1、 对所研究的随机变量进行重复独立的观察，对所研究的随机变量进行重复独立的观察，利用观察值对随机变量的分布作出推断。利用观察值对随机变量的分布作出推断。u总体分布类型的判断；总体分布类型的判断；u总体分布中未知参数的推断总体分布中未知参数的推断 假定某市成年男性的身高服从正态分布，假定某市成年男性的身高服从正态分布，希望得到平均身高希望得到平均身高m m： m m的大小如何的大小如何； m m大概落在什么范围内；大概落在什么范围内； 能否认为能否认为某一说法成立某一说法成立（如（如 m m 1.68）。）。 第一节 点估计第三节 估计量的评选标准第四节 区间估计第五节 正态总体均值与方差的区间估
2、计第六节 （0-1）分布参数的区间估计第七节 单侧置信区间第一节第一节 点估计点估计 假定某市成年男性的身高服从正态分假定某市成年男性的身高服从正态分布，希望得到平均身高布，希望得到平均身高m m，如何估计？，如何估计？点估计问题的一般提法点估计问题的一般提法.,.,);(2121为相应的一个样本值为相应的一个样本值本本的一个样的一个样是是是待估参数是待估参数知知的形式为已的形式为已的分布函数的分布函数设总体设总体nnxxxXXXXxFX .),(),(2121 来估计未知参数来估计未知参数用它的观察值用它的观察值一个适当的统计量一个适当的统计量点估计问题就是要构造点估计问题就是要构造nnxx
3、xXXX.),(21的估计量的估计量称为称为 nXXX.),(21的估计值的估计值称为称为 nxxx., 简记为简记为通称估计通称估计 其一其一 是如何给出估计，即估计的是如何给出估计，即估计的方法问题方法问题； 其二其二 是如何对不同的估计进行评价，即估计是如何对不同的估计进行评价，即估计的的好坏判断标准。好坏判断标准。点估计涉及的两个问题点估计涉及的两个问题一、一、 矩估计矩估计法法 用样本矩去用样本矩去替换替换相应的总体矩相应的总体矩 通常采用原点矩通常采用原点矩1例0, ,X设总体 服从上的均匀分布 即密度函数1,0,0,xf x其他12,nXXX其中 未知是一个样本 求的矩估计量8样
4、本矩依概率收敛于相应的总体矩样本矩依概率收敛于相应的总体矩 llpnililXEXnAm m 11样本矩的连续函数依概率收敛于相应的样本矩的连续函数依概率收敛于相应的总体矩的连续函数总体矩的连续函数. . kpkgAAgm mm m,11., 0,221222的的矩矩估估计计量量和和求求是是一一个个样样本本又又设设均均为为未未知知和和但但且且有有都都存存在在和和方方差差的的均均值值设设总总体体 m m m m m mnXXXX ,1XA m m2122AA niiXXn1221.)(112 niiXXn例例3 3 总体均值与方差的矩估计量的表达式总体均值与方差的矩估计量的表达式不因不同的总体分
5、布而异不因不同的总体分布而异. .矩估计法的优缺点矩估计法的优缺点n矩估计法的优点：简单易行，不需要矩估计法的优点：简单易行，不需要知道总体的分布形式，只需要知道总知道总体的分布形式，只需要知道总体若干阶矩的形式；体若干阶矩的形式；n矩估计法的缺点：总体分布形式已知矩估计法的缺点：总体分布形式已知的情形下，矩估计法不能够充分利用的情形下，矩估计法不能够充分利用总体分布提供的信息。总体分布提供的信息。 A同学和一位猎人一起外出打猎。同学和一位猎人一起外出打猎。 一只野兔从前方窜出，只听一声枪响，一只野兔从前方窜出，只听一声枪响，野兔应声倒地。请推断：是谁开枪？野兔应声倒地。请推断：是谁开枪？猎人
