1、有限元（FEM）概述概述v历史历史1943 Courant 最早提出思想最早提出思想20世纪世纪50年代年代 用于飞机设计用于飞机设计1960 Clough在著作中首先提出名称在著作中首先提出名称19641965年间数学家冯康独立地开创有限元年间数学家冯康独立地开创有限元方法并奠定其数学基础方法并奠定其数学基础1965 Winslow首次应用于电气工程问题首次应用于电气工程问题1969 Silvester推广应用于时谐电磁场问题推广应用于时谐电磁场问题v应用范围应用范围广泛地被应用于各种结构工程广泛地被应用于各种结构工程成功地用来解决其他工程领域中的问题成功地用来解决其他工程领域中的问题热传导
2、、渗流、流体力学、空气动力学、土壤力学、热传导、渗流、流体力学、空气动力学、土壤力学、机械零件强度分析、电磁工程问题等等机械零件强度分析、电磁工程问题等等v电磁工程应用及发展电磁工程应用及发展静态场时变场，闭域开域，线性非静态场时变场，闭域开域，线性非线性，散射，波导、腔体、传输线线性，散射，波导、腔体、传输线 标量有限元发展到矢量有限元标量有限元发展到矢量有限元 高阶矢量有限元高阶矢量有限元单一方法发展到混合方法单一方法发展到混合方法 (快速算法快速算法)频域求解发展到时域求解频域求解发展到时域求解 (区域分解技术区域分解技术)商用软件：比如商用软件：比如HFSS、ANSYS v有限元思想有
3、限元思想1有限元法是有限元法是函数逼近理论、偏微分方程、变分与函数逼近理论、偏微分方程、变分与泛函分析泛函分析的巧妙结合。从数学上分析，有限元法的巧妙结合。从数学上分析，有限元法是是Rayleigh-Ritz-Galerkin法的推广。法的推广。传统的有限元以传统的有限元以变分原理变分原理为基础为基础变分问题就是求变分问题就是求泛函极值泛函极值的问题的问题 直接解法把变分问题化为普通多元函数求极值的问题直接解法把变分问题化为普通多元函数求极值的问题Ritz 寻找一组在全域上解析、而又要在边界上满足强加边界寻找一组在全域上解析、而又要在边界上满足强加边界条件的基函数条件的基函数间接解法间接解法
4、变分原理变分原理 变分问题与对应的变分问题与对应的边值问题等价边值问题等价 v有限元思想有限元思想2有限元法采取了与变分问题间接解法相反的途径,把所要求的微分方程型数学模型边值问题，首先转化为相应的变分问题，即泛函求极值问题；然后利用剖分插值，离散化变分问题为普通多元函数的极值问题，即最终归结为一组多元的代数方程组，解之即得待求边值问题的数值解。v有限元思想有限元思想3有限元法的核心在于剖分插值，它是将所研究的连续场分割为有限个单元，用比较简单的插值函数来表示每个单元的解，但是它并不要求每个单元的试探解都满足边界条件，而是在全部单元总体合成后再引入边界条件。这样，就有可能对内部和边界上的单元采
5、用同样的插值函数，使方法构造极大地得到简化。v有限元思想有限元思想4由于变分原理的应用，使第二、三类及不同媒质分界面上的边界条件作为自然边界条件在总体合成时将隐含地得到满足，也就是说，自然边界条件将被包含在泛函达到极值的要求之中，不必单独列出，而唯一考虑的仅是强制边界条件（第一类边界条件）的处理，这就进一步简化了方法的构造。v有限元法主要特点有限元法主要特点1离散化过程保持了明显的物理意义。因为变分原理描述了支配物理现象的物理学中的最小作用原理（如力学中的最小势能原理、静电学中的汤姆逊定理等）。因此，基于问题固有的物理特性而予以离散化处理，列出计算公式，当可保证方法的正确性、数值解的存在与稳定
6、性等前提要素。v有限元法主要特点有限元法主要特点2优异的解题能力。与其他数值方法相比较，有限元法在适应场域边界几何形状以及媒质物理性质变异情况的复杂问题求解上，有突出的优点：不受几何形状和媒质分布的复杂程度限制；不同媒质分界面上的边界条件是自动满足的；不必单独处理第二、三类边界条件；离散点配置比较随意，通过控制有限单元剖分密度和单元插值函数的选取，可以充分保证所需的数值计算精度。v有限元法主要特点有限元法主要特点3可方便地编写通用计算程序，使之构成模块化的子程序集合。容易并行。从数学理论意义上讲，有限元作为应用数学的一个分支，它使微分方程的解法与理论面目一新，推动了泛函分析与计算方法的发展。&
