1、王园电磁场理论小班授课第二讲电磁场理论小班授课第二讲静态场及边值问题静态场及边值问题电子科技大学电子科技大学2 静态电磁场：静态电磁场：场量不随时间变化，包括：场量不随时间变化，包括： 静电场、恒定电场和恒定磁场静电场、恒定电场和恒定磁场 时变情况下，电场和磁场相互关联，构成统一时变情况下，电场和磁场相互关联，构成统一的电磁场的电磁场 静态情况下，电场和磁场由各自的源激发，且静态情况下，电场和磁场由各自的源激发，且相互独立故可以分别讨论相互独立故可以分别讨论 3静电场的基本方程和边界条件静电场的基本方程和边界条件静电场分析边界条件边界条件微分形式：微分形式：本构关系：本构关系：基本方程基本方程
2、积分形式：积分形式：(0,0,0Jt 场量、源量）静电场：静电场：4即即静电场可以用一个标量函数的梯度来表示，静电场可以用一个标量函数的梯度来表示，标量函标量函数数 称为静电场的标量电位或简称电位，具有明确的称为静电场的标量电位或简称电位，具有明确的物理意义。物理意义。E 电位函数电位函数 位函数的定义位函数的定义AEt 电磁标量位电磁标量位静电场静电场电位的不确定性？电位的不确定性？电位参考点的选择？电位参考点的选择？5 位函数满足的方程和边界条件位函数满足的方程和边界条件222t 由达朗贝尔方程由达朗贝尔方程静电场静电场2 6由由 和和 设设P1和和P2是介质分界面两侧紧贴界面的相邻两点，
3、其电位分是介质分界面两侧紧贴界面的相邻两点，其电位分别为别为 1和和 2。当两点间距离当两点间距离l0时时21120limd0PPlE l12()SenDD D12媒质媒质2媒质媒质121l2P1P122121Snn7 位函数的计算位函数的计算已知电荷分布已知电荷分布已知电场分布已知电场分布8对于连续的体分布电荷，由对于连续的体分布电荷，由面电荷的电位：面电荷的电位： 1()( )d4VrrVCR故得故得点电荷的电位：点电荷的电位：( )4qrCR()1( )d4SSrrSCR()1( )d4lCrrlCR31()11( )d()()d4411()()d4VVVrRE rVrVRRrVR 31
4、()RRR 线电荷的电位：线电荷的电位：Rrr9解决定解问题：解决定解问题：2 122121Snn 例例： 两块无限大接地导体平板分别置于两块无限大接地导体平板分别置于x = 0和和 x = a 处，在处，在两板之间的两板之间的 x = b 处有一面密度为处有一面密度为 的均匀电荷分布，如图所示。的均匀电荷分布，如图所示。求两导体平板之间的电位和电场。求两导体平板之间的电位和电场。0Sobaxy两块无限大平行板两块无限大平行板0S1( )x2( ) xsf10已知电场分布已知电场分布两端点乘两端点乘 ，则有，则有dlE 将将dd(ddd )dEllxyyxyy 上式两边从点上式两边从点P到点到
5、点Q沿任意路径进行积分，得沿任意路径进行积分，得dd( )()QQPPElPQ P、Q 两点间的电位差两点间的电位差电场力对电场力对单位正电单位正电荷做的功荷做的功110ExzoPr 例例: 求均匀电场的电位分布。求均匀电场的电位分布。12电容器广泛应用于电子设备的电路中：电容器广泛应用于电子设备的电路中： 在电子电路中，利用电容器来实现滤波、移相、隔直、旁在电子电路中，利用电容器来实现滤波、移相、隔直、旁 路、选频等作用；路、选频等作用； 通过电容、电感、电阻的排布，可组合成各种功能的复杂通过电容、电感、电阻的排布，可组合成各种功能的复杂 电路电路； 在电力系统中，可利用电容器来改善系统的功
6、率因数，以在电力系统中，可利用电容器来改善系统的功率因数，以 减少电能的损失和提高电气设备的利用率；减少电能的损失和提高电气设备的利用率； 导体系统的电容与部分电容导体系统的电容与部分电容13 电容是导体系统的一种基本属性，是描述导体系统电容是导体系统的一种基本属性，是描述导体系统 储存电荷储存电荷能力的物理量。能力的物理量。 孤立导体的电容定义为所带电量孤立导体的电容定义为所带电量q与其电位与其电位 的比值，即的比值，即qC 电容电容 孤立导体的电容孤立导体的电容 两个带等量异号电荷（两个带等量异号电荷（ q）的导的导 体组成的电容器，其电容为体组成的电容器，其电容为12qqCU 电容的大小
