1、1一、一、 冲激响应冲激响应 用用h h(t)(t)表示表示(0)0 x( )( )zsyth tLTI( )( )e tt( )0,( )h tTt 零状态响应零状态响应( )( )00 ( )( )nmijijija htbt此时系统方程的一般形式为此时系统方程的一般形式为( ) (0 ) 0 (0,1,21)jhjnL( ) (0 )0 jh第四节第四节 冲激响应和阶跃响应冲激响应和阶跃响应 由于 及其各阶导数在 时都等于，因而上式右端在 冲激响应（）解的形式与齐次时恒解的等于，这样形式相同。满足：满足：2例例1：某：某LTI系统的数学模型为系统的数学模型为( )5( )6( )( )2
2、 ( ) ( ) ytyty tete th t求 该 系 统 的 冲 激 响 应 -562000hhhhthh解 ：满 足 01,03hh 可求得首先利用冲击函数匹配法确定h(0+),h(0+) tttautbutatcutbtattthththtauthtbutathtcutbtath265265 3 tuececthtt32211212010233hcchcc 代入初始值1201cc32065212 ttetttytyty 265 065 ththth tuetht3解得：4二、二、 阶跃响应阶跃响应 用用g g(t)(t)表示表示 零状态响应零状态响应此时系统方程的一般形式为此时系统方
3、程的一般形式为( ) g (0 ) 0 (0,1,21)jjnL( )( )tg th x dx( )( )dh tg tdt求解时，应带有特解(0)0 x( )( )zsytg tLTI tute tuTtg,0 tubtgainjjinii00 dtut tudtdt5例例2：某：某LTI系统的数学模型为系统的数学模型为( )3( )2( )( )2 ( ) ( )( ) ytyty te te tg th t 求 该 系 统 的 阶 跃 响 应和 冲 激 响 应 000223ggtutgggtg满足解：00gg和首先求 0010223 ggtautgtbutatgtuttgtgtg60,
4、 322tggg当 时1212010021gccgcc 1232cc tuecectgtt1221全解： tuecectgggggggtt2212122, 1021023齐次解： tueetgtt2231解得： tueetgthtt2437 ( )3 ( )2 ( )( )2 ( )000h th th ttth thh 满足121201025hcchcc 1234cc 还可先求 再求 h t g t tuececthtt221设： tueethtt2431050hh8 xueetueetetedxeedxxueedxxuxhtgttttxxtxxtxxt2220222311213020343
5、43911( )( )( )( )( ) LLLssRutututR ititLL CC解 ：( )3( )2( )3 ( )2 ( ) LLLssutututitit即u uC Cisu uL L3W W1/2F1Hi iL Li i c cu uR例例3：求图所示系统，求：求图所示系统，求(0 )(0 )0 LLuu且 tuttitetuttitetututiteLzssLzssLzss时时时321 dtdtuLtictuRdtuLtituRtidtuLtidttictututututititiLsLLsRcLLccRcLcLs111111110( )3( )2( )3( )2( ) LL
6、Lutututtt（3）( )3( )2( )3( )2( ) LLLutututtt（2）( )3( )2( )3( )2 ( ) LLLutututtt（1） tueetuttLg24 tueettututtLgLh283 tueetttututtLhL2167370, 30LLuu( )3( )2( )3 ( )2 ( ) LLLssutututitit即11( )( )00 ( )( )nmijijija ytbt解的形式与解的形式与 (i i ) 的关系的关系 nm当时 设特征根设特征根 i i 为单实根时为单实根时 nm当时 nm当时 nitituectyi1 tbtuectyni
7、tii11 nmjjjnititbtuectyi1112第五节第五节 卷积积分（重点）卷积积分（重点） 将激励信号将激励信号f f (t)分解为无穷多个连续出现的分解为无穷多个连续出现的冲激信号之和，借助系统的冲激响应和线性、冲激信号之和，借助系统的冲激响应和线性、时不变性质求解系统对任意激励下的零状态时不变性质求解系统对任意激励下的零状态响应（卷积的概念贯穿于本课程，在信号与响应（卷积的概念贯穿于本课程，在信号与系统理论中占有重要地位）系统理论中占有重要地位）卷积积分：卷积积分：13一、一、 卷积的定义卷积的定义 当当f f1 1(t)(t) 和和f f2 2(t)(t)的作用时间没有限制时
