1、SIGNALS AND SYSTEMS信号与系统信号与系统第三章 连续时间信号与系统的频域分析南京邮电大学南京邮电大学通信与信息工程学院通信与信息工程学院2015.10连续信号与系统的频域分析概述实际的信号都可以表示为一系列不同频率的正弦信号之和 这一认识来源于对这一认识来源于对波形波形的观察，物理意义明确。的观察，物理意义明确。 正弦信号是最常见、最基本的信号。正弦信号是最常见、最基本的信号。 正弦信号便于产生、传输和处理。正弦信号便于产生、传输和处理。 线性时不变系统在单一频率的正弦信号激励下，其稳态响应线性时不变系统在单一频率的正弦信号激励下，其稳态响应仍是同一频率的正弦信号。仍是同一频
2、率的正弦信号。 三角函数的加、减、乘、微分和积分运算后仍然是三角函数。三角函数的加、减、乘、微分和积分运算后仍然是三角函数。傅里叶变换 揭示了信号内在的频率特性以及信号的时间特揭示了信号内在的频率特性以及信号的时间特性与频率特性之间的关系。本章的重点就是从物理意义上理解性与频率特性之间的关系。本章的重点就是从物理意义上理解傅里叶变换的性质及应用。傅里叶变换的性质及应用。频谱分析 直观、方便地从另一个角度来认识信号。直观、方便地从另一个角度来认识信号。频域分析法 求解系统在任意信号激励下的零状态响应。求解系统在任意信号激励下的零状态响应。其它 频谱、带宽、无失真传输、调制定理、抽样定理等频谱、带
3、宽、无失真传输、调制定理、抽样定理等第三章 连续信号与系统的频域分析3.1 周期信号分解为傅里叶级数3.2 周期信号的频谱3.3 非周期信号的频谱密度函数傅里叶变换3.4 傅里叶变换的性质及其应用3.5 希尔伯特变换及小波变换简介3.6 取样信号的频谱3.7 连续时间系统的频域分析3.8 信号的无失真传输和理想滤波器3.1 周期信号分解为傅里叶级数 周期信号的表达式周期信号的表达式 T 为该信号的周期，是满足上式的最小非零正值。为该信号的周期，是满足上式的最小非零正值。周期周期 的倒数为频率的倒数为频率 ， 为为该信号的角频率。该信号的角频率。为整数nnTtftf)()(T2001fT 以以
4、为周期的周期信号为周期的周期信号 ，若满足狄里赫勒条件：，若满足狄里赫勒条件：(3) 在一个周期内只有有限个不连续点；在一个周期内只有有限个不连续点；(2) 在一个周期内只有有限个极大值、极小值；在一个周期内只有有限个极大值、极小值；(1) 在一个周期内绝对可积，即在一个周期内绝对可积，即 11tTtft dt 则可以展开为三角形式傅里叶级数或指数形式傅里叶级数。则可以展开为三角形式傅里叶级数或指数形式傅里叶级数。)(tfT3.1.1 三角形式傅里叶级数角频率为角频率为 的周期信号的周期信号 ，可分解为，可分解为0102010200001( )coscos2sinsin2 (cossin)nn
5、nf taatatbtbtaantbnt其中其中, 2 , 1sin)(20ntdtntfTbTn01( )Taf t dtT, 2 , 1cos)(20ntdtntfTaTn0)(tf)cos(sincos000nnnntnAtnbtna因为所以傅氏级数又可写成工程上更为实用的形式所以傅氏级数又可写成工程上更为实用的形式001( )cos()nnnf tAAnt次谐波初相次谐波振幅直流分量nabarctgnbaAaAnnnnnn)(2200其中其中002nnnabT为基波频率，为谐波频率，和为傅里叶系数。信号波形的奇偶对称性与所含谐波分量的关系1. 偶函数：偶函数： ，则，则 只含有常数项和
6、余弦项。只含有常数项和余弦项。f tft( )()200cos)(4TntdtntfTa0sin)(2220TTtdtntfTbn200)(2TdttfTa. . . . .)(tft0奇函数在对称区间内奇函数在对称区间内积分为零。积分为零。偶函数在对称区间内偶函数在对称区间内积分为半区间积分的积分为半区间积分的两倍。两倍。2. 奇函数：奇函数： ，则，则 只含正弦项。只含正弦项。f tft( )() )(tft00cos)(2220TTtdtntfTan200sin)(4TtdtntfTbn2021( )0TTaf t dtT3. 偶谐函数：偶谐函数： ，则，则 只含偶次谐波。只含偶次谐波。