6、射击猎人射击最有可能最有可能一枪命中野兔。一枪命中野兔。观察结果观察结果 A同学和一位猎人一起外出打猎。同学和一位猎人一起外出打猎。 一只野兔从前方窜出，只听一声枪响，一只野兔从前方窜出，只听一声枪响，野兔仓皇逃走。请推断：是谁开枪？野兔仓皇逃走。请推断：是谁开枪？A同学射击同学射击最有可能最有可能一枪命不中野兔。一枪命不中野兔。 看谁看谁最有可能最有可能产生观察结果；产生观察结果； 或者说，看谁使得观察结果出现的或者说，看谁使得观察结果出现的概率最大。概率最大。 观察结果观察结果2. 2. 最大似然估计法最大似然估计法属离散型属离散型设总体设总体 X)1( ; ),P Xxp x设分布律为待
7、估参数,21的样本的样本是来自总体是来自总体 XXXXn,2121的概率的概率取到观察值取到观察值则样本则样本nnxxxXXX发生的概率为发生的概率为即事件即事件nnxXxXxX ,2211 );,()(21 nxxxLL设设x1,x2,.,xn是相应的一个样本值是相应的一个样本值. 观察观察结果结果),;(1 niixp, 样本的似然函数样本的似然函数.,), 1(21的最大似然估计量的最大似然估计量求求个样本个样本的一的一是来自是来自设设pXXXXpBXn例例4 4求最大似然估计量的步骤求最大似然估计量的步骤:121() ( )(,; )( ; )nniiLL x xxp x一写出似然函数
8、1() ln ( )ln( ; )niiLp x二取对数.,0d)(lnd,d)(lnd )( 的的最最大大似似然然估估计计值值解解方方程程即即得得未未知知参参数数并并令令求求导导对对三三 LL属连续型属连续型设总体设总体 X)2(,),;( 为待估参数为待估参数设概率密度为设概率密度为xf,21的样本的样本是来自总体是来自总体 XXXXn );,()(21 nxxxLL1( ; ),niif x, 样本的似然函数样本的似然函数例X设某电子元件的寿命 服从参数为 的指数分布12,nnx xx测得 个元件的失效时间为试求 的极大似然估计.,),(22122的最大似然估计量的最大似然估计量和和求求
9、的一个样本值的一个样本值是来自是来自为未知参数为未知参数设总体设总体 m m m m m mXxxxNXn解解的概率密度为的概率密度为X,e21),;(222)(2 m m m m xxf似然函数为似然函数为,e21),(222)(12 m m m m ixniL例例5,)(21ln2)2ln(2),(ln12222 niixnnLm m m m,)(21ln2)2ln(2),(ln12222 niixnnLm m m m , 0),(ln, 0),(ln222 m m m mm mLL令令,xm m 2211() .niixxn 最大似然估计值最大似然估计值,Xm m 2211() .nii
10、XXn 最大似然估计量最大似然估计量 最大似然估计法也适用于分布中含有最大似然估计法也适用于分布中含有多个未知参数的情况多个未知参数的情况. . 此时只需令此时只需令., 2 , 1, 0lnkiLi .), 2 , 1( ,iikik 的最大似然估计值的最大似然估计值数数即可得各未知参即可得各未知参个方程组成的方程组个方程组成的方程组解出由解出由 对数似然对数似然方程组方程组最大似然估计的性质最大似然估计的性质:不变性不变性 是是 的极大似然估计的极大似然估计 u 是是 u 的极大似然估计的极大似然估计ln ln (1)对于同一个参数究竟采用哪一个估计量好对于同一个参数究竟采用哪一个估计量好
11、?(2)评价估计量的标准是什么评价估计量的标准是什么?第三节第三节 估计量的评选标准估计量的评选标准 假定某市成年男性的身高服从正态分假定某市成年男性的身高服从正态分布，希望得到平均身高布，希望得到平均身高m m，如何估计？，如何估计？. ,)( ,)(),(21的无偏估计量的无偏估计量是是则称则称有有且对于任意且对于任意存在存在的数学期望的数学期望若估计量若估计量 EEXXXn无偏估计的实际意义无偏估计的实际意义: : 无系统误差无系统误差. .（一）无偏性（一）无偏性.1 , ,)1()(121的无偏估计的无偏估计阶总体矩阶总体矩是是阶样本矩阶样本矩总体服从什么分布总体服从什么分布论论的一