7、3.1变分原理与尤拉方程变分原理与尤拉方程v在微积分学形成的初期，以数学物理问题为在微积分学形成的初期，以数学物理问题为背景，与背景，与多元函数的极值问题多元函数的极值问题相对应，就已相对应，就已经在几何、力学上提出了经在几何、力学上提出了若干求解泛函极值若干求解泛函极值的问题。的问题。v例如最速降线问题，即在于研究当质点从定例如最速降线问题，即在于研究当质点从定点点A自由下滑到定点自由下滑到定点B时，为使滑行时，为使滑行时间最短时间最短，试求指点应延着怎样形状的光滑试求指点应延着怎样形状的光滑轨道轨道下滑。下滑。dxdsA(x1, y1)B(x2, y2)xyO沿曲线滑行弧线所需时间为沿曲线
8、滑行弧线所需时间为gyxygyxvst2d12dsecdd2滑行总时间为滑行总时间为xgyytxyTxyJxxTd21d)()(21202121221 ( )dmin2()0()xxyJ y xxgyy xy xy泛函的极值（泛函的极值（max或或min）问题就称为变分问题。）问题就称为变分问题。 )(xy)(xy对一般问题而言，可导出下列对应于一个自变量对一般问题而言，可导出下列对应于一个自变量 、单个函数单个函数及其导数及其导数的已知函数的已知函数xxyyxFyJxxd ),(21函数族函数族 ( )y x J y仅有一个仅有一个能使定积分能使定积分达到极小值达到极小值 间接解法间接解法是
9、将变分问题转化为是将变分问题转化为尤拉方程尤拉方程（微分方程）的定解问题，即边值问题来求解。（微分方程）的定解问题，即边值问题来求解。xyyxFyJxxd ),(21y)(xy称之为称之为的的变分变分，它反映了，它反映了整个函数的变化量整个函数的变化量 相应于变分相应于变分y的泛函增量为的泛函增量为21 ( ,)( , ,)dxxJJ yyJ yF x yy yyF x y yx JJJJJ32任意给定的微量实参数任意给定的微量实参数 ),(xyy ),(xyJ)(),(xyJyJ满足满足0)()(21xx齐次边界条件的可微函数齐次边界条件的可微函数 0极值极值21d),(),(,)(xxxx
10、yxyxF21( ) , ( , ),( , )( , ) , ( , ),( , )( , )dxxF x y xy xy xyF x y xy xy xxy )()()(),(xxxyxy21210 , ( , ),( , ) ( )( ) , ( , ),( , ) ( )d , ( ),( ) ( ) , ( ),( ) ( )dxyxyxyyxF x y xy xxFx y xy xxxF x y xy xxFx y xy xxx 21d xxxyyFyyFJ12d )0(xxxyFyF简写为简写为 只差一个数值因子只差一个数值因子 0)0(J)(xyy 极值函数解极值函数解必须满足
11、的必要条件必须满足的必要条件 等同于等同于210 xxdxyyFyyF0)0()(00)(21xxydxyFdxdyF0)(yFdxdyFxyyxFyJxxd ),(21泛函泛函的极值问题的的极值问题的尤拉方程尤拉方程简单函数简单函数简单泛函简单泛函自变量的微分自变量的微分 表示自变量值的微小表示自变量值的微小变化变化函数变分函数变分 表示函数形式的表示函数形式的微小变化，其中微小变化，其中 是正的任意给是正的任意给定的常数，定的常数， 为可取函数为可取函数 引起的函数值变化可利用引起的函数值变化可利用Taylor级级数展开数展开函数增量的线性部分函数增量的线性部分函数的一阶微分简称微分函数的
12、一阶微分简称微分函数的函数的n阶微分表示为阶微分表示为 引起的泛函值的变化可展开为引起的泛函值的变化可展开为定义：泛函的一阶变分简称变分，是定义：泛函的一阶变分简称变分，是泛函增量的线性主部泛函增量的线性主部同样有二阶直到同样有二阶直到n阶变分阶变分( )U x21 ( ) , ( )xxJ v xF x v x dx( )vx112,( )x xxMdx221()( )( )( )2!12!U xdxU xU x dxUx dxdUd U( )( )dU xU x dx( )( )nnnd U xUx dxv22112 , , 1 ( ) ( )2!xxxxJ vvJ vF x vdv dx
13、F x v dxJ v xJ v x21 ( )()xxFJ v xv dxv21 ( )()nxnnxFJ v xvdxv简单函数简单函数简单泛函简单泛函自变量在自变量在 上变化时，函数有极大上变化时，函数有极大和极小点。和极小点。极大点极大点 取极大值取极大值（在（在 领域）领域）极小点极小点 取极小值取极小值（在（在 领域）领域）取极值条件：一阶微分为零，取极值条件：一阶微分为零， 的解的解用二阶微分可以判断该点为极大用二阶微分可以判断该点为极大（ ），极小（），极小（ ），），还是拐点还是拐点函数定义空间变化时（曲线簇）使值函数定义空间变化时（曲线簇）使值域数值为极大和极小域数值为极大