7、只与导体系统的几何尺寸、形状和及周围电介质电容的大小只与导体系统的几何尺寸、形状和及周围电介质 的特性参数有关，而与导体的带电量和电位无关。的特性参数有关，而与导体的带电量和电位无关。14 (3) 由由 ，求出两导体间的电位差；，求出两导体间的电位差； (4) 求比值求比值 ，即得出所求电容。，即得出所求电容。 (1) 假定两导体上分别带电荷假定两导体上分别带电荷+q 和和 -q ； (2) 计算两导体间的电场强度计算两导体间的电场强度E； 计算电容的步骤：计算电容的步骤：Cq U21dU El15abo 例例： 同心球形电容器的内导体半径为同心球形电容器的内导体半径为a、外导体半径为、外导体
8、半径为b，其间填充介电常数为其间填充介电常数为的均匀介质。的均匀介质。求此球形电容器的电容。求此球形电容器的电容。 例例 : 如图所示的平行双线传输线，导线半径为如图所示的平行双线传输线，导线半径为a，两导，两导线的轴线距离为线的轴线距离为D，且，且D a，求传输线单位长度的电容。，求传输线单位长度的电容。xyzxDa 例例： 同轴线内导体半径为同轴线内导体半径为a，外导体半径为为，外导体半径为为b，内外导体，内外导体间填充的介电常数为间填充的介电常数为 的均匀介质，的均匀介质，求同轴线单位长度的电容。求同轴线单位长度的电容。ab同轴线同轴线16 多导体系统多导体系统1、电位系数、电位系数2、
9、电容系数、电容系数3、部分电容、部分电容在多导体系统中，任何两个导体间的电压都要受到其余导体在多导体系统中，任何两个导体间的电压都要受到其余导体 上的电荷的影响。因此，研究多导体系统时，必须把电容的上的电荷的影响。因此，研究多导体系统时，必须把电容的 概念加以推广，引入部分电容的概念。概念加以推广，引入部分电容的概念。11q33q22q17111 1122133221 1222233331 13223331(1, 2 ,)Nii jjjqqqqqqqqqqiN电位系数电位系数(1, 2,)iiiN 自电位系数自电位系数()ijij 互电位系数互电位系数18i j 只与各导体的形状、尺寸、相互位
10、置以及导体周围的介质只与各导体的形状、尺寸、相互位置以及导体周围的介质 参数有关，而与各导体的电位和带电量无关；参数有关，而与各导体的电位和带电量无关；具有对称性，即具有对称性，即i j = j i 。1110( ,1 , 2 ,)jjNii jjqqqqi jNqi j 0 ； 电位系数的特点：电位系数的特点：1311220qqq19若已知各导体的电位，则各导体的电量可表示为若已知各导体的电位，则各导体的电量可表示为 1iijiijiji jijM自有电容系数电容系数互有电容系数电容系数电容系数1110( ,1 , 2 ,)jjNiijjqi jN1111122133221122223313
11、113223331(1, 2 ,)Nii jjjqqqqiN 20 i j 只与各导体的形状、尺寸、相互位置以及导体周只与各导体的形状、尺寸、相互位置以及导体周围的介质参数有关，而与各导体的电位和带电量无关；围的介质参数有关，而与各导体的电位和带电量无关；具有对称性，即具有对称性，即i j = j i 。i i 0 、 ；0()ijij21将各导体的电量表示为将各导体的电量表示为 式中：式中：部分电容部分电容(1, 2 ,)iN()Nii iiijijj iqCC 导体导体 i 与导体与导体 j 之间的部分电容之间的部分电容()ijijCij 导体导体 i 与地之间的部分电容与地之间的部分电容
12、 1Ni ii jjC111112213311112213311112213311121311212131131121121113113111212121313311qCCC 22 Ci j 只与各导体的形状、尺寸、相互位置以及导体周只与各导体的形状、尺寸、相互位置以及导体周围的介质参数有关，而与各导体的电位和带电量无关；围的介质参数有关，而与各导体的电位和带电量无关；具有对称性，即具有对称性，即Ci j = Cj i 。 部分电容的特点：部分电容的特点：23q/q U 在多导体系统中，把其中任意两个在多导体系统中，把其中任意两个导体作为电容器的两个电极，设在这导体作为电容器的两个电极，设在这