7、)2()(Ttftf周期本来就是周期本来就是T/2 。4T2TTt)(tf. . . . .04. 奇谐函数：奇谐函数： ，则，则 只含奇次谐波。只含奇次谐波。)2()(Ttftf2TT2T)(tft. . . . .03.1.2 指数形式傅里叶级数由欧拉公式由欧拉公式tjntjntjntjneetneejtn000021cos,21sin00代入三角形傅氏级数，有代入三角形傅氏级数，有f taajbeajbeFF eF ennnjntnnnjntnnjntnnjnt( ) 011011220000式中式中nnnnnnnFjbaFjbaF2,2 而而 是实数。是实数。000AaF是一对关于变量
8、是一对关于变量 的共轭复数，的共轭复数，0n于是，考虑到000ntjnneFFtjnnntjnnntjnnntjnnneFeFFeFeFFtf0000110110)(f tF enjntn( ) 0这就是指数型傅里叶级数，其系数这就是指数型傅里叶级数，其系数, 2, 1, 0)(1220ndtetfTFTTtnjnFn一般情况下，一般情况下， 是关于是关于变量变量 的复函数，称为指数的复函数，称为指数型傅里叶级数的型傅里叶级数的复系数复系数，可写成，可写成0nnnjnnjIReFFn注意：注意：1. 1. 为直流分量，一般情况下要单独计算。为直流分量，一般情况下要单独计算。000AaF2.2.
9、负频率分量的出现只是数学上的表达，没有物理意负频率分量的出现只是数学上的表达，没有物理意义。义。nntnjFntnjFntnjntnjnFtnFeeFeeFeFeFnn0cos200003.3.当当 是实周期信号时，是实周期信号时， 和和 互为共轭复数，有互为共轭复数，有)(tfnFnFnnnnnnnnIIRRFF,;,0n即傅里叶复系数即傅里叶复系数 的模和实部是的模和实部是 的偶函数；的偶函数； 的相角和虚部是的相角和虚部是 的奇函数。的奇函数。nFnF0nf t ( )Fn4.4.当当 是实偶函数时，则是实偶函数时，则 是实偶函数；是实偶函数； 当当 是实奇函数时，则是实奇函数时，则 是
10、虚奇函数。是虚奇函数。 （利用（利用 的计算公式可以证明）的计算公式可以证明）f t ( )FnFn指数型和三角型傅里叶级数系数之间的关系11()(0)22nnjjnnnnnFF eajbA en220001122(0)(0)nnnnnnnnFAabbarctgnaFaAnntjnneFtf0)(220)(1TTdtetfTFtjnn 物理意义：物理意义：周期信号可以分解为一个直流分量与许多谐周期信号可以分解为一个直流分量与许多谐 波分量之和。波分量之和。注意：注意：指数型和三角型指数型和三角型傅里叶级数中，傅里叶级数中，n 的取的取值范围不同。值范围不同。例：试将图示周期矩形脉冲例：试将图示
11、周期矩形脉冲信号信号 展开为展开为(1)三角型和三角型和(2)指数型傅里叶级数。指数型傅里叶级数。数项和余弦项。是偶函数，故只含有常解：)() 1 (tf22)(tftATT)(tfTAAdtTdttfTa202202)(1)2sin(2)2sin(4cos4cos)(2000200022nnAnTnAtdtnATtdtntfTan100cos)2sin(2)(ntnnnATAtf2202201)(1dtAeTdtetfTFtjntjnnTT(2) 指数型傅立叶级数指数型傅立叶级数2)2sin()2sin(200000220nnTAnnTAjneTAtjn)(sinxSaxx令称为称为抽样函数
12、抽样函数或或取样函数取样函数tjnntjnnnenSaTAeFtf00)2()(0抽样函数Sa xxx( )sin1. 偶函数1sinlim)0(. 20 xxSax。的规律衰减，并趋于零的振幅按增大，随着xxSax1)(. 3，过零点：32. 4dxxSa)(. 5)(xSax2213.2 周期信号的频谱ntnjnntjnnnnnneFeFtnAAtf)(10000)cos()( 说明周期信号可以分解为各次谐波分量的叠加，傅说明周期信号可以分解为各次谐波分量的叠加，傅里叶系数里叶系数 或或 反映了不同谐波分量的幅度，反映了不同谐波分量的幅度， 或或 反反映了不同谐波分量的相位。映了不同谐波分
13、量的相位。nAnFnn 频谱图清晰地表征了周期信号的频域特性，从频域频谱图清晰地表征了周期信号的频域特性，从频域角度反映了该信号携带的全部信息。角度反映了该信号携带的全部信息。3.2.1 周期信号的频谱)00nnAnn单边相位频谱（单边幅度频谱（单边频谱)00nnFnn双边相位频谱（双边幅度频谱（双边频谱nnAtf,)(nFtf)( 2. 各（非零）分量的数目不同。各（非零）分量的数目不同。nAnFnn 3. 幅度幅度 （ ）不同，相位）不同，相位 （ ）不同。）不同。 不同的周期信号，其傅里叶级数的区别在于：不同的周期信号，其傅里叶级数的区别在于： 1. 由于由于 不同，所以基波频率不同，所