14、和极小极大曲线极大曲线 是泛函是泛函 极大极大极小曲线极小曲线 是泛函是泛函 极小极小泛函极值条件为一阶变分为零：泛函极值条件为一阶变分为零： 的解的解用泛函二阶变分判断极值点的特性：用泛函二阶变分判断极值点的特性：( )U x21 ( ) , ( )xxJ v xF x v x dx12 ,x xmaxmax:()xU xmaxxminmin:()xU xminx( )0U x 2max()0d U x2min()0d U x2( )0d U x maxv( )maxxJ vminv( )minxJ v ( )0J v x22maxmin( )0,( )0J vxJ vxv泛函的极值泛函的极
15、值问题就称为问题就称为变分问题变分问题 v变分问题与边值问题变分问题与边值问题等价等价 v有限元正是间接求解变分问题过程的有限元正是间接求解变分问题过程的逆逆过程过程 v泛函取极值的过程中泛函取极值的过程中 第二、第三类边界条件为第二、第三类边界条件为自然边界条件自然边界条件无条件变分问题无条件变分问题第一类边界条件为第一类边界条件为强加边界条件强加边界条件 条件变分条件变分 21( )0( )( ,)min|xnxSJ yF y y yydxyf&3.2与线性问题等价的变分问题与线性问题等价的变分问题v与齐次边值问题等价的变分问题与齐次边值问题等价的变分问题 220 |0S|0Sn1( )
16、|0SSfpn与泊松方程齐次第三类边值问题等价的变分问题与泊松方程齐次第三类边值问题等价的变分问题与泊松方程齐次第二类边值问题等价的变分问题与泊松方程齐次第二类边值问题等价的变分问题 22111( )(2)( )min22VSFdVfpdS 21( )(2)min2VFdV与泊松方程齐次第一类边值问题等价的变分问题与泊松方程齐次第一类边值问题等价的变分问题 混合型边界条件混合型边界条件 21( )(2)min2|0VSFdVv与非齐次边值问题等价的变分问题与非齐次边值问题等价的变分问题与泊松方程非齐次第三类边值问题等价的变分问与泊松方程非齐次第三类边值问题等价的变分问题题 0|( )Sfp1|
17、( )Sfpn12( )|( )SSfpfpn221211( )(2)( )min22VSFdVfpfdS 与泊松方程非齐次第二类边值问题等价的变分问与泊松方程非齐次第二类边值问题等价的变分问题题 与泊松方程非齐次混合型边值问题与泊松方程非齐次混合型边值问题 211( )(2)min2VSFdVfdS 212212011( )(2)( )min22|VSSFdVfpfdSf v二维问题二维问题 体积分变成面积分，面积分变成线积分体积分变成面积分，面积分变成线积分v轴对称场轴对称场 v分层介质中的变分问题分层介质中的变分问题 变为问题中，由于介质分界面上的边界条件为齐变为问题中，由于介质分界面上
18、的边界条件为齐次自然边界条件，所以泛函取极值时自动满足，次自然边界条件，所以泛函取极值时自动满足，不必另行处理。不必另行处理。 222()()xydSdxdy222()()rz122222|LLxyqn21221( ) ()() 2min2|SLLJdxdyq dlxy a ab bc cd di ij jqnhqn( , )i j1(, )2ij(1, )ij(1, )ij1( ,)2i j( ,1)i j(, )M j(,)M N半线系统半线系统 无遗漏、无多余的覆盖无遗漏、无多余的覆盖&3.3基于变分原理的差分方程基于变分原理的差分方程 梯形积分公式梯形积分公式( )( )baI ff
19、x dx0( )()nnkkkIfA f x()hban线性线性LagrangeLagrange插值公式插值公式( )( )( )xbxaL xf af babba1() ( )( )2nIbaf af b梯形公式梯形公式a ab bc cd di ij jqnhqn(, )i j11(,)22ij1(,)2M j (,)M N1(,)2iN2222111,1,1,1,1,1,11,222,1,1,1,11,11,1()()()() 4()4iji jiji ji ji jijijiji ji jijiji ji jijijJh 1,1,1,21,1,1,2()2()2M jM jM jM j