12、个样本，试证明不的一个样本，试证明不是是又设又设存在存在阶矩阶矩的的设总体设总体knikiknkkkXnAkXXXXkXEkXm mm m 例例1设总体设总体 X 的均值为的均值为m m, ,方差为方差为 2 2, , X1 1, ,X2 2, , ,Xn n 为来自总体为来自总体 X 的随机样本，记的随机样本，记 与与 分别为样本均值与样本方差，即分别为样本均值与样本方差，即.)(11 ,12121XXnSXnXniinii.)( , )( 22mSEXE则则X2S思考：总体均值思考：总体均值m m还有没有其他的无偏估计量？还有没有其他的无偏估计量？例例(二二) )有效性有效性.),()(
13、,),(),(212121222111有效有效较较则称则称若有若有的无偏估计量的无偏估计量都是都是与与设设 DDXXXXXXnn （三）相合性（三）相合性. ,),(, ,),(2121的相合估计量的相合估计量为为则称则称依概率收敛于依概率收敛于时时当当若对于任意若对于任意的估计量的估计量为参数为参数若若 nnXXXnXXX 作业：作业：nP173 2P173 2（1 1）（）（3 3）n 3 (1) (3)3 (1) (3)nP175 12P175 12假定某市成年男性的身高服从正态分布，假定某市成年男性的身高服从正态分布，希望得到平均身高希望得到平均身高m m： m m的大小如何的大小如何
14、； m m大概落在什么范围内；大概落在什么范围内； 能否认为能否认为某一说法成立某一说法成立（如（如 m m 1.68）。）。 1 1、导弹直接命中敌机将其击毁、导弹直接命中敌机将其击毁2 2、导弹接近敌机时引爆，依靠高速飞行的弹、导弹接近敌机时引爆，依靠高速飞行的弹片将其击毁片将其击毁第四节第四节 区间估计区间估计用空空导弹击落敌机的两种模式用空空导弹击落敌机的两种模式解解2122,( ,) , , , .nXXXNm mm设是来自正态总体的样本 其中为已知为未知 求的矩估计量 ,)1 , 0(/数的数的是不依赖于任何未知参是不依赖于任何未知参NnX m m 例例1 ,1/2/ m m zn
15、XP,1 2/2/ m m znXznXP即即 分位点的定义知分位点的定义知由标准正态分布的上由标准正态分布的上 0/2z/2/2z/2., 1 2/2/ m mznXznX的置信区间的置信区间的一个置信水平为的一个置信水平为于是得于是得这样的置信区间常写成这样的置信区间常写成.2/ znX,1 2/2/ m m znXznXP即即统计量统计量统计量统计量1. 置信区间的定义置信区间的定义.1 ,1 ,1) ,(为置信度为置信度的置信下限和置信上限的置信下限和置信上限的双侧置信区间的双侧置信区间分别称为置信度为分别称为置信度为和和间间的置信区的置信区的置信度为的置信度为是是则称随机区间则称随机
16、区间 ,1),(),( ),(),(, 1),(0 ,);(2121212121 nnnnnXXXXXXPXXXXXXXXXxFX满足满足和和确定的两个统计量确定的两个统计量若由样本若由样本对于给定值对于给定值数数含有一个未知参含有一个未知参的分布函数的分布函数设总体设总体16, 1, 0.05,n取取/20.025 1.96,zz .1.961610.95 X的置信区间的置信区间得一个置信水平为得一个置信水平为由一个样本值算得样本均值的观察值由一个样本值算得样本均值的观察值,20. 5 x则置信区间为则置信区间为),49. 020. 5( ).69. 5,71. 4(即即.2/ znX不是随