13、两个电极间加上电压两个电极间加上电压U，极板上所带，极板上所带电荷分别为电荷分别为 ，则比值，则比值 称为这称为这两个导体间的等效输入电容。两个导体间的等效输入电容。等效电容等效电容如图所示，有三个部分电容如图所示，有三个部分电容112212CCC、导线导线 1 和和 2 间的等效电容为间的等效电容为11221121122C CCCCC导线导线 1 和大地间的等效电容为和大地间的等效电容为12222111222C CCCCC导线导线 2 和大地间的等效电容为和大地间的等效电容为12113221211C CCCCC1 12 212C22C11C大地大地大地上空的平行双导线大地上空的平行双导线24
14、 静电场的能量静电场的能量 12ew D E 电场能量密度：电场能量密度：1d2eVWD E V电场的总能量：电场的总能量：静电场最基本的特征是对电荷有作用力，这表明静电场具有静电场最基本的特征是对电荷有作用力，这表明静电场具有 能量。能量。用电荷分布表示电场能量用电荷分布表示电场能量1d2eVWV？1d21dl2eSSellWSW 用于多导体带电系统用于多导体带电系统适用条件？适用条件？2512eiiiWqi 第第i个导体的电位个导体的电位式中：式中：iq 第第i个导体所带的电荷个导体所带的电荷11q33q22q所有电荷产生的电位所有电荷产生的电位对于两个导体：对于两个导体：1 122112
15、111222211 122221 1122111222112211112222eiiiWqqqqqqqqq自能自能自能自能相互作用能相互作用能11q22q26qq点电荷系统的能量点电荷系统的能量12eiiiWqiqir1q2qi 第第i个点电荷所在位置个点电荷所在位置r ri处的电位处的电位iq 第第i个点电荷的电量个点电荷的电量除除以外的其余点电荷产生的电位以外的其余点电荷产生的电位iqU121222112212111222eWqqqqUqU CC27 例例： 半径为半径为a 的球形空间内均匀分布有电荷体密度的球形空间内均匀分布有电荷体密度为为的电荷，试求静电场能量。的电荷，试求静电场能量。
16、 解：解： 方法一方法一，利用利用 计算计算 1d2eVWD E V 方法二方法二：利用利用 计算计算 1d2eVWV28 恒定电场与恒定磁场恒定电场与恒定磁场 0,00Jt （场量、源量），恒定场问题：恒定场问题：00DEBHJ ， 导电媒质中的导电媒质中的恒定电（流）场恒定电（流）场由麦氏方程组：由麦氏方程组：恒定电场恒定电场恒定磁场恒定磁场29J 导电媒质中存在恒定电流分布导电媒质中存在恒定电流分布00EJJE ，边界条件边界条件?导电媒质中的导电媒质中的恒定电场基本方程恒定电场基本方程恒定电场的场量：恒定电场的场量：E E和和J JJ 将将 在空间的分布作为一个在空间的分布作为一个矢量
17、场矢量场恒定电流场恒定电流场J 为维持该恒定电流分布，必为维持该恒定电流分布，必须存在恒定的电场须存在恒定的电场 恒定电场恒定电场E与与 区域的静电场比较区域的静电场比较=030媒质媒质2 2媒质媒质1 12122E1E)(12媒质媒质2 2媒质媒质1 12012Ene1E2(0) 如如 21、且、且 290，则则 10， 即电场线近似垂直于与良导体表面。即电场线近似垂直于与良导体表面。 此时，良导体表面可近似地看作为此时，良导体表面可近似地看作为 等位面；等位面； 若媒质若媒质1为理想介质为理想介质，即即 10，则则 J1=0，故故J2n=0 且且 E2n=0，即导体中，即导体中 的电流和电