20、M ji Ni NiNiNiNhJqqhJqq ,0,1,;1,i jJiM jN11,221,21,22211,221,21,21()() 2()()ijM jiNSijLM jLiNJdxdyxyJq dlJq dl 右边界上边界2,1,1,2,1,1,2,1,1,1,11111111,22222222()()224()()224()()224()(22()i jiji ji ji ji jiji ji ji ji jiji ji ji ji jijijijijiji ji jhhhJJJJJ2,1,)04i ji ji jh2,1,1,2,1,1,111111,222222()()224
21、()()224()022()M jMjM jM jM jM jMjM jM jM jM jM jMjMjM jM jM jM jhhhhqqJJJJJa ab bc cd di ij jqnhqn(, )i j11(,)22ij(, )M j(,)M N2,1,1,1111,2222()()()022422()M NMNM NM NM NM NM NMNM NMNM NM NhhhqqJJJJ当（当（i，j）为内点）为内点 2,1,1,1,1,(4)i jijiji ji ji jh右边点而非角点右边点而非角点 ,1,1iM jN2,1,1,1,111(2)1,2,1222M jMjM jM
22、jM jM jhhqjN上边点而非角点（上边点而非角点（i，N） 1,1iN2,1,1,1,111(2)1,2,1222i NiNiNi Ni Ni NhhqiM角点（角点（M，N） 2,1,1,111()224M NMNM NM NM Nhhq &3.4有限元法求解有限元法求解v给出与待求边值问题相应的给出与待求边值问题相应的泛函及其等价变分泛函及其等价变分问题问题v应用应用有限单元剖分场区域，有限单元剖分场区域，并选取并选取相应的插值相应的插值函数函数v将将变分问题离散化为一个多元函数的极值变分问题离散化为一个多元函数的极值问题，问题，导出一组联立的代数方程导出一组联立的代数方程 单元分析
23、单元分析 /总体合成总体合成 /强加边界条件处理强加边界条件处理 v选择选择适当的代数解法，解有限元方程适当的代数解法，解有限元方程，即得待，即得待求边值问题的近似解（数值解）求边值问题的近似解（数值解）v检验（附加计算）检验（附加计算）任务任务离散化离散化方式方式场域或物体分为有限个子域，如：三角形、四边场域或物体分为有限个子域，如：三角形、四边形、四面体、六面体等形、四面体、六面体等内容内容单元数量、大小、排列单元数量、大小、排列任务任务选择插值函数选择插值函数方式方式选择插值函数的类型，如多项式，用节点（图形选择插值函数的类型，如多项式，用节点（图形顶点）的场值求取子域中各点的场的近似值
24、。一顶点）的场值求取子域中各点的场的近似值。一般用多项式，其次数与节点数有关般用多项式，其次数与节点数有关内容内容插值函数、形式、次数插值函数、形式、次数任务任务建立单元特征式建立单元特征式（单元分析）（单元分析）方式方式推导单元系数矩阵、取决于插值函数、单元推导单元系数矩阵、取决于插值函数、单元几何形状、单元材质。相应的变分问题几何形状、单元材质。相应的变分问题内容内容找到对应的变分问题，将已知插值函数进行找到对应的变分问题，将已知插值函数进行微分、积分运算。整理出单元形函数，单元微分、积分运算。整理出单元形函数，单元系数矩阵系数矩阵任务任务建立系统有限元建立系统有限元（总体合成）（总体合成
25、）方式方式把单元特征式采用简单处理方法加以合并，把单元特征式采用简单处理方法加以合并，然后表示出整域上的线性方程组，节点互联然后表示出整域上的线性方程组，节点互联处的场值相同，一般此过程由计算机自动完处的场值相同，一般此过程由计算机自动完成成内容内容有限元方程有限元方程任务任务求解有限元方程求解有限元方程方式方式考虑边界条件并修改上一步得到的方程，采考虑边界条件并修改上一步得到的方程，采用适当的方法求解线性方程组，求得节点处用适当的方法求解线性方程组，求得节点处未知场的数值。再由插值函数求域中任一点未知场的数值。再由插值函数求域中任一点的值的值内容内容任一点的场值任一点的场值任务任务附加计算附