14、以基波频率 不同，谐波频不同，谐波频率率 也不同。也不同。TT200n例如某周期信号的傅里叶级数为例如某周期信号的傅里叶级数为tjtjtjtjeFeFFeFeFtAtAAtf00002210122)20210102cos()cos()(单边频谱：单边频谱：双边幅度频谱双边幅度频谱双边相位频谱双边相位频谱单边幅度频谱单边幅度频谱单边相位频谱单边相位频谱nA0n00022A1A0An0n0002210n00022F2F1F1FnF0F002n0n00022121002双边频谱：双边频谱：画频谱图时注意：2. 三角型傅里叶级数必须统一用余弦函数来表示；，)0(2. 100nAFAFnn；故表示振幅，
15、由于0. 3nnAA的奇函数；是偶函数，双边相位频谱的是频谱是实信号时，双边幅度当00)(. 4nnFtfnn5. 谱线只在基波的整数倍处出现。（思考：为什么？）例：某周期信号可如下表示，试画出其单边频谱和双边例：某周期信号可如下表示，试画出其单边频谱和双边频谱。频谱。( )25cos(336.9 )2cos(660 )cos(930 )f ttttnA0n0369125309 .3660n0n0369tttttttf9sin219cos236cos6sin33sin33cos42)(解解: (1) 单边频谱单边频谱单边幅度频谱：单边幅度频谱：单边相位频谱：单边相位频谱：tjjtjjtjjtj
16、jtjjtjjtjtjtjtjtjtjeeeeeeeeeeeeeeeeeettttf93066039 .3639 .36660930)309()309()606()606()9 .363()9 .363(5 . 05 . 225 . 25 . 0 5 . 0 5 . 22)309cos()606cos(2)9 .363cos(52)(双边幅度频谱：双边幅度频谱：双边相位频谱：双边相位频谱：nF0n0369125 . 25 . 215 . 05 . 0369309 .3660n0n03699 .363060369(2) 双边频谱双边频谱例：已知某周期信号的单边频谱如图例：已知某周期信号的单边频谱
17、如图所示，试写出该信号的时域表达式，所示，试写出该信号的时域表达式，并画出其双边频谱。并画出其双边频谱。)49cos(4)26cos(8)43cos(1216)(ttttf解解:双边幅度频谱双边幅度频谱双边相位频谱双边相位频谱nA0n03691216n0n0369122n0n0369 122236912nF0n03691216836912双边频谱双边频谱:(1)(1)离散性离散性(2)(2)谐波性谐波性(3)(3)幅度收敛性幅度收敛性nF0n2TA4240002023.2.2 周期信号频谱的特点3.2.3 周期信号的频带宽度 对于某个信号，从零频率开始到需要考虑的最高频对于某个信号，从零频率开
18、始到需要考虑的最高频率范围称为信号占用的率范围称为信号占用的频带宽度频带宽度（frequency bandwidth），简称频宽。），简称频宽。 理论上讲，周期信号的谐波分量是无限多的，但信理论上讲，周期信号的谐波分量是无限多的，但信号的能量主要集中在低频分量中，故一般只考虑次数号的能量主要集中在低频分量中，故一般只考虑次数较低的一部分谐波分量。较低的一部分谐波分量。 如果频谱包络线为取样函数，常常把从零频率开始如果频谱包络线为取样函数，常常把从零频率开始到频谱包络线第一次过零点的那个频率之间的频带作到频谱包络线第一次过零点的那个频率之间的频带作为信号的频带宽度；如果频谱包络线第一次过零点不为
19、信号的频带宽度；如果频谱包络线第一次过零点不易获得，就以从零频率开始到频谱振幅降为包络线最易获得，就以从零频率开始到频谱振幅降为包络线最大值的大值的1/10的频率之间的频带定义为信号的频带宽度。的频率之间的频带定义为信号的频带宽度。22)(tftATT下面以周期矩形脉冲为例，说明周期信号频谱的特点。下面以周期矩形脉冲为例，说明周期信号频谱的特点。)2(0nSaTAFntjnnneFtf0)()4(T设一张图表示：为实数时，频谱可以用当nFTAF0主峰高度：2z第一次过零点：0 z频带宽度：nF0n2TA424000202 和和 与频谱的关系与频谱的关系: :T。谱线间隔谱线间隔；不变不变过零点
