1、1第四节第四节信号的基本运算信号的基本运算相加相加相乘相乘必须把同一时刻必须把同一时刻的值相加或相乘的值相加或相乘1、相加、相乘、相加、相乘nxnx21nxnx21序列的加法和序列的加法和乘法乘法22、 平移平移 将信号将信号f f ( t ) 或或f f (k)变换为变换为 f f (t -t0) 或或 f f ( k -k0) (t00,k00)的运算的运算 几何意义：将信号几何意义：将信号f f ( t ) 或或f f (k)的波形沿时间轴的波形沿时间轴 往左或往右整体移动往左或往右整体移动t0 或或 k0而波形保持不变而波形保持不变 。 3f f ( t ) f f (t -t0) 或
2、或f f (k) f f ( k-k0)时时 , f (t)f (t)右移右移t0 (或或k0) f f ( t ) f f (t + t0) 或或f f (k) f f ( k+k0)时时 , f f ()左移左移t0 (或或k0) 其中其中 t0 0 ，k0 0 43、反转反转( (反折或反褶反折或反褶) )几何意义：几何意义：把原信号以纵坐标为轴转把原信号以纵坐标为轴转180of f ( t ) f f ( -t ) 或或f f (k) f f ( -k)54 4、尺度变换、尺度变换若若f f (a at t) 中中 a a 1时时 把原信号以原点为基准压缩把原信号以原点为基准压缩a a
3、倍倍 （即横坐（即横坐标压缩标压缩a a倍）倍）当当 0 a a 1时时 把原信号以原点为基准扩展把原信号以原点为基准扩展1/a a倍（即倍（即横坐标扩展横坐标扩展1/a a倍）倍）f f (2t t）注：离散信号不作此运算注：离散信号不作此运算即将的波形沿横坐标轴展宽或压缩即将的波形沿横坐标轴展宽或压缩65、连续信号的、连续信号的微微( (积积) )分运算分运算( )()ty tfd( )( )dfty tdt例例1：已知：已知f f (t t)的波形如图所示，求的波形如图所示，求f f (-2t +2) 法一：写出法一：写出f f (t t)的函数式，以变量的函数式，以变量(-2t +2)
4、 代替代替t 后对函数式进行整理（较麻烦）后对函数式进行整理（较麻烦） 0 22 202 020 2ttf tttt 该题同时含几种运算该题同时含几种运算0 02t 01222 120 2ttfttt 7法二：直接把法二：直接把f f (t t)的波形经平移、反折、压缩后可得的波形经平移、反折、压缩后可得 f f (-2t +2)，三种运算顺序可任意安排。三种运算顺序可任意安排。1）f f (t t) 平移反折压缩后得平移反折压缩后得 f f (-2t +2) 。2）f f (t t) 反折平移压缩后得反折平移压缩后得 f f (-2t +2) 。左移左移2 2反折反折压缩压缩反折反折右移右移
5、2 2（为什么）（为什么）压缩压缩83）f f (t t) 压缩反折平移后得压缩反折平移后得 f f (-2t +2) 。f f ( 2t+2t+2)反折反折右移右移1(1(为什么为什么) )压缩压缩0t t221注意：注意：a)a)先压缩后平移时移动量为先压缩后平移时移动量为| |t t0 0 / /a a| b)平移、反折、压缩等各种运算都是对独立的、单平移、反折、压缩等各种运算都是对独立的、单一的变量一的变量t 而言的，而不是对变量而言的，而不是对变量a at 或或 a at+b进行的。进行的。c)先做平移后再做其余运算不易出错。先做平移后再做其余运算不易出错。9例例2：已知：已知f f
6、 (3-2t) 的波形如图所示，求的波形如图所示，求f f (t t)扩展扩展 反转反转平移平移法一）法一） 10扩展扩展反转反转平移平移法二）法二） 总结：将总结：将f f (-2t +3) 变为变为f f (t)时，最后做平移，不易出错。时，最后做平移，不易出错。F(2(3/2-t)117 7、离散信号的差分与求和、离散信号的差分与求和1 1）信号的差分）信号的差分差分是离散信号的一种数学运算差分是离散信号的一种数学运算设设f f (k) 为一离散信号为一离散信号则则f f (k+m) .f f (k+2), f f (k+1), f f (k-1), f f (k-2)?f f (k-n
7、)称为称为f f (k)的的移位序列移位序列。a a 一阶前向一阶前向( (或向左移序或向左移序) )差分差分( )(1)( )f kf kf k 各未知序列之序号，各未知序列之序号，自自k以递增方式给出以递增方式给出b b 一阶后向一阶后向( (或向右移序或向右移序) )差分（本书采用后向差分）差分（本书采用后向差分）()()(1)fkfkfk 各未知序列之序号，各未知序列之序号，自自k以递减方式给出以递减方式给出( (注：注： 和称差分算子）和称差分算子） c c 前向差分与后向差分的关系前向差分与后向差分的关系 1kfkf12 e e 二阶二阶( (后向后向) )差分差分2( )( )(
