22110110021B 这时又分两种情形：这时又分两种情形： :, 3,2)1方程组有唯一解方程组有唯一解时时 BRAR .21,21,212321 xxx .,故故方方程程组组无无解解BRAR ,2)2时时 112403360003B 111111A 221解法二解法二)系数矩阵的行列式系数矩阵的行列式021A 1)1)当当即即且且时
14、时由由克克莱莱姆姆法法则则可可知知方方程程组组有有唯唯一一解解 2123111,222xxx 2)2 当当时时3)1 当当时时211112121124B 112403360003 111111111111B 111100000000 nBRAR 有无穷多解有无穷多解bAx 非齐次线性方程组非齐次线性方程组m nAxb 齐次线性方程组齐次线性方程组0m nAx nAR 0Ax 只只有有零零解解 nAR 0Ax 有有非非零零解解三、小结Axb 有有唯唯一一解解 nBRAR Axb 无无解解 R AR B （未知量的个数）（未知量的个数）（未知量的个数）（未知量的个数）思考题.,?,12105, 3
15、153, 363, 1324321432143214321求求出出一一般般解解况况下下情情在在方方程程组组有有无无穷穷多多解解的的有有无无穷穷多多解解有有唯唯一一解解方方程程组组无无解解取取何何值值时时当当讨讨论论线线性性方方程程组组tptxxxxxxpxxxxxxxxxx 思考题解答 tpB121051315133163113211解解112310242204660061291pt 11231012110022400035pt ;, 4)()(,2)1(方程组有唯一解方程组有唯一解时时当当 BRARp1123111231012110121100024000120003500001Btt有有时时当当,2)2( p;, 4)(3)(,1方程组无解方程组无解时时当当 BRARt1123110008012110120300012000120000000000B 且且., 3)()(,1方程组有无穷多解方程组有无穷多解时时当当 BRARt此时， 组为组为与原方程组同解的方程与原方程组同解的方程).(203801204321Rkkxxxx 12348232xxxx 故原方程组的通解为故原方程组的通解为