20、过零点；主峰高度主峰高度(2)(2)TTAT22:0；不变不变谱线间隔谱线间隔；过零点过零点；主峰高度主峰高度(1)(1)TTA22:0了。了。频谱也只显示直流分量频谱也只显示直流分量直流信号直流信号周期信号周期信号时时当当)()2(:0nASanSaTAFTn变。变。但频谱包络线的形状不但频谱包络线的形状不，主峰高度主峰高度连续频谱；连续频谱；离散频谱离散频谱非周期信号；非周期信号；周期信号周期信号时时当当0:TnF0n2TA4240002023.2.4 周期信号的功率谱周期信号的平均功率周期信号的平均功率nnnnnnnnnFFFdtetfTFdteFtfTdttfTPTTtjnTTtjnT
21、T2220220222)(1)(1)(11220122022nnnnAAFFP或或称为帕什瓦尔定理或功率等式称为帕什瓦尔定理或功率等式 表明周期信号在时域中的平表明周期信号在时域中的平均功率等于频域中的直流分量和各次谐波分量的平均功率之和。均功率等于频域中的直流分量和各次谐波分量的平均功率之和。简简称称功功率率谱谱。号号的的功功率率频频谱谱，变变化化的的图图形形称称为为周周期期信信随随02nFn例：图示周期矩形脉冲，例：图示周期矩形脉冲， ，试画出其频谱，试画出其频谱和功率谱，并求出其在有效频带宽度和功率谱，并求出其在有效频带宽度 内的分量所具内的分量所具有的平均功率占整个信号平均功率的百分比
22、。有的平均功率占整个信号平均功率的百分比。解解:频谱频谱22)(tftATT1 . 0, 5 . 0, 1TA)20(420T)2 . 0(2 . 0)2(0nSanSaTAFn2nF0n200420404. 0nF0n20042042 . 0功率谱功率谱220.05220.0511( )10.20.5TTPft dtdtT在时域中求得信号的功率为在时域中求得信号的功率为在有效频带宽度在有效频带宽度 内的内的分量所具有的平均功率为分量所具有的平均功率为)20(1806. 0)2 . 0(22 . 02512251220nnnnSaFFP%3 .90%1002 . 01806. 0PP3.3 非
23、周期信号的频谱密度函数傅里叶变换周期信号周期信号非周期信号非周期信号3.3.1 非周期信号的频谱密度函数ntjnneFtfT0)(220)(1TTTdtetfTFtjnn 00TTdnftf t当时，2022( )TTTjntnnnFFF Tf t edtf( )()TTf tf tnTTT0tt0( )f tlim( )( )TTf tf t( )lim( )j tnTFF Tf t edt 其量纲为单位频带的振幅，因而称为原函数其量纲为单位频带的振幅，因而称为原函数f(t)的的频频谱密度函数谱密度函数（frequency spectrum density function）,简称频谱密度，
24、在与周期信号频谱不发生混淆的情况简称频谱密度，在与周期信号频谱不发生混淆的情况下也简称为频谱。下也简称为频谱。 00( )( )( )limTnnnnnTf tFftFFFTFFT非周期信号的频谱密度函数与相对应的周期信号的傅里叶系数之间的关系和()( ) ( )( )( ) jFFFe 曲线为幅度频谱习惯上称曲线为相位频谱( )F一般情况下是关于 的复函数，可以写作( )2Fd非周期信号可以分解为无穷多个幅度无穷小的复指数谐波的和，每个谐波分量的复振幅为。 02limlimnnTTFFF T 0limlim22nTTFFFd 122j tj tTFf tedFed 当1( )( )2j tf
25、 tFe d( )( )j tFf t edt1( ) ( )( ) ( ) ( )( )Ff tf tFf tF记记作作或或F FF F称为傅里叶积分或傅氏反变换称为傅里叶正变换或傅氏变换3.3.2 傅里叶变换 傅里叶变换也是有条件的，要求傅里叶变换也是有条件的，要求f(t)绝对可积：绝对可积： 这只是充分条件而非必要条件，这只是充分条件而非必要条件，如果引入广义函数如果引入广义函数后，即使不满足此条件，甚至某些非功率非能量信号也后，即使不满足此条件，甚至某些非功率非能量信号也可能存在傅氏变换。可能存在傅氏变换。( )f t dt( )( )f tF 当为实信号时，有如下特性：(1)( )(