26、加计算方式方式由场值求取其他关心的重要参数，如电荷分由场值求取其他关心的重要参数，如电荷分布，电流分布、电压分布等。可由相应的物布，电流分布、电压分布等。可由相应的物理规律，经离散化处理后，得到各单元的相理规律，经离散化处理后，得到各单元的相应表达式应表达式内容内容关心的其他物理量的值关心的其他物理量的值&3.4.1场域剖分场域剖分 v区域离散的方式将区域离散的方式将影响影响计算机计算机内存需求内存需求、计计算时间算时间和数值结果的和数值结果的精确度精确度 一维区域一维区域 短直线段短直线段 二维区域二维区域小三角形或矩形小三角形或矩形 三维区域三维区域四面体、三棱柱或矩形块四面体、三棱柱或矩
27、形块 v划分单元的基本原则划分单元的基本原则总原则总原则 在满足精度要求的前提下，尽量减少剖分单元数目以在满足精度要求的前提下，尽量减少剖分单元数目以节省存储量和计算时间节省存储量和计算时间 其他其他需要详尽了解的部位要切分得细小，其他部位可以粗需要详尽了解的部位要切分得细小，其他部位可以粗糙一些，几何形状变化剧烈的地方电磁场也变化大，糙一些，几何形状变化剧烈的地方电磁场也变化大，单元要细小一些单元要细小一些所有单元应所有单元应接近等边三角形接近等边三角形 当有当有曲线边界和复杂形状边界曲线边界和复杂形状边界时就需要把复杂形状用时就需要把复杂形状用标准形状来逼近标准形状来逼近 节点、分割线或分
28、割面节点、分割线或分割面应应设置设置在几何形状和介质形状在几何形状和介质形状发生发生突变处突变处 v注意事项注意事项 各单元只能在顶点处相交各单元只能在顶点处相交 不同单元在边界处相连，既不能相互分离又不能不同单元在边界处相连，既不能相互分离又不能相互重叠相互重叠 a a分分离离重重叠叠v单元、节点编号单元、节点编号单元编号单元编号 、全局节点编号全局节点编号 、局部节点编号局部节点编号 单元编号单元编号用一组整数给单元编号用一组整数给单元编号没有特殊要求，只要方便没有特殊要求，只要方便 一般按内部单元、第一类、第二类边界条件单元的顺一般按内部单元、第一类、第二类边界条件单元的顺序进行序进行
29、节点编号节点编号完整描述应包括它的完整描述应包括它的坐标值、局部编号和全局编码坐标值、局部编号和全局编码局部编号表示它在单元中的位置局部编号表示它在单元中的位置：逆时针方向逆时针方向 用两组整数编号用两组整数编号12343 31 12 24 46 65 5( , )n i e1,2,3i 1,2,3,eM引入引入3M的整型数组的整型数组 节点的局部编号节点的局部编号 单元编号单元编号 节点全局编号节点全局编号 1241254233524564(1, )n e(2, )ne(3, )nee&3.4.2分片插值与形状函数分片插值与形状函数 v插值插值 用一个简单函数去近似代替真实函数，二者在某用一
30、个简单函数去近似代替真实函数，二者在某些积分点上具有相同的函数值甚至直到某阶导数些积分点上具有相同的函数值甚至直到某阶导数值值 插值函数插值函数:一阶（线性）、二阶（二次）、或高一阶（线性）、二阶（二次）、或高阶多项式阶多项式 1( )1,2,neiiiW peme e单单元元ppljnljn1112211()()()neiiineiiineniiniW pW pW p12,n : 待定系数待定系数 iW: P点的插值函数点的插值函数（也称为展开函数或基函数），（也称为展开函数或基函数），通常代表了有限单元上通常代表了有限单元上用来逼近带求场分布的近似规律用来逼近带求场分布的近似规律 它们只有
31、在单元它们只有在单元e内才不为零，而在单元内才不为零，而在单元e外均为零外均为零 v形状函数形状函数基函数与单元的形状尺寸有关基函数与单元的形状尺寸有关 线性三角形单元线性三角形单元单元剖分得足够小，以致可将其上的场量看作不变单元剖分得足够小，以致可将其上的场量看作不变 ei ij jmm123( , )eeeex yxy123123123eeeeiiieeeejjjeeeemmmxyxyxy三角形单元节点数与插值函数的待定系数的个数相等。三角形单元节点数与插值函数的待定系数的个数相等。123() 2() 2() 2eeeiijjmmeeeiijjmmeeeiijjmmaaabbbcccijm