18、场与分界面平行的电流和电场与分界面平行。媒质媒质2 2媒质媒质1 12122E1E11122tantan电力线电力线与良导体表面不垂直与良导体表面不垂直31媒质媒质2 2媒质媒质1 12122E1E11122tantan 如媒质如媒质2为导体，则为导体，则 即电场线垂直于导体表面。即电场线垂直于导体表面。 此时，导体表面为等位面；此时，导体表面为等位面；20E 媒质媒质2 2媒质媒质1 12120E1E对于静电场对于静电场32(1) (1) 即导体内有电荷流动即导体内有电荷流动, ,恒定电场与静电场重要区别恒定电场与静电场重要区别：0J (2)(2)恒定电场同时存在于导体内部和外部，在导体表面
19、恒定电场同时存在于导体内部和外部，在导体表面上的电场既有法向分量又有切向分量，电场并不垂直上的电场既有法向分量又有切向分量，电场并不垂直于导体表面，因而导体表面不是等位面；于导体表面，因而导体表面不是等位面；（3 3）恒定电场中有电场能量的损耗）恒定电场中有电场能量的损耗, ,要维持导体要维持导体中的恒定电流，就必须有外加电源来不断补充被中的恒定电流，就必须有外加电源来不断补充被损耗的电场能量。损耗的电场能量。332000JE 由由由由0EE 由由12121212120nnJJnnnEE引入电位引入电位电位满足的方程电位满足的方程电位满足的边界条件电位满足的边界条件恒定电场的电位恒定电场的电位
20、12,nnSDDD关于在恒定电场中关于在恒定电场中的的34均匀导体内不会出现电荷堆积；均匀导体内不会出现电荷堆积；对于分块均匀的导体，电荷只能分布在分界面上。对于分块均匀的导体，电荷只能分布在分界面上。12121212snDDnJJ 12n Jn J 由1212sn J 得0DEJJ ？导体内的电荷分布导体内的电荷分布恒定电场的源恒定电场的源？35驻立电荷驻立电荷电源中的非静电力产生，分布不变的动态面电荷电源中的非静电力产生，分布不变的动态面电荷36 例例一个有两层介质的平行板电容器，其参数分别一个有两层介质的平行板电容器，其参数分别为为 1、 1和和 2、 2，外加电压，外加电压U。求分界面
21、上的面电荷密。求分界面上的面电荷密度。度。U1d2d11, 22, zo37 例例 填充有两层介质的同轴电缆，内导体半径为填充有两层介质的同轴电缆，内导体半径为a，外导体半，外导体半径为径为c，介质的分界面半径为，介质的分界面半径为b。两层介质的介电常数为。两层介质的介电常数为 1和和 2 、电导率为电导率为 1和和 2 。设内导体的电压为。设内导体的电压为U0 ，外导体接地。求：（，外导体接地。求：（1）两导体之间的电流密度和电场强度分布；（两导体之间的电流密度和电场强度分布；（2）介质分界面上的电）介质分界面上的电荷面密度。荷面密度。J1212I外导体外导体内导体内导体介质介质2 2介质介
22、质1abc11、22、0U38 工程上常在电容器两极板之间，同轴电缆的芯线与工程上常在电容器两极板之间，同轴电缆的芯线与外壳之间，填充不导电的材料作电绝缘。这些绝缘材料外壳之间，填充不导电的材料作电绝缘。这些绝缘材料的电导率远远小于金属材料的电导率，但毕竟不为零，的电导率远远小于金属材料的电导率，但毕竟不为零，因而当在电极间加上电压因而当在电极间加上电压U 时，必定会有微小的漏电流时，必定会有微小的漏电流 J 存在。存在。 漏电流与电压之比为漏电导，即漏电流与电压之比为漏电导，即IGU其倒数称为绝缘电阻，即其倒数称为绝缘电阻，即1URGI漏电导漏电导39 例例 求同轴电缆的绝缘电阻。设内外的半
23、径分别为求同轴电缆的绝缘电阻。设内外的半径分别为a、b，长度长度为为l ，其间媒质的电导率为，其间媒质的电导率为、介电常数为、介电常数为。电导电导2ln(/)IlGUba绝缘电阻绝缘电阻11ln2bRGladdln22baIIbUlla Ellba则则I2IJl2JIEl 设由内导体流向外导体的电流为设由内导体流向外导体的电流为I。40环形导电媒质块环形导电媒质块r1hr2 0J设在沿设在沿 方向的两电极之间外加电压方向的两电极之间外加电压U0 0 设在沿设在沿 方向的两电极之间外加电压方向的两电极之间外加电压U0 0设在沿设在沿z z方向的两电极之间外加电压方向的两电极之间外加电压U0 0?