26、)()( )()( )( )( )Re( )Im( )( )( )()( ),()( )FFFFFFFjFRjIRRII ，即和如果表示为则(2)( )( )( )cos( )sinj tFf t edtf ttdtjf ttdt奇、偶函数的傅里叶变换特点0( )( )( )cos2( )cosf ttFf ttdtf ttdt当为的实偶函数时，为的实偶函数。0( )( )( )sin2( )sinf ttFjf ttdtjf ttdt当为的实奇函数时，为的虚奇函数。)()()()()()()(jItfRtftftftfoeoe则则，对对于于任任意意的的实实信信号号1. 矩形脉冲矩形脉冲2(
27、)( )02Atf tA g tt)2()(SaAF幅度频谱幅度频谱)(tft22A000( )limlim22nnTTnAFTFTSaTA Sa ()22440A)(F22440002( )02SaSa 相位频谱3.3.3 常用信号的傅里叶变换2. 单边实指数衰减信号单边实指数衰减信号( )( )tf tAeu t()()00( )( )( )()j ttj tjtjtFf t edtAeu t edtAeAAedtjj()022( )AF幅幅度度频频谱谱arctan)(相位频谱相位频谱（图形见（图形见 P88图图3-3-2）3. 双边实指数衰减信号双边实指数衰减信号( )tf tAe()0
28、（图形见（图形见 P89图图3-3-3）AAjj()tjtFAeedt00tj ttj tAe edtAeedt222A( )F即幅幅度度频频谱谱相位频谱为零相位频谱为零4. 单位冲激函数单位冲激函数 和直流信号和直流信号)(tt)(t) 1 (0()( )1jtFt edt1)(F0( )1t()()F 设1( )()211 ()22j tj tf tFeded (1)(F0（白噪声）（白噪声）t)(tf0125. 符号函数信号符号函数信号（图形见（图形见 P91图图3-3-6）0112( )limFjjj2( )F幅幅度度频频谱谱10( )0010tSgn ttt0( )lim( )()t
29、tSgn teu te utt)(tSgn110)sgn(2)(相位频谱相位频谱3.4 傅里叶变换的性质及其应用 对任意信号都可以在时域和频域中进行描述，联系对任意信号都可以在时域和频域中进行描述，联系这两种描述方法的纽带就是傅里叶变换。这两种描述方法的纽带就是傅里叶变换。 傅里叶变换的性质揭示了信号的特性、运算在时域傅里叶变换的性质揭示了信号的特性、运算在时域和频域中的对应关系，当在某一个域中对信号进行分析和频域中的对应关系，当在某一个域中对信号进行分析和计算感到困难时，可以利用傅里叶变换的性质转换到和计算感到困难时，可以利用傅里叶变换的性质转换到另一个域中进行。另一个域中进行。 另外，根据
30、定义求取傅里叶正、反变换时，不可避另外，根据定义求取傅里叶正、反变换时，不可避免地会遇到麻烦的积分或信号不满足绝对可积的条件等免地会遇到麻烦的积分或信号不满足绝对可积的条件等问题，而利用傅里叶变换的性质则可以简捷地求得信号问题，而利用傅里叶变换的性质则可以简捷地求得信号的傅里叶正、反变换。的傅里叶正、反变换。1. 线性线性11221122112212( )( )( )( )( )( )( )( )(,)f tFftFa f ta fta Fa Fa a若则为常数例：求单位阶跃信号例：求单位阶跃信号u(t)的傅里叶变换。的傅里叶变换。 11sgn22u tt由线性性质：由线性性质： 1u tj
31、2. 对称性对称性( )( )( )2()f tFF tf若则1( )( )2j tf tFed证明：2()( )j tftFed2()( )j ttfF t edt将上式中变量的符号和互相掉换，得( )( )()( )2( )f tffF tf若为偶函数，则，有 利用对称性质可以方便地求得某些信号的傅里叶变换利用对称性质可以方便地求得某些信号的傅里叶变换或傅里叶反变换。或傅里叶反变换。)(2)(2)(21)()(1)()(ftFFttf里里叶叶变变换换。例例如如，求求直直流流信信号号的的傅傅 傅里叶变换的对称性质可以帮助我们理解工程实际中傅里叶变换的对称性质可以帮助我们理解工程实际中的重要概