32、mjax yx yijmbyyjmixxc1111()221iijjijjimmx yxybcb cxy , ,1( , )()()()2( , )eeeeiiiijjjjmmmmeessi j mx yab xc yab xc yab xc yNx y三角元三角元e上的线性插值基函数上的线性插值基函数 1( , )(), ,2essssNx yab xc ysi j m ( , )eieeeeeijmjeeemx yNNNN, ,1( , )()()()2( , )eeeeiiiijjjjmmmmeessi j mx yab xc yab xc yab xc yNx y( , )Q x yx
33、 xy yo oi ij jm m(, ,)esNsi j m的几何意义的几何意义 1( , )()211112112122eiiiijjjjmmmmjjjmjmmmNx yab xc yxyyxxyxyyxx yxyxy形状函数形状函数 ( , )eiNx y表示以表示以 ( , )Q x y为一顶点，为一顶点， jm为对边的三角形面积与三角形单元面积之比。为对边的三角形面积与三角形单元面积之比。 v形状函数性质形状函数性质 ( , )( , )( , )1eeeijmNx yNx yNx y1(,)0eijjijijNxyij( , )x yj( , )ejNx y观察点观察点位于第位于第
34、个节点的对边上时，个节点的对边上时，为零为零 保证了单元两侧解的连续性保证了单元两侧解的连续性 &3.4.3 有限元方程建立有限元方程建立 v齐次自然边界条件下拉氏方程的有限元方程齐次自然边界条件下拉氏方程的有限元方程静电场的边值问题静电场的边值问题 21200()0( , )LLnfx y场域内二维直角坐标系二维直角坐标系 1220( )()() min2( , )SLFdxdyxyfx y用三角形剖分，得到用三角形剖分，得到E个单元，个节点，每个单元上的能量泛函为个单元，个节点，每个单元上的能量泛函为 22( )()() 2eeSFdxdyxy2211( )()() ( )2eEEeSee
35、FdxdyFxy( , )eeeeeeeiijjmmx yNNN1( , )(), ,2essssNx yab xc ysi j m处理过程与变分处理过程与变分原理导出的差分原理导出的差分法有什么异同呢？法有什么异同呢？ ( , )eieeeeeijmjeeemx yNNNN eieeeejeimjeeemeieeeejeimjeeemNNNNxxxxxNNNNyyyyy单元分析单元分析22( )()() 2eeSFdxdyxy1212eieeijmjemeieeijmjemb bbxcccy 22()()Txxyxyy 12eiijmejeeijmemb bbxScccy 12ijmeijm
36、bbbSccc TTeeS 22()() TeeeeSSxy不是坐标不是坐标x x，y y的函数，的函数，而是单元上的节点位置（已知数值）及其场量的函数而是单元上的节点位置（已知数值）及其场量的函数 单元上的泛函表达式单元上的泛函表达式 1( ) 221122eeeTTeeeeeSSTTTeeeeeeeSFdxdySSdxdySSdxdyK eTeeeSKSSdxdy单元的系数矩阵，它只与剖分有关，而非单元的系数矩阵，它只与剖分有关，而非x x，y y的函数的函数 222222244eiiijmTejjeeSijmmmiiijijimimjijijjjmjmm im imjmjmmeeeiii
37、jimeeejijjjmeeemimjmmb cb bbKSSdxdyb ccccbcbcbbccbbccb bc cbcb bc cb bc cb bc cbcKKKKKKKKK()( , ,)4eerllrrlrlKKb bc cr li j m , ., ,1( )21()()()212Teeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeiiiijjimmijiijjjjmmjmiimjjmmmmeeerlrlr i j m l i j mFKKKKKKKKKKK 总体合成总体合成迭加：交汇于同一节点的单元泛函方程迭加：交汇于同一节点的单元泛函方程 11111( )( ) 22ENNTe
38、ijijeijFFKK1EeeKK对称矩阵对称矩阵 1( ,1,2,)EeijijeKKi jN12 N组合时，将各单元系数矩阵扩展为组合时，将各单元系数矩阵扩展为 NN阶方阵，直接相加阶方阵，直接相加 ( )0(1,2,)iFiN10(1,2,)NijjjKiN10 0( , )LKfx y例：如何由单元矩阵组合成总体矩阵例：如何由单元矩阵组合成总体矩阵 1 1( (0 0, ,0 0) )3 3( (2 2, ,0 0) )5 5( (4 4, ,0 0) )2 2( (0 0, ,2 2) )4 4( (2 2, ,2 2) )6 6( (4 4, ,2 2) )X XY Yiiiijj