8、 )(1)f kf kf kf k ()(1)fkfk ( )(1)(1)(2)f kf kf kf k( )2 (1)(2)f kf kf k序列的最高序号与最低序号序列的最高序号与最低序号 之差之差为为2，称为二阶差分。，称为二阶差分。 f f 类推可得类推可得n 阶阶( (后向后向) )差分差分10!( )( )( 1)()()! !nnnjjnf kf kf kjnjj d d 差分运算具有线性性质差分运算具有线性性质1122112211221112221122( )( )( )( )(1)(1) ( )(1)( )(1) ( )( )a f ka fka f ka fka f ka
9、fkaf kf kafkfkaf kafk13第五节第五节 信号的分解信号的分解直流分量和交流分量直流分量和交流分量偶分量与奇分量偶分量与奇分量脉冲分量脉冲分量实部分量与虚部分量实部分量与虚部分量正交分量正交分量14一、直流分量和交流分量一、直流分量和交流分量 直流分量直流分量 交流分量交流分量 信号平均功率为两者平均功率之和信号平均功率为两者平均功率之和)()(tfftfADDf)(tfA0ta)(tf0ta15二、偶分量与奇分量二、偶分量与奇分量 偶分量定义 奇分量定义 0 t 0 t )()(tftfee)()(tftfoo16三、分解成冲激脉冲分量之和三、分解成冲激脉冲分量之和)(1t
10、f1t1tt1111110.)()( )(lim)(11tttttuttutftftt1110).()(lim)(11ttttftftt111).()()(dttttftf变量置换01,ttttdttttftf)()()(0017四、分解成单位阶跃分量之和四、分解成单位阶跃分量之和)0(f)(1tf)(11ttf1t1t11)()(111111)()()0()(tttutuftfttttttftf图中粉色部分图中粉色以上的小矩形阶跃110)()()()0()(11dtttutuftftdttdf18五、分解成实部分量和虚部分量五、分解成实部分量和虚部分量)()()(tjftftfir)()()
11、(*tjftftfir)()()(*21tftftfr)()()(*21tftftfji19六、六、 正交函数分量正交函数分量 正交矢量正交矢量 正交函数正交函数 正交函数集正交函数集201、正交矢量、正交矢量矢量：矢量：V1 和和 V2 参参加如下运算，加如下运算， 是它们的差，如下式：是它们的差，如下式：eVVcV21211V2VeV212VceVcos.coscos2212211212VVVVVVVVccos.222112VVVc 表示 和 互相接近的程度1V2V当 ， 完全重合，则随夹角增大， 减小；当 ， 和 相互垂直1V2V1,012c12c0,9012co1V2V12c21yxV
12、VVzyxVVVVVxVyVVxVzVyV二维正交集 三维正交集 22 二、 正交函数令 则误差能量 最小)()()(212121ttttfctfdttfctftttt22121212)()()(1210122dcd2230)()(122121121221dttfctfttdcdttdttftfdttfdcdtttttt)()(2)(121211212221210)(22212ttdttfc解得2121)()()(222112ttttdttfdttftfc正交条件若 ， 则 不包含 的分量，则称正交。012c)(1tf)(2tf0)()(2121ttdttftf24三、三、 正交函数集正交函数
13、集n个函数 构成一函数集，如在区间 内满足正交特性，即)(),(),(21tgtgtgn),(21tt)(0)()(21jidttgtgttji21)(2ttiiKdttg则此函数集称为正交函数集25任意函数由任意函数由n个正交的函数的线性组合所近似个正交的函数的线性组合所近似)()()()()(12211tgctgctgctgctfnrrrnnic212121)()(1)()()(2tttiittitiidttgtfKdttgdttgtfc由最小均方误差准则，要求系数 满足26复变函数的正交特性复变函数的正交特性)()(2121tfctf2121)()()()(*22*2112ttttdttftfdttftfc0)()()()(21212*1*21ttttdttftfdttftf两复变函数正交的条件是两复变函数正交的条件是