17、机区间不是随机区间查表查表若反复抽样多次若反复抽样多次(各次得到的样本容量相等各次得到的样本容量相等,都是都是n)每次可确定一个区间按按频率稳定于概率频率稳定于概率, 在这样多的区间中在这样多的区间中,(1), . mm包含 真值的约占不包含 的约占 ,mm每个这样的区间要么包含的真值，要么不包含的真值,1 2/2/ m m znXznXP即即例如例如 , 1000 0.01, 次次反复抽样反复抽样若若 1000 10.m则得到的个区间中不包含真值的约为个,05. 0 给定给定 ,95. 0/ 01. 004. 0 znXzP m m则又有则又有 .0.95, 04. 001. 0的置信区间的
18、置信区间为为的置信水平的置信水平也是也是故故m m znXznX00.01Z Z0.010.010.04z0.04比较两个置信区间的长度比较两个置信区间的长度, 4.08)(01. 004. 02nzznL ,3.922025. 01nznL . 21LL 显然显然置信区间短表示估计的精度高置信区间短表示估计的精度高.0.010.04 ,XzXznn0.0250.025 ,XzXznn象象N(0,1)分布那样其概率密度的图形是分布那样其概率密度的图形是单峰且对称的情况单峰且对称的情况, 当当n固定时固定时, 以形如以形如(4.5)那样那样的区间其长度为最短的区间其长度为最短.查表查表求置信区间
19、的一般步骤求置信区间的一般步骤. )(,);,(:, )1(2121 包括包括数数且不依赖于任何未知参且不依赖于任何未知参的分布已知的分布已知并且并且其中仅包含待估参数其中仅包含待估参数的函数的函数寻求一个样本寻求一个样本ZXXXZZXXXnn 12(3) (,; ) , naZ XXXb若能从得到等价的不等式.1);,( ,1 )2(21 bXXXZaPban使使出两个常数出两个常数定定对于给定的置信度对于给定的置信度第五节 正态总体均值与方差的区间估计一、单个总体的情况一、单个总体的情况二、两个总体的情况二、两个总体的情况.,),( , ,12221本方差本方差分别是样本均值和样分别是样本
20、均值和样的样本的样本总体总体为为并设并设设给定置信水平为设给定置信水平为SXNXXXn m m 一、单个总体一、单个总体 的情况的情况),(2 m mN ,)1(2为已知为已知 1 的置信区间的置信区间的一个置信水平为的一个置信水平为 m m .2/ znX 的置信区间的置信区间均值均值m m1. ,)2(2为未知为未知 , , 2/直接使用此区间直接使用此区间不能不能中含有未知参数中含有未知参数由于区间由于区间 znX,1)1()1( 2/2/ m m ntnSXntnSXP即即 1 的置信区间的置信区间的置信度为的置信度为于是得于是得 m m .)1(2/ ntnSX ),1(/ ntnS
21、Xm m又根据第六章定理三知又根据第六章定理三知 ,1)1(/)1( 2/2/ m m ntnSXntP则则0/2ta/2(n-1)/2- - ta/2(n-1)解解 有一大批糖果有一大批糖果,现从中随机地取现从中随机地取16袋袋, 称得重称得重量量(克克)如下如下: 496509502506496493505514512497510504503499508506设袋装糖果的重量服从正态分布设袋装糖果的重量服从正态分布, 试求总体均值试求总体均值,151 0.05, n : )1( 分布表可知分布表可知查查 nt )15(025. 0t,2022. 6,75.503 sx计算得计算得 . 0.