39、jjmmmm(1)(2)(3)(4)20012056015 26n在 边上在边上在、 边上2201256( )()() min20SFdxdyxy所对应的等价变分问题为所对应的等价变分问题为1 1( (0 0, ,0 0) )3 3( (2 2, ,0 0) )5 5( (4 4, ,0 0) )2 2( (0 0, ,2 2) )4 4( (2 2, ,2 2) )6 6( (4 4, ,2 2) )X XY Yiiiijjjjmmmm(1)(2)(3)(4)节点总体编号节点总体编号123456x002244y020202节点局节点局部编号部编号 ijm132342354564单元单元 号号
40、节点总体节点总体编号编号1111113121111313332111212322KKKKKKKKKK2223334322222434442222232422KKKKKKKKKK3333335343333535554333434544KKKKKKKKKK4445556544444656664444454644KKKKKKKKKK111111213112122212222232324112123233313232333333343435223234344424343444444454546334344535454555556444646566000000000000KKKKKKKKKKKKKKKK
41、KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK对于对角元素对于对角元素 iiK有贡献的只有以有贡献的只有以 i为共同顶点的单元为共同顶点的单元 ieiiiiKK以 为顶点的单元对非对角元素对非对角元素 ijK有贡献的只是以有贡献的只是以 ij为公共边的单元为公共边的单元 ijeijijKK以 为公共边的单元零元素由不在一个单元、不相干的节点产生零元素由不在一个单元、不相干的节点产生 1 1( (0 0, ,0 0) )3 3( (2 2, ,0 0) )5 5( (4 4, ,0 0) )2 2( (0 0, ,2 2) )4 4( (2 2, ,2 2) )6 6( (4 4, ,2 2) )X
42、 XY Yiiiijjjjmmmm(1)(2)(3)(4)2111221iijjmmxyxyxy 222002ijmimjjmijimmijmjibyycxxbyycxxbyycxx ()( , ,)4eerllrrlrlKKb bc cr li j m11122112121()( 2 22 0)144KKbbcc 1223333()14Kbc211 0001 201001 04210012 40100102100011 2K对称对称 主对角线元素占优，正定主对角线元素占优，正定 稀疏稀疏 带状带状 v减小系数矩阵的最大半带宽减小系数矩阵的最大半带宽 B BB BN NN N1BD取决于场域上
43、单元任二节点取决于场域上单元任二节点总体编号的最大差值总体编号的最大差值D D eeeiiijimeeeejijjjmeeemimjmmKKKKKKKKKK ijmijmeeeiiijimeeejijjjmeeemimjmmKKKKKKKKKK第 列第 列第 列第 行第 行第 行先选与其他节点联系最少的节先选与其他节点联系最少的节点作为起始节点，然后将相邻点作为起始节点，然后将相邻节点编为紧接着的号数，使相节点编为紧接着的号数，使相邻节点的编号数均为相差不多邻节点的编号数均为相差不多的数的数节点全局编号的顺序节点全局编号的顺序1 12 24 46 63 35 51 14 45 56 62 23
44、 3(1)(2)(3)(4)(1)(2)(3)(4)( (a a) )( (b b) )D=2，B=3 D=3，B=4 一般沿场域的窄边（节点数少的）编号一般沿场域的窄边（节点数少的）编号 需占内存数需占内存数6*3=186*4=24v非齐次自然边界条件下拉氏方程的有限元方程非齐次自然边界条件下拉氏方程的有限元方程2121200( , )( , )LLffx ynfx y21场域内在边界L 上在边界L 上二维直角坐标系二维直角坐标系 2122212011( )()() ()min22( , )SLLFdxdyffdlxyfx y12121( )( )( )( )( )EeeeFFFFF由非齐次