24、G 41222222110z EJEdSIJS0URI222210AB 2110AB 2220AzBz 环形导电媒质块环形导电媒质块r1hr2 0J沿沿 方向的两电极之间外加电压方向的两电极之间外加电压U0 0 沿沿 方向的两电极之间外加电压方向的两电极之间外加电压U0 0沿沿z z方向的两电极之间外加电压方向的两电极之间外加电压U0 0？42恒定电场与静电场的比拟恒定电场与静电场的比拟基本方程基本方程ED,EEJ0202nnttDDEE2121 nnttJJEE2121 静电场（静电场（ 区域）区域） 00d, 0dlESJCS0, 0EJ,Ed0,d0SCDSEl0,0DEnn221121
25、 ,nn221121 ,本构关系本构关系位函数位函数边界条件边界条件恒定电场（电源外）恒定电场（电源外）对应物理量对应物理量静电场静电场EEDJqI恒定电场恒定电场GC43 恒定磁场基本方程恒定磁场基本方程基本方程基本方程边界条件边界条件本构关系本构关系恒定磁场的矢量磁位恒定磁场的矢量磁位矢量磁位的引入矢量磁位的引入矢量磁位的不确定性和规范条件矢量磁位的不确定性和规范条件矢量磁位满足的方程矢量磁位满足的方程矢量磁位的边界条件矢量磁位的边界条件？已知电流分布计算矢量磁位已知电流分布计算矢量磁位？44ddCSAlBS12ttAA0A d0SAS12nnAA12AA12()nSeHHJ/HA1212
26、11()nSeAAJ矢量磁位的边界条件矢量磁位的边界条件452 2222xxyyzzAJAJAJAJ 1()( )d4VrrVCR()( )d4iiVJrA rVCR()( )d4VJ rA rVCR 对于面电流和线电流分布？对于面电流和线电流分布？已知电流分布计算矢量磁位已知电流分布计算矢量磁位由由 46 例例 求小圆环电流回路的远区矢量磁位与磁场。小圆形回路的求小圆环电流回路的远区矢量磁位与磁场。小圆形回路的半径为半径为a，回路中的电流为，回路中的电流为I 。 解解 如图所示，由于具有轴对称性，如图所示，由于具有轴对称性，矢量磁位和磁场均矢量磁位和磁场均与与 无关，计算无关，计算xz平面平
27、面上的矢量磁位与磁场上的矢量磁位与磁场将不失一般性。将不失一般性。(sincos )xzrr eere r(cossin)xrzra ee ae(sidncos) ddxyleeaea 222221 2( sincos)sincos)rrraar221 22sincosraar小圆环电流小圆环电流aIxzyrRdlrIP细线电流：细线电流：d( )4CIlA rrr47对于远区，有对于远区，有r a ，所以所以21 21 212121 ( )sincos11sincosaaarrrrrrr1(1sincos)arr2001(1sincos)(sincos)d4( )xyIaaeerrA rrr
28、rr202sin4yI aer r由于在由于在 =0面上面上 ，所以上式可写成，所以上式可写成yeerr于是得到于是得到20022( )sinsin44I aISA reerr rrrr4811(sin)()sinreAerArrBAr rrrr03(2cossin )4rISeerrr式中式中S =a2是小圆环的面积。是小圆环的面积。 载流小圆环可看作为磁偶极子，载流小圆环可看作为磁偶极子， 为磁偶极子的磁矩为磁偶极子的磁矩（或磁偶极矩），则（或磁偶极矩），则mpISrr02( )sin4mpA rerrrr或或 03( )4mA rprrrrrr03( )(2cossin )4mrpB r