22、95 的置信区间的置信区间的置信度为的置信度为m m,1315. 2例例2查表查表 5%9 的置信区间的置信区间的置信度为的置信度为得得m m 1315. 2162022. 675.503).1 .507, 4 .500(即即就是说估计袋装糖果重量的均值在就是说估计袋装糖果重量的均值在500.4克与克与507.1克之间克之间, 这个估计的可信程度为这个估计的可信程度为95%. , 22的无偏估计的无偏估计是是因为因为 S),1()1(222 nSn 根据第六章第二节定理二知根据第六章第二节定理二知 . ,未知的情况未知的情况只介绍只介绍根据实际需要根据实际需要m m 2的置信区间的置信区间方差
23、方差 2. ,1)1()1()1( 22/2222/1 nSnnP则则 1 2的置信区间的置信区间的置信度为的置信度为于是得方差于是得方差 ,1)1()1()1( 22/2222/1 nSnnP则则 ,1)1()1()1()1( 22/12222/2 nSnnSnP即即 .)1()1(,)1()1(22/1222/2 nSnnSn 1 的置信区间的置信区间的一个置信度为的一个置信度为标准差标准差 .)1(1,)1(122/122/ nSnnSn (续例续例1) 求例求例1 1中总体标准差中总体标准差 的置信度为的置信度为0.950.95的置信区间的置信区间. .解解,151 0.975,21
24、0.025,2 n : )1( 2分布表可知分布表可知查查 n )15(2025. 0 ,2022. 6 s计算得计算得 )15(2975. 0 代入公式得标准差的置信区间代入公式得标准差的置信区间).60. 9,58. 4( ,488.27,262. 6例例2查表查表二、两个总体 的情况),(),(222211 m m m mNN设产品的某质量指标设产品的某质量指标 ),(211mNX 由于原材料的改变、或设备条件发生变化、或由于原材料的改变、或设备条件发生变化、或技术革新等因素的影响，使得产品质量指标可能技术革新等因素的影响，使得产品质量指标可能发生变化，此时产品的质量指标为发生变化，此时
25、产品的质量指标为),(222mNY 为了了解产品质量指标有多大的变化，需为了了解产品质量指标有多大的变化，需要考虑要考虑222121/ ,mm的统计推断问题的统计推断问题二、两个总体 的情况),(),(222211 m m m mNN., , ,),(,),( , ,122212222121121的样本方差的样本方差分别是第一、二个总体分别是第一、二个总体总体的样本均值总体的样本均值分别是第一、二个分别是第一、二个的样本的样本个总体个总体为第二为第二的样本的样本第一个总体第一个总体为为并设并设设给定置信度为设给定置信度为SSYXNYYYNXXXnn m m m m , 的独立性及的独立性及由由
26、YX,1211 nNX m m,2222 nNY m m, 22212121 nnNYX m mm m可知可知 ,1, 0 22212121NnnYX m mm m 或或 1 21的置信区间的置信区间的一个置信度为的一个置信度为于是得于是得 m mm m .2221212/ nnzYX 21的置信区间的置信区间两个总体均值差两个总体均值差m mm m ( (方差已知）方差已知）222212, , 但为未知 1 21的置信区间的置信区间的一个置信度为的一个置信度为 m mm m .11)2(21212/ nnSnntYXw .,2)1()1( 2212222112wwwSSnnSnSnS 其中其
27、中 ),2(11 212121 nntnnSYXwm mm m( (方差未知但相等）方差未知但相等）例例7为比较为比较, 两种型号步枪子弹的枪口速度两种型号步枪子弹的枪口速度,随机地取随机地取型子弹型子弹10发发, 得到枪口速度的平均值为得到枪口速度的平均值为),s/m(5001 x),s/m(10. 1 1 s标准差标准差随机地取随机地取型子弹型子弹20发发, 得枪口速度平均值为得枪口速度平均值为),s/m(4962 x),s/m(20. 1 2 s标准差标准差假设两总体都可认为近似假设两总体都可认为近似地服从正态分布地服从正态分布,且由生产过程可认为它们的方差且由生产过程可认为它们的方差相
28、等相等, 求两总体均值差求两总体均值差 .950 21的置的置的置信度为的置信度为m mm m 信区间信区间. 2221的置信区间的置信区间两个总体方差比两个总体方差比 2.22222121 SS ),1, 1(21 nnF . , 21为未知的情况为未知的情况仅讨论总体均值仅讨论总体均值m mm m22111/212/2122222(1,1)(1,1) =1- SP FnnFnnS 1 2221的置信区间的置信区间的一个置信度为的一个置信度为于是得于是得 .)1, 1(1,)1, 1(1212/12221212/2221 nnFSSnnFSS 例例9 研究由机器研究由机器 A 和机器和机器
29、B 生产的钢管内径生产的钢管内径, 随随机抽取机器机抽取机器 A 生产的管子生产的管子 18 只只, 测得样本方差为测得样本方差为均未知均未知, 求方差比求方差比 .900 的置的置的置信度为的置信度为区间区间.设两样本相互独设两样本相互独);mm(34. 0 221 s).mm(29. 0 222 s抽取机器抽取机器B生产的管子生产的管子 13 只只, 测测得样本方差为得样本方差为立立,且设由机器且设由机器 A 和机器和机器 B 生产的钢管内径分别服生产的钢管内径分别服从正态分布从正态分布),(),(222211 m m m mNN)2 , 1(,2 iii m m2221 信信标准正态分布
