1、立体几何立体几何2基础理论复习基础理论复习辨析1/10 分别在两个平面内的两条直线是异面直线分别在两个平面内的两条直线是异面直线 不在同一个平面内的两条直线是异面直线不在同一个平面内的两条直线是异面直线 不同在任何一个平面内的两条直线式异面不同在任何一个平面内的两条直线式异面直线直线辨析2/10 如果一条直线如果一条直线与平面内一条与平面内一条直线平行，那直线平行，那么它和该平面么它和该平面平行平行面，面，abba辨析3/10 如果一条直线和一如果一条直线和一个平面平行，那么个平面平行，那么这条直线与已知平这条直线与已知平面内的所有直线都面内的所有直线都平行平行b/ab/a辨析4/10 如果一
2、个平面内两条直线都与另一个平面如果一个平面内两条直线都与另一个平面平行，那么这两个平面平行平行，那么这两个平面平行 如果一个平面内任意一条直线与另一个平如果一个平面内任意一条直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行面平行，那么这两个平面平行 如果一个平面内任意一条直线都与另一个如果一个平面内任意一条直线都与另一个平面平行，那么这两个平面平行平面平行，那么这两个平面平行辨析5/10 如果两个平面平行，那么其中一个平面内如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线与另一个平面内的直线都平行的直线与另一个平面内的直线都平行 如果两个平面平行，那么其中一个平面内如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线
3、与另一个平面内的直线都平行或异的直线与另一个平面内的直线都平行或异面面辨析6/10 如果一条直线与如果一条直线与一个平面内的两一个平面内的两条直线都垂直，条直线都垂直，那么他和这个平那么他和这个平面垂直面垂直 a O b c 辨析7/10垂直于同一平面的两个垂直于同一平面的两个平面平行平面平行垂直于同一直线的两条垂直于同一直线的两条直线平行直线平行辨析8/10 直线直线a平面平面 直线直线b平面平面 a b 直线直线a/平面平面 直线直线b/平面平面 a b 辨析9/10 如果两个平面如果两个平面垂直，那么在垂直，那么在其中一个平面其中一个平面内的直线都垂内的直线都垂直与另一个平直与另一个平面
4、面辨析10/10 如果一个二面角的两个面与另一个二面角如果一个二面角的两个面与另一个二面角的两个面分别平行，那么它们的大小相等的两个面分别平行，那么它们的大小相等或者互补或者互补 如果一个二面角的两个面与另一个二面角如果一个二面角的两个面与另一个二面角的两个面分别垂直，那么它们的大小相等的两个面分别垂直，那么它们的大小相等或者互补或者互补线面平行 面面平行 直线与平面平行：直线与平面平行：如果一条直线和一个平面没有公共点，就如果一条直线和一个平面没有公共点，就说它们平行说它们平行 平面平行：平面平行：如果两个平面没有公共点，就说这两个平如果两个平面没有公共点，就说这两个平面平行面平行线线垂直
5、线面垂直 直线与直线垂直：直线与直线垂直：如果两条直线所成的角是直角，我们说这如果两条直线所成的角是直角，我们说这两条直线垂直（包括相交垂直和异面垂直）两条直线垂直（包括相交垂直和异面垂直）直线与平面垂直：直线与平面垂直：如果一条直线和一个平面内的所有直线都如果一条直线和一个平面内的所有直线都垂直，我们说直线与平面垂直垂直，我们说直线与平面垂直面面垂直 平面与平面的垂直：平面与平面的垂直：如果两个平面所成的角是直二面角，我们如果两个平面所成的角是直二面角，我们称这两个平面垂直称这两个平面垂直线线角 线线角：线线角：过空间任意一点作两过空间任意一点作两异面直线的平行线，异面直线的平行线，所得两条