32、念。的重要概念。 例如，时域中连续的周期信号的频谱是离散的、非周例如，时域中连续的周期信号的频谱是离散的、非周期的，根据对称性可知：时域中离散的、非周期信号的频期的，根据对称性可知：时域中离散的、非周期信号的频谱必定是连续的、周期的。谱必定是连续的、周期的。例例 试求取样函数试求取样函数 的频谱函数。的频谱函数。解：解：tttSasin)()()()(2)()()()(21)()()()(222ggftSatFtftgSaFtSatF则则设设)(212tgt02111)(tSat10)(Sa10)(2g0113. 尺度变换特性（比例性）尺度变换特性（比例性）( )()1()f tFf atFa
33、aa若则（为非零实常数）0,()()1( )j txjx ataaf atf at edtdxf x eFjaaa 证明若：10()1()af atFjaaf atFjaa 同理可证，若，则综合上述两种情况，得1()()aftFj 若，则()( )()f atf taFjF jaa函数表示函数沿时间轴压缩（或扩展）了 倍，而则表示沿频率轴扩展（或压缩）了 倍。2以矩形脉冲为例，设脉冲宽度为 ，其频谱的有效带宽为，即脉宽与带宽的乘积是一个常数。在通信技术中，为了提高通信速度（每秒内所传送的脉冲数），减小脉冲宽度和希望减小所占用的频带宽度是一对矛盾。4. 时移特性时移特性00( )( )()j t
34、f tFf tteF若则0000()00()()( )( )()x t tjx tj tj tj tj xf ttf tt edtf x edxef x edxeF j 证明根据傅里叶变换的，有定定义义： 表明函数在时域中的时移，对应于其频谱在频域中产生附加相移。例：已知例：已知 ，求，求 的傅里叶变换。的傅里叶变换。001()tjaf attFeaa0()f att( )( )f tF解法一：解法一： 000 tf tf ttf att 时移尺度变换 001 jtj taFeFeFaa 解法二：解法二： 00 taf tf atf att 时移尺度变换 011 jtaFFeFaaaa 5.
35、频移性（调制定理）频移性（调制定理）00( )()( )jtf tFf t eF若则000()0( )( )( )()jtjtjj tf t ef t eedtf t edtF 证明根据傅里叶变换的，有定定义义：00( )( )jtf teF表明在时域中乘以，对应于在频域中移动。0001( )cos()()2f ttFF000( )sin()()2jf ttFF调制定理调制定理 001122jtf te 令，有则 00 2TjntTnnTnnftftF eftFn 对于周期信号的傅里叶变换为：F F称称为为已已调调制制信信号号称称为为载载波波信信号号正正弦弦或或余余弦弦信信号号称称为为调调制制
36、信信号号信信号号：幅幅度度调调制制（振振幅幅调调制制）ttftytf0cos)()()(ft ( )t0cosy t ( )乘法器乘法器)(tftttf0cos)(t)(F0WAcos)(0ttfF0W22A0W20频分多路复用频分多路复用6. 卷积定理卷积定理 1122( )( )( )( )f tFf tF若12121( )( )( )( )2f tf tFF1212( )( )( )( )f tf tFF时域卷积定理：时域卷积定理：频域卷积定理：频域卷积定理：例例 )(1tgt212110)(2tt1101)(1tgt2121102)(1SatgF 222)()()()()(211112
37、SaSaSatgtgtgtgtFFFF( )( )( )( )( )( )zszsytx th tYXH在系统分析中，利用时域卷积定理求解零状态响应将很方便：7. 时域微分和积分时域微分和积分( )()( )()f tFdf tjFdt若则1( )( )2j tf tFed证明：(1) 时域微分时域微分 ( )11( )( )22j tj tdf tFj edj Feddt( )( )df tj Fdt即)()()(Fjdttfdnnn推推广广(2) 时域积分性质时域积分性质( )( )( )( )(0) ( )tf tFFfdFj 若则证明：( )( )( ) ()( )tf tu tfu
38、tdfd1( )( )( )(0) ( )FFFjj (3) 时域积分性质的一个应用时域积分性质的一个应用lim( )( )( )( )( )( )tf tFftg tGF当为常数时，其频谱不易求得，设，此时计算的公式推导如下：( )(0) ( )GGj 代代入入上上式式，整整理理得得将将)()()( )0(0ffdtetfGtj( )( )( )()ttgdfdf tf( )2() ( )Ff ( )( )( )()( )GFffj 微微分分冲冲激激法法例如，求符号函数的频谱：例如，求符号函数的频谱：，代代入入公公式式，则则设设)(2)(2)()(sgn)( 1)(1)()sgn()(Gtt