8、，卷积积分的积分限取的作用时间没有限制时，卷积积分的积分限取 和和 ，当，当f f1 1(t)(t) 和和f f2 2(t)(t)受到某种限制时卷积积分的上下限要发生受到某种限制时卷积积分的上下限要发生变化，即积分限取决于变化，即积分限取决于f f1 1(t)(t) 和和f f2 2(t)(t)的定义域。卷积积分中积分限的定义域。卷积积分中积分限的确定非常关键。的确定非常关键。1212( )( )( )( )()f tf tf tff td 对任意两个定义在（对任意两个定义在（ ， ）时间范围上的连续信号）时间范围上的连续信号f f1 1(t) (t) 和和f f2 2(t)(t)，将积分，将
9、积分 定义为二者的卷积，用定义为二者的卷积，用 表示卷积运算。表示卷积运算。12( )()ff td14几种特殊情况几种特殊情况121) 0 ( ) 0 ( )tf tf t若时不受限制212) 0 ( )0 ( )tf tf t若时不受限制120 ( )( )()f tff td则12 ( )( )()tf tff td则123) 0 ( )( )0tf tf t若时120 ( )( )()tf tff td则15 tftftutfttutf21211求例 122012tf tf tftuu tddt u t 解得 tftftutftutf2121322求例 tuttutddtuutftft
10、ft123323221解得16二、二、 卷积运算的图形解法卷积运算的图形解法从卷积的定义式可看出：做卷积运算需要经过五个步骤从卷积的定义式可看出：做卷积运算需要经过五个步骤1212( )( )( )( )()f tf tf tff td1 1）变量置换）变量置换 卷积的图解法就是把以上几个步骤借助图形直观地表卷积的图解法就是把以上几个步骤借助图形直观地表示出来。示出来。12( )( )f tf t例4 求 t0 01( )f t42t0 02( )ft21.5 2 2）反折）反折 3 3）平移）平移 4 4）相乘）相乘 5 5）积分）积分 11f tf 22ftf2f2ft17t0 01( )
11、f t42t0 02( )ft21.51( )f( )2( )f( )2)反折反折f f 2 2( ) f f 2 2(- ) 2()f-21.50 01( )f423) 将将 f f 2 2(- )在在 轴上平移轴上平移t 得得f f 2 2(t ) 20 ()tft时左移20 ()tft时右移 这一步的重要性在于给出了这一步的重要性在于给出了f f 2 2(t ) 的波形的波形 在轴上的上、下边在轴上的上、下边缘值，而这些边缘值是以含有参变量的形式给出的。缘值，而这些边缘值是以含有参变量的形式给出的。4）、）、5) 将将 f f 1 1( )和和f f 2 2(t ) 相乘后积分相乘后积分
12、1)变量置换变量置换 t 平移过程中两函数图象不重叠即表示两函数相乘值为零。平移过程中两函数图象不重叠即表示两函数相乘值为零。当从逐渐增大时，沿轴从左向右平移2ft ttf432180 01( )f422()fttt-2a0 01( )f422()ft（t）t-2b0 01( )f422()ftt2tc0 01( )f422()ft（t2)td0 01( )f422()ftt2te0 01( )f422()ftt2（t)f0 01( )f422()ftt2tg0 01( )f422()ftth下页下页190 01( )f422()ftt2t0 01( )f422()ftt2t0 01( )f4
13、22()ftt2t02t 46t 24t 2033244tf ttdt 23234ttf ttd 4223324344tf ttdt 0t 0f t 具体计算如下：上页上页0 01( )f422()fttt-220tt0 01( )f t420 02( )ft21.53t0 012( )( )f tft426 220 03 0243 243-43 4640 6tttf ttttt 0 01( )f422()ftt6t 0f t 21从以上图解分析过程可以看出：从以上图解分析过程可以看出：1 1）卷积中积分限取决于两个图形交叠部分的范围）卷积中积分限取决于两个图形交叠部分的范围3 3）卷积结果所占的时宽等于两个函数各自时宽的总和）卷积结果所占的时宽等于两个函数各自时宽的总和说明：并非所有两函数的卷积都存在，若两函数均为说明：并非所有两函数的卷积都存在，若两函数均为 有始的可积函数（即有始的可积函数（即tttt1 1时时f f 1 1(t)=0, tt(t)=0, tt2 2时时f f 2 2(t)=0)(t)=0)则则二者的卷积一定存在，否则视具体情况而定。二者的卷积一定存在，否则视具体情况而定。2 2）在）在t t的某一范围内，积分上下限保持不变的某一范围内，积分上下限保持不变