6、直线所成的所得两条直线所成的不超过直角的角与该不超过直角的角与该点的位置无关，叫做点的位置无关，叫做两异面直线所成的角两异面直线所成的角线面角 线面角：线面角：一条直线和它在平面一条直线和它在平面内的射影所成的角叫内的射影所成的角叫做直线和平面所成的做直线和平面所成的角角 POA二面角 二面角：二面角：从二面角的棱上任意从二面角的棱上任意一点出发在两个半平一点出发在两个半平面内分别作棱的垂线，面内分别作棱的垂线，所成的角是一个定值，所成的角是一个定值，叫做二面角的平面角叫做二面角的平面角 CBA基本公理（了解）公理一：公理一：直线上有两点在平面内，那么直线上所有点就都直线上有两点在平面内，那么
7、直线上所有点就都在平面内在平面内 公理二：公理二：两个平面有一个公共点，那么它们的所有公共点两个平面有一个公共点，那么它们的所有公共点的集合是一条过该点的直线的集合是一条过该点的直线 公里三：公里三：过不共线的三点有且只有一个平面过不共线的三点有且只有一个平面基本公理 公理四：公理四：平行于同一直线的两条直线平行平行于同一直线的两条直线平行 公理五：公理五：长方体的体积等于长乘宽乘高长方体的体积等于长乘宽乘高 公理六：公理六：夹在两个平行平面间的两个几何体，如果夹在两个平行平面间的两个几何体，如果用平行于一直平面的平面去截，所得截面用平行于一直平面的平面去截，所得截面面积总是相等，那么这两个几
8、何体的体积面积总是相等，那么这两个几何体的体积相等相等三推论 确定平面三推论：确定平面三推论：两条相交直线确定一个平面两条相交直线确定一个平面 两条平行直线确定一个平面两条平行直线确定一个平面 一条直线和直线外一点确定一个平面一条直线和直线外一点确定一个平面基本定理（理解）异面直线判定定理：异面直线判定定理：如果一条直线经过平面内一点和平面外一如果一条直线经过平面内一点和平面外一点，那么它和平面内不过该点的直线是异点，那么它和平面内不过该点的直线是异面直线面直线 既不平行又不相交的两条直线是异面直线既不平行又不相交的两条直线是异面直线等角定理 如果一个角的两边和如果一个角的两边和另一个角的两边
9、分别另一个角的两边分别平行，并且方向相同，平行，并且方向相同，那么它们所成的角相那么它们所成的角相等等ababBAOOAB线面平行 判定定理：判定定理：如果平面外一条直线如果平面外一条直线与平面内一条直线平与平面内一条直线平行，那么它和该直线行，那么它和该直线平行平行 a b 面，面，aabba线面平行 性质定理：性质定理：如果一条直线和一个如果一条直线和一个平面平行，那么过这平面平行，那么过这条直线的平面与已知条直线的平面与已知平面的交线与该直线平面的交线与该直线平行平行abbaa/，面面，面面平行 判定定理：判定定理：如果一个平面内两条相交直线都与另一个如果一个平面内两条相交直线都与另一个
10、平面平行，那么这两个平面平行平面平行，那么这两个平面平行面面平行 推论：推论：如果一个平面内两条相交直线都与另一个如果一个平面内两条相交直线都与另一个平面内两条直线平行，那么这两个平面平平面内两条直线平行，那么这两个平面平行行面面平行 性质定理：性质定理：如果两个平面平行，那么其中一个平面内如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线与另一个平面平行的直线与另一个平面平行 如果两个平面平行，那么第三个平面与它如果两个平面平行，那么第三个平面与它们的两条交线互相平行们的两条交线互相平行线面垂直 判定定理：判定定理：如果一条直线与如果一条直线与一个平面内的两一个平面内的两条相交直线都垂条相交直线都垂
11、直，那么他就和直，那么他就和这个平面内的所这个平面内的所有直线都垂直，有直线都垂直，我们说他和这个我们说他和这个平面垂直平面垂直 a O b c 线面垂直 性质定理：性质定理：垂直于同一个垂直于同一个平面的两条直平面的两条直线平行线平行 a b 线面垂直 附加：附加：垂直于同一直线的两个平面平行垂直于同一直线的两个平面平行 垂直于同一平面的两条直线平行垂直于同一平面的两条直线平行存在性定理 过一点有且只有一条直线与已知平面过一点有且只有一条直线与已知平面平行平行 过一点有且只有一个平面与已知直线过一点有且只有一个平面与已知直线垂直垂直面面垂直 判定定理：判定定理：如果一个平面经过另如果一个平面