29、eerrrrr49恒定磁场的标量磁位恒定磁场的标量磁位 一般情况下，恒定磁场只能引入磁矢位来描述，但在无传导一般情况下，恒定磁场只能引入磁矢位来描述，但在无传导电流（电流（J0）的空间）的空间 中，则有中，则有即在无传导电流即在无传导电流（J0）的空间中，可以引入一个的空间中，可以引入一个标量位函数来标量位函数来描述磁场。描述磁场。 标量磁位的引入标量磁位的引入0HmH 标量磁位或磁标位标量磁位或磁标位 磁标位的微分方程磁标位的微分方程00,()BBHM将将 代入代入mH 0mH20mm 0mHM 0mM 等效磁荷体密度等效磁荷体密度50 标量磁位的边界条件？标量磁位的边界条件？0mBHHB
30、、20m在线性、各向同性的均匀媒质中在线性、各向同性的均匀媒质中021()mSneMM 1212mmnn12210mmnHH 由：或或120mmmSnn 等效磁荷面密度等效磁荷面密度120nBB由：12120mmnHH 由：120mSnHH 由：51I IH H0 0H H1 1H H2 22022122IIHaa 012:aHHH 时1212121212nnHHIBBBBHH 52静电位静电位 磁标位磁标位 磁标位与静电位的比较磁标位与静电位的比较00,PEE00,mHH E mH PP 0mM 20()P 20mm 021()mSneMM 21()PSnePP 静电位静电位 0 PEDP磁
31、标位磁标位 m 0 mHB0M531. 磁通与磁链磁通与磁链 iiiiNINI电感电感 单匝线圈形成的回路的磁链定单匝线圈形成的回路的磁链定 义为穿过该回路的磁通量义为穿过该回路的磁通量 N 匝线圈形成的导线回路的磁匝线圈形成的导线回路的磁 链定义为所有线圈的磁通总和链定义为所有线圈的磁通总和 CI 细回路细回路磁力线套住的电流磁力线套住的电流回路的电流回路的电流CI 细回路细回路II54iCI粗回路粗回路0i00iiII 粗导线构成的回路，磁通分为两部分：一部分是粗导线粗导线构成的回路，磁通分为两部分：一部分是粗导线(全部全部电流）包围的、磁力线不穿过导体的外磁通量电流）包围的、磁力线不穿过
32、导体的外磁通量 ；另一部分是磁；另一部分是磁力线穿过导体、只有粗导线的一部分力线穿过导体、只有粗导线的一部分(部分电流部分电流 ）包围的内磁通）包围的内磁通量量 。0 I55 设回路设回路C中的电流为中的电流为I，所产生的磁场与回路，所产生的磁场与回路 C 交链的磁链为交链的磁链为 ，则磁链，则磁链 与回路与回路 C 中的电流中的电流 I 有正比关系，其比值有正比关系，其比值IL 称为回路称为回路 C 的自感系数，简称自感。的自感系数，简称自感。 外自感外自感ILii ILoo 自感自感 内自感；内自感；粗导体回路的自感：粗导体回路的自感：L = Li + Lo 自感只与回路的几何形状、尺寸以
33、及周围磁介质有关，与电自感只与回路的几何形状、尺寸以及周围磁介质有关，与电流无关。流无关。 自感的特点：自感的特点：5600ddln22booaIIba0dd2ooIB dsd 则则0ln2oobLIa故单位长度的外自感为故单位长度的外自感为ab20IB 例例 求同轴线单位长度的自感。设内导体半径为求同轴线单位长度的自感。设内导体半径为a，外导体厚，外导体厚度可忽略不计，其半径为度可忽略不计，其半径为b，空气填充。，空气填充。 解解：内、外导体间的外自感。内、外导体间的外自感。设同轴设同轴线中的电流为线中的电流为I，由安培环路定理，由安培环路定理57 求内导体的内自感。求内导体的内自感。 设同
34、轴线中的设同轴线中的电流为电流为I，由安培环路定理，由安培环路定理2222diCIIHlIaa022iiIHBa 02ddd2iiBsIa (0)a与与di交链的电流为交链的电流为22IIa 与与di对应的磁链为对应的磁链为304dd2diiIIIaadIiB(0)a58因此内导体中总的内磁链为因此内导体中总的内磁链为30040dd28aiiIIa08iiLI故单位长度的内自感为故单位长度的内自感为00ln82iobLLLa单位长度的总自感为单位长度的总自感为59 例例 计算平行双线传输线单位的长度的自感。设导线的半径为计算平行双线传输线单位的长度的自感。设导线的半径为a，两导线的间距为，两导