39、gttfffttf)()()()()(ffjGFjt2)sgn(得得例例 求图示信号的频谱。求图示信号的频谱。，代代入入公公式式，又又则则如如图图求求导导，得得对对解解：0)(1)(2)()()( )( )(ffSaGtgtftftf)(2)(jSaF得得)()( tgtft2210)(tft2210)()()()()(ffjGF例例 求图示信号的频谱。求图示信号的频谱。，代代入入公公式式又又则则如如图图，求求导导，得得对对解解：1)()(2sin2sin633)()2() 1(3) 1(3)2()()( )( )(22ffjjeeeeGtttttgtftftfjjjj )(2)2(4)(6)
40、(22sin2sin6)(2)(SaSajGF得得)(tft30121112)()( tgtft012）（112）（1）（3）（38. 频域微分和积分频域微分和积分( )()()()( )f tFdFjt f td若则( )( )j tFf t edt证明：(1) 频域微分性质频域微分性质 ( )()( )j tdFjt f t edtd( )()( )dFjt f td( )( )dFtf tjd写成实用的形式( )( )( )nnnnd Ft f tjd递推，得(2) 频域积分性质频域积分性质( )(0) ( )()f tftFdjt例例 试证明下列傅里叶变换对成立：试证明下列傅里叶变换对
41、成立：)()(!)()2()(2) 1 ()(1)(nnnnnnnjjnttjt)(2)(21)()()(21)()1 ()()(nnnnnjtjtFtf故故，得得，根根据据频频域域微微分分性性质质，由由于于解解( )11(2)( )( )1()( )( )!( )( )()nnnnnnnu tjdjtu tdjnt u tjj 由于，根据频域微分性质，得故例例 试证明下列傅里叶变换对成立：试证明下列傅里叶变换对成立：)sgn(1)sgn(2)sgn(2)(22)()(2)sgn()() 1 (jtfjttFFjttf再再利利用用线线性性利利用用对对称称性性由由于于解解21)2()(1) 1
42、(tjSgnt22(2)(1)11sgn( )sgn( )1jjttt利用的结论，再利用时域微分性质，可得即傅里叶变换性质的应用)()(Ftf)()1 (jeFddjttf)()(jjejFeddFjjeddFjtft)()1 ()1 (jjeFeddFj)()(jeFtftf)()1()1 ()()(1ttftf法二：设解解)1()1()1()1 ()1 (1tftfttft则则根据时移和尺度变换的性质，有jjeddFjeFtf)()()()1(11jeddFjtft)()1 ()1 (即即根据频域微分性，有ddFjttftfF)()()()(11FF例例 求图示信号的频谱。求图示信号的频谱
43、。如如图图求求导导，得得对对解解：)( )(tftf)(tft02221)( tft0221) 1 (0)(1)(ff，又又有变换以及时移性，根据典型信号的傅里叶)()(21)(2 jjeeSajF得得，根根据据时时域域微微积积分分的的性性质质2)(2)( jjeeSatf例例 求单边正弦信号和单边余弦信号的傅里叶变换。求单边正弦信号和单边余弦信号的傅里叶变换。00000000022011cos( )()() ( )211 ()()22 ()2 () ()()2tu tjjjj 同理可得同理可得0000220sin( ) ()()2jtu t 例例 已知信号已知信号 的频谱的频谱 如图所示，如
44、图所示，试写出其时域表达式。试写出其时域表达式。)(tf解：解：(1) 利用对称性求解利用对称性求解如图所示如图所示设设)(0tF)()()(0000tFtFtF有有)()(000jjeetFF)(F0)(F001212111)(0tFt1011cos)(4Sa)(2)(ftF根据对称性根据对称性)(2)(2cos)(4011ffSa即即ttSatf011cos)(2)()(2)(110SatF则则(2) 利用调制定理求解利用调制定理求解)()()(0000FFF有有cos)(200ttfF11)(0F1如图所示如图所示设设)(0F)(2)(2)(2)(00110ffSatF则则)(1)(11