12、经过另一个平面的一条垂线，一个平面的一条垂线，那么这两个平面垂直那么这两个平面垂直BAP 面面垂直 性质定理：性质定理：如果两个平面垂直，如果两个平面垂直，那么在其中一个平面那么在其中一个平面内垂直于交线的直线内垂直于交线的直线垂直于另一个平面垂直于另一个平面 如果两个平面垂直，如果两个平面垂直，那么过其中一个平面那么过其中一个平面内的一点与另一个平内的一点与另一个平面垂直的直线在第一面垂直的直线在第一个平面内个平面内BAP 平行结论总结 同种平行皆同性：平行的直线与同一直线所成角度都相等 平行的直线与同一平面所成角度都相等 平行的平面与同一直线所成角度都相等 平行的平面与同一平面所成角度都相
13、等 一平行（或在内）都平行（或在内）一垂直都垂直补充的定理（1）如果一条直线平行于两个相交平面，那么如果一条直线平行于两个相交平面，那么它平行于交线它平行于交线 过两条异面直线中的一条由且只有一个平过两条异面直线中的一条由且只有一个平面与另一个平面平行面与另一个平面平行补充的定理（2）如果有两个相交平面都与第三个平面垂直，如果有两个相交平面都与第三个平面垂直，那么它们的交线也与这个平面垂直那么它们的交线也与这个平面垂直 若一条直线与一个平面不垂直，那么过该若一条直线与一个平面不垂直，那么过该直线由且只有一个平面与已知平面垂直直线由且只有一个平面与已知平面垂直补充定理三 一条直线垂直于一个三角形
14、的两条边必然垂直于第三条边 一个四面体有两组对棱垂直，则第三组对棱也垂直射影定理1 如果一条直线与两条相交直线所成的角相等，那么它在这两条直线所确定的平面内的射影也是如此内心2CABPODFE射影定理2如果一个点到一个三角形的三个顶点的距离相等，那么它在这个平面内的射影也是如此四面体中的射影（1）外心CABPO射影定理3如果一个点到一个三角形的三边的距离相等，那么它在这个平面内的射影也是如此内心2CABPODFE射影定理4如果一个点到一个三角形的三顶点的连线分别与三角形的对边垂直，那么它在这个平面内的射影也是如此（3）垂心CABPO三余弦定理1 一条直线与空间直角坐标系的三条一条直线与空间直角
15、坐标系的三条坐标轴所成的角的余弦的平方和等坐标轴所成的角的余弦的平方和等于于1 一条直线与空间直角坐标系的三个一条直线与空间直角坐标系的三个坐标平面所成的角的余弦的平方和坐标平面所成的角的余弦的平方和等于等于2三余弦定理2 一条直线与任意长方体同一顶点的一条直线与任意长方体同一顶点的三条棱所成的角的余弦的平方和等三条棱所成的角的余弦的平方和等于于1 一条直线与任意长方体同一顶点的一条直线与任意长方体同一顶点的三个面所成的角的余弦的平方和等三个面所成的角的余弦的平方和等于于2三余弦定理2 如图平面如图平面AOB与平面与平面COB垂垂直直 cos=?=coscos A O B C D 三余弦定理2
16、 B是是A在平面内在平面内的射影的射影 二面角二面角A-OD-B的正切等于的正切等于AO、DO与与OB所成所成的角的正切的的角的正切的比值比值 A O B C D 应用实例 长方体的对角线与底面两条长方体的对角线与底面两条相邻的边所成的角都是相邻的边所成的角都是60度，度，那么它与底面所成的角是多那么它与底面所成的角是多少度？少度？45度度射影定理1 平行直线在同一平面内的射影直线是平行直线或者两个点 相交直线在同一平面内的射影直线是相交直线或一条直线 异面直线在同一平面内的射影可能是两条相交直线，平行直线，或者一条直线和直线外的一点射影定理2 两条垂直的直线当且仅当有一条平行或者在平面内时它们在平面内的射影垂直射影定理三 一个平面图形在一个平面内的射影的面积与原图形的面积的比值等于这两个平面所成的二面角的余弦值 如果一个屋顶的各个斜面与水平面所成的角都是45度，那么它的面积是房屋面积的根2倍射影定理4 从同一点向一个平面引出的斜线段和垂线段中 相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段的射影也较长 相等的射影的斜线段相等，较长的射影的斜线段也较长