30、表标准正态分布表z01234567890.00.10.20.30.40.50.60.70.80.91.01.11.21.31.41.51.60.50000.53980.57930.61790.65540.69150.72570.75800.78810.81590.84130.86430.88490.90320.91920.93320.94520.50400.54380.58320.62170.65910.69500.72910.76110.79100.81860.84380.86650.88690.90490.92070.93450.94630.50800.54780.58710.62550.
31、66280.69850.73240.76420.79390.82120.84610.86860.88880.90660.92220.93570.94740.51200.55170.59100.62930.66640.70190.73570.76730.79670.82380.84850.87080.89070.90820.92360.93700.94840.51600.55570.59480.63310.67000.70540.73890.77030.79950.82640.85080.87290.89250.90990.92510.93820.94950.51990.55960.59870.
32、63680.67360.70880.74220.77340.80230.82890.85310.87490.89440.91150.92650.93940.95050.52390.56360.60260.64060.67720.71230.74540.77640.80510.83150.85540.87700.89620.91310.92780.94060.95150.52790.56750.60640.64430.68080.71570.74860.77940.80780.83400.85770.87900.89800.91470.92920.94180.95250.53190.57140.
33、61030.64800.68440.71900.75170.78230.81060.83650.85990.88100.89970.91620.93060.94300.95350.53590.57530.61410.65170.68790.72240.75490.78520.81330.83890.86210.88300.90150.91770.93190.94410.95451.645z01234567891.61.71.81.92.02.12.22.32.42.52.62.72.82.93.00.94520.95540.96410.97130.97720.98210.98610.98930
34、.99180.99380.99530.99650.99740.99810.99870.94630.95640.96480.97190.97780.98260.98640.98960.99200.99400.99550.99660.99750.99820.99900.94740.95730.96560.97260.97830.98300.98680.98980.99220.99410.99560.99670.99760.99820.99930.94840.95820.96640.97320.97880.98340.98710.99010.99250.99430.99570.99680.99770
35、.99830.99950.94950.95910.96710.97380.97930.98380.98710.99040.99270.99450.99590.99690.99770.99840.99970.95050.95990.96780.97440.97980.98420.98780.99060.99290.99460.99600.99700.99780.99840.99980.95150.96080.96860.97500.98030.98460.98810.99090.99310.99480.99610.99710.99790.99850.99980.95250.96160.96930
36、.97560.98080.98500.98840.99110.99320.99490.99620.99720.99790.99850.99990.95350.96250.97000.97620.98120.98540.98870.99130.99340.99510.99630.99730.99800.99860.99990.95450.96330.97060.97670.98170.98580.98900.99160.99360.99520.99640.99740.99810.99861.00001.96附表2-2标准正态分布表标准正态分布表z01234567891.61.71.81.92.0
37、2.12.22.32.42.52.62.72.82.93.00.94520.95540.96410.97130.97720.98210.98610.98930.99180.99380.99530.99650.99740.99810.99870.94630.95640.96480.97190.97780.98260.98640.98960.99200.99400.99550.99660.99750.99820.99900.94740.95730.96560.97260.97830.98300.98680.98980.99220.99410.99560.99670.99760.99820.9993