45、自然边界条件引起由非齐次自然边界条件引起 221111( )()() ( )2eEEeSeeFdxdyFxy 11( ) 221122eeeTTeeeeeSSTTTeeeeeeeSFdxdySSdxdySSdxdyK()( , ,)4eerllrrlrlKKb bc cr li j mK222121( )()2LFffdl剖分时应尽量使场域边界分段线性化剖分时应尽量使场域边界分段线性化 应先编不含非齐次边界条件的单元，再编含非齐次边界条件的单元应先编不含非齐次边界条件的单元，再编含非齐次边界条件的单元 应先编不含非齐次边界条件的节点应先编不含非齐次边界条件的节点1，2，N，再编含非齐次边界条件
46、节点再编含非齐次边界条件节点N+1，N+2，。 N NN N+ +1 1N N+ +2 2N N+ +3 3N N+ +4 4eijm将正对着边界的那个将正对着边界的那个三角形单元顶点编为三角形单元顶点编为i jm的长度为的长度为220()()jmjmlxxyyl边上任一点到边上任一点到j点的距离为点的距离为，该点上的电位为，该点上的电位为000()(1)mjjjmllllllN NN N+ +1 1N N+ +2 2N N+ +3 3N N+ +4 4eijm0ltl0(1),jmttdll dt2122212120011( )()(1 )(1 )22ejmjmLFffdlfttfttl d
47、t111(,)(,)2jjmmaf xyf xyf222(,)(,)2jjmmafxyfxyf222010211111( )()()23332eajjmmajmFl fl f 写为矩阵形式写为矩阵形式 21( ) 2TTeeeeeeFKP Teijm 01010101000036063aaeaal fl fKl fl f0202022aeal fPl f222010211111( )()()23332eajjmmajmFl fl f 1f由由 引起引起2f由由 引起引起2( )eF的值只和与它相联系的节点有关的值只和与它相联系的节点有关 2( )0( , ,)eiFi j m 0eeeKP21
48、( ) 2TTeeeeeeFKP 0eeeeeKKP eeeeKKP010101013663eeeiiijimeeeaaeejijjjmeeeaamimjmmKKKl fl fKKKKKl fl fKKK KP KKK1100 0 ,LLKKPffv齐次自然边界条件下泊松方程的有限元方程齐次自然边界条件下泊松方程的有限元方程静电场的边值问题静电场的边值问题 2120()0( , )LLnfx y 场域内二维直角坐标系二维直角坐标系 12201( ) ()() 2min2( , )SLFdxdyxyfx y13131( )( )( )( )( )EeeeFFFFF由密度由密度 引起引起 eeN三
49、角元剖分三角元剖分 33111( )( )() eeEEETTeiijjmmeeSSeeeFFNNNdxdyNdxdy 331( )( )(1,2,)EeeiiFFiN3( )( , ,)eeiiFPi j m eeeeiSeiTeejejSSemmSN dxdyPPNdxdyN dxdyPPN dxdy剖分的三角元面积剖分的三角元面积 eS较小较小 提出积分号外提出积分号外 近似为常量近似为常量 1()3eijm( , ,)eeieiSPN dxdyi j m积分积分 x-y平面平面 ijNN平面平面 1( , )(), ,2essssNx yab xc ysi j m1(,)0eijjij
50、ijNxyijSeSexy( (0 0, ,0 0) )0 0( (1 1, ,0 0) )( (0 0, ,1 1) )NiNjijmmij由二重积分的变换式由二重积分的变换式雅克比式，得到面积元素变换式为雅克比式，得到面积元素变换式为 214iiiiijjjjjNNb cxydN dNdxdydxdyNNb cxy2ijdxdydN dN 1()()()()121iiiijmimmimjjjjjmmxyb cyyxxyyxxxyb cxy 111000222(1)3eeieieieiijSSNeiijeiiiePN dxdyN dN dNN dNdNNN dN1 131eTeeeSPNdx
