1、第三节 克拉默法则第一章二、二、一、克拉默法则一、克拉默法则三、小结三、小结一、克拉默法则如果线性方程组如果线性方程组)1(22112222212111212111 nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa的系数行列式不等于零，即的系数行列式不等于零，即nnnnnnaaaaaaaaaD212222111211 0 312123,.nnDDDDxxxxDDDD其中其中 是把系数行列式是把系数行列式 中第中第 列的元素用方程列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的组右端的常数项代替后所得到的 阶行列式，即阶行列式，即jDDjnnnj ,nnj ,nnnj ,j ,jaaba
2、aaabaaD11111111111 那么线性方程组那么线性方程组 有解，并且解是唯一的，解有解，并且解是唯一的，解可以表为可以表为 1证明证明 njnnjnnnnnjjnnjjnnAbAxaxaxaAbAxaxaxaAbAxaxaxa221122222221211111212111 得得个个方方程程的的依依次次乘乘方方程程组组列列元元素素的的代代数数余余子子式式中中第第用用,1,21nAAAjDnjjj再把再把 个方程依次相加，得个方程依次相加，得n11111nnnkkjkjkjjknkjnkkka Axa Axa Ax 1nkkjkb A 由代数余子式的性质可知由代数余子式的性质可知, .
3、, 2 , 1njDDxjj .DDx,DDx,DDx,DDxnn 232211,Dxj的系数等于的系数等于上式中上式中 ; 0的系数均为的系数均为而其余而其余jixi .jD又等式右端为又等式右端为于是于是 2当当 时时,方程组方程组 有唯一的一个解有唯一的一个解0 D 211111nnnkkjkjkjjknkjnkkka Axa Axa Ax 1nkkjkb A 由于方程组由于方程组 与方程组与方程组 等价等价, 2 1故故312123,.nnDDDDxxxxDDDD也是方程组也是方程组 的解的解. 1二、重要定理定理定理1 1 如果线性方程组如果线性方程组 的系数行列式的系数行列式 则则
4、 一定有解一定有解, ,且解是唯一的且解是唯一的 . . 1 1, 0 D定理定理2 2 如果线性方程组如果线性方程组 无解或有两个不同的无解或有两个不同的解，则它的系数行列式必为零解，则它的系数行列式必为零. . 1)1(22112222212111212111 nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111设线性方程组设线性方程组,21不全为零不全为零若常数项若常数项nbbb则称此方程组为则称此方程组为非齐次线性方程组非齐次线性方程组;,21全为零全为零若常数项若常数项n
5、bbb此时称方程组为此时称方程组为齐次线性方程组齐次线性方程组.非齐次与齐次线性方程组的概念对于齐次线性方程组 2000221122221211212111 nnnnnnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa定理定理 如果齐次线性方程组如果齐次线性方程组 的系数行列式的系数行列式 则齐次线性方程组则齐次线性方程组 只有零解（没有只有零解（没有非零解）非零解）. .0 D 2 2定理定理 如果齐次线性方程组如果齐次线性方程组 2有非零解有非零解, ,则它则它的系数行列式必为零的系数行列式必为零. .120nxxx一一定定是是它它的的解解这个解称为齐次线性方程组的零解例例1 用克拉默法则解方程
6、组用克拉默法则解方程组123412423412342583692254760 xxxxxxxxxxxxxx 解解6741212060311512 D212rr 24rr 127702120603113570 12772121357 212cc 232cc 277010353 2733 ,27 67402125603915181 D,81 67012150609115822 D,108 60412520693118123 D,27 07415120903185124 D,27 , 3278111 DDx, 42710822 DDx, 1272733 DDx. 1272744 DDx解解 1111
7、32421D 03310121111 齐次方程组有非零解，则齐次方程组有非零解，则0 D所以所以 或或 时齐次方程组有非零解时齐次方程组有非零解.20 ,3 123123123124023010 xxxxxxxxx 例例2 问问 取何值时，齐次方程组有非零解？取何值时，齐次方程组有非零解？ 23 1. 1. 用克拉默法则解方程组的两个条件用克拉默法则解方程组的两个条件(1)(1)方程个数等于未知量个数方程个数等于未知量个数; ;(2)(2)系数行列式不等于零系数行列式不等于零. .2. 2. 克拉默法则建立了线性方程组的解和已知的克拉默法则建立了线性方程组的解和已知的系数与常数项之间的关系系数与常数项之间的关系. .它主要适用于理论推它主要适用于理论推导导. .三、小结思考题当线性方程组的系数行列式为零时当线性方程组的系数行列式为零时,能否用克拉默能否用克拉默法则解方程组法则解方程组?此时方程组的解为何此时方程组的解为何?不能不能,此时方程组的解为无解或有无穷多解此时方程组的解为无解或有无穷多解.思考题解答