38、0.94840.95820.96640.97320.97880.98340.98710.99010.99250.99430.99570.99680.99770.99830.99950.94950.95910.96710.97380.97930.98380.98710.99040.99270.99450.99590.99690.99770.99840.99970.95050.95990.96780.97440.97980.98420.98780.99060.99290.99460.99600.99700.99780.99840.99980.95150.96080.96860.97500.9803
39、0.98460.98810.99090.99310.99480.99610.99710.99790.99850.99980.95250.96160.96930.97560.98080.98500.98840.99110.99320.99490.99620.99720.99790.99850.99990.95350.96250.97000.97620.98120.98540.98870.99130.99340.99510.99630.99730.99800.99860.99990.95450.96330.97060.97670.98170.98580.98900.99160.99360.9952
40、0.99640.99740.99810.99861.00002.326附表2-2标准正态分布表标准正态分布表 =0.250.100.050.0250.010.005123456789101112131415161.00000.81650.76490.74070.72670.71760.71110.70640.70270.69980.69740.69550.69380.69240.69120.69013.07771.88561.63771.53321.47591.43981.41491.39681.38301.37221.36341.35621.35021.34501.34061.33686.3
41、1382.92002.35342.13182.01501.94321.89461.85951.83311.81251.79591.78231.77091.76131.75311.745912.7062 4.3027 3.1824 2.7764 2.5706 2.4469 2.3646 2.3060 2.2622 2.2281 2.2010 2.1788 2.1604 2.1448 2.1315 2.119931.8207 6.9646 4.5407 3.7469 3.3649 3.1427 2.9980 2.8965 2.8214 2.7638 2.7181 2.6810 2.6503 2.6
42、245 2.6025 2.583563.6574 9.9248 5.8409 4.6041 4.0322 3.7074 3.4995 3.3554 3.2498 3.1693 3.1058 3.0545 3.0123 2.9768 2.9467 2.9208nt分布表分布表2.1315=0.9950.990.9750.950.900.75123456789101112131415160.0100.0720.2070.4120.6760.9891.3441.7352.1562.6033.0743.5654.0754.6015.1420.0200.1150.2970.5540.8721.2391.
43、6462.0882.5583.0533.5714.1074.6605.2295.8120.0010.0510.2160.4840.8311.2371.6902.1802.7003.2473.8164.4045.0095.6296.2626.9080.0040.1030.3520.7111.1451.6352.1672.7333.3253.9404.5755.2265.8926.5717.2617.9620.0160.2110.5841.0641.6102.2042.8333.4904.1684.8655.5786.3047.0427.7908.5479.3120.1020.5751.2131.
44、9232.6753.4554.2555.0715.8996.7377.5848.4389.29910.16511.03711.912n2 分布表分布表6.262=0.250.100.050.0250.010.005123456789101112131415161.3232.7734.1085.3856.6267.8419.03710.21911.38912.54913.70114.84515.98417.11718.24519.3692.7064.6056.2517.7799.23610.64512.01713.36214.68415.98717.27518.54919.81220.06422
45、.30723.5423.8415.9917.8159.48811.07112.59214.06715.50716.91918.30719.67521.02622.36223.68524.99626.2965.0247.3789.34811.14312.83314.44916.01317.53519.02320.48321.92023.33724.73626.11927.48828.8456.6359.21011.34513.27715.08616.81218.47520.09021.66623.20924.72526.21727.68829.14130.57832.0007.87910.59712.83814.86016.75018.54820.27821.95523.58925.18826.75728.29929.89131.31932.80134.267n2 分布表分布表27.488