45、0tSatf即即ttSattftf01100cos)(2cos)(2)(3) 利用频域卷积定理求解利用频域卷积定理求解)()()()(000 FF)()()(2)(00101FFFtf21)(20011tjtjeetSattSa011cos)(2例例2(1)( )tdeu tdt求求2(1)2221( )( )2tteu te eu tej解解：222( )2tdje eu tedtj根据时域微分性)2(tejt例：求例：求1)(t：法一法一解解2)2(jet根据时移性根据时移性) 1(2)2(jjtete根据频移性根据频移性2(2)(2)jtjetet解法二：) 1(2je例例)()()()
46、(jIRFtf的的傅傅里里叶叶变变换换信信号号已已知知如如图图所所示示。的傅里叶变换的傅里叶变换求信号求信号试试)()(11Ftf)2(21)2(21)()(00tftftftf则则如如图图所所示示，解解：设设)21()21()()(01tttftf)(tft102)(0tft21121)(1tft21121112cos)(2)()(02201FeeFFjj)()2(41)2(410FFF2cos)2()2(21FF1 ()()()()cos222222RjIRjI)()()(FFtf为为实实函函数数，有有因因为为)2()2()2()2()2()2(IIRRFF，故故即即2cos)2(R11(
47、 ) ()()()()cos222222FRjIRjI3.5 希尔伯特变换及小波变换简介3.5.1希尔伯特变换 希尔伯特变换反映了傅里叶正反变换之间存在单边特性与解析性的对应关系。在讨论调制、滤波等问题时用单边频谱分析比较方便。 11( )( )ff tf tdtt 21 sgnsFFuF单边频谱 sjftf ttf tjf tt解析信号3.5.2小波变换简介 确定性时域信号可分为：平稳信号非平稳信号时-频局部化要求傅里叶变换窗口傅里叶变换小波变换模拟信号 连续小波变换其中小波基函数 是由母小波 经平移和缩放所产生的一组函数。 称为基本小波函数或母小波，具有两个特点：一是在时域具有快速衰减性；
48、二是正负交替的波动性，即直流分量为零。 021 aabtatab t t 小波基函数是窗函数，它的时-频窗表现了小波变换的时-频局部化能力。时-频窗面积不变。当a一定，b增大或减小时，时-频窗在时域表现为向右或向左平移。当b一定，a较小时，频窗中心自动地调整到较高的频率中心的位置，且时-频窗形状自动地变为“瘦窄”状,因为高频信号在很短的时域范围内的幅值变化大，频率含量高，所以这种“瘦窄”时-频窗正符合高频信号的局部时-频特性。小波理论的应用主要集中在以下几个方面:（1 1）在信号处理中的应用：小波分析能揭示信号的间断点、趋）在信号处理中的应用：小波分析能揭示信号的间断点、趋势和自相似性等性质。
49、还能在没有明显损失的情况下，对信号进势和自相似性等性质。还能在没有明显损失的情况下，对信号进行压缩和降噪。行压缩和降噪。（2 2）在图像处理中的应用：小波分析在图像数据压缩、去噪、）在图像处理中的应用：小波分析在图像数据压缩、去噪、融合、边缘检测等方面都有着广泛的应用。融合、边缘检测等方面都有着广泛的应用。（3 3）在机械故障诊断中的应用：小波分析已经广泛应用于旋转）在机械故障诊断中的应用：小波分析已经广泛应用于旋转机械、齿轮、轴承等的状态监测和故障诊断中。机械、齿轮、轴承等的状态监测和故障诊断中。（4 4）在数字水印中的应用：采用小波水印算法大大提高了水印）在数字水印中的应用：采用小波水印算
50、法大大提高了水印提取或检测的准确率。提取或检测的准确率。（5 5）在语音信号处理中的应用：例如信号预处理、语音端点检）在语音信号处理中的应用：例如信号预处理、语音端点检测、语音分析与合成等。测、语音分析与合成等。（6 6）在解积分方程中的应用：用小波函数作基底将积分方程离）在解积分方程中的应用：用小波函数作基底将积分方程离散化所得到的方程组的系数矩阵是稀疏的，这是小波解积分方程散化所得到的方程组的系数矩阵是稀疏的，这是小波解积分方程的最大优点。的最大优点。 3.6 取样信号的频谱 调制定理：调制定理：把信号搬移到不同的频段来实现把信号搬移到不同的频段来实现频分多路频分多路通信通信。（频分复用）