35、线的间距为D，且，且D a。导线及周围媒质的磁导率为。导线及周围媒质的磁导率为0 。xyzxDaPII6021211MI称为回路称为回路C1 对回路对回路C2 的互感系数，的互感系数，简称互感。简称互感。12122MI 互感互感同理，回路同理，回路 C2 对回路对回路 C1 的互感为的互感为C1C2I1I2Ro1dl2dl2r1r61 互感只与回路的几何形状、尺寸、两回路的相对位置以及周围互感只与回路的几何形状、尺寸、两回路的相对位置以及周围 磁介质有关，而与电流无关。磁介质有关，而与电流无关。 满足互易关系，即满足互易关系，即M12= M21 当与回路交链的互感磁通与自感磁通具有相同的符号时
36、，互当与回路交链的互感磁通与自感磁通具有相同的符号时，互 感系数感系数M为正值；反之，则互感系数为正值；反之，则互感系数M为负值为负值。 互感的特点：互感的特点：62101112d()4CIlA rR120122112dd4CCllMMMR 纽曼公式纽曼公式 如图所示的两个如图所示的两个回路回路C1和回路和回路C2 ，回路回路C1中的电流中的电流 I1在回路在回路C2上的任一点上的任一点产生的矢量磁位产生的矢量磁位2210 1212112ddd4CCCIllAlR 回路回路C1中的电流中的电流 I1产生的磁场与回路产生的磁场与回路C2交链的磁链为交链的磁链为C1C2I1I2Ro1dl2dl2r
37、1r1201212dd4CCllMR 故得故得2102121dd4CCllMR 同理同理纽曼公式纽曼公式63长直导线与三角形回路长直导线与三角形回路Idz60bddSz 例例 如图所示，长直导线与三角形（矩形）导体回如图所示，长直导线与三角形（矩形）导体回路共面，求它们之间的互感。路共面，求它们之间的互感。长直导线与矩形形回路长直导线与矩形形回路IdzabddSa6402IBe00d1d2ln2SRdBSaIaIRd长直导线与矩形回路长直导线与矩形回路Izd60abR65 恒定磁场的能量恒定磁场的能量 12ewB H 磁场能量密度：磁场能量密度：1d2eVWB H V 磁场的总能量：磁场的总能
38、量：用电流分布表示磁场能量用电流分布表示磁场能量1d2eVWJ A V ？适用条件？适用条件？1ds2seSWJA 12ecWIdl A 6612112111122222111121212222221 1221 211()d()d22111122221122mCCWAAIlAAIlIIIIL IL IM I I回路回路C2的自有能的自有能回路回路C1的自有能的自有能C1和和C2的互能的互能211d22111222mCSSWIAlIA dSIB dSILI 两个电流回路两个电流回路1 12 2一个电流回路一个电流回路? ?67 例例 同轴电缆的同轴电缆的内导体半径为内导体半径为a，外导体的内、外
39、半径分别为外导体的内、外半径分别为 b和和c，如图所示。导体中通有电流，如图所示。导体中通有电流 I ，试求同轴电缆中单位长度储，试求同轴电缆中单位长度储存的磁场能量与自感。存的磁场能量与自感。 解解：由安培环路定律，得：由安培环路定律，得2222202220IeaaIeabHIcebccbcabc68222202224220223222() () 2d223ln4()4()cbmIccbIcccbcbbcbW 三个区域单位长度内的磁场能量分别为三个区域单位长度内的磁场能量分别为220021101d2() 2d2216VamWB H VIIa 00222() 2dln224bamWIIba 6
40、9单位长度内总的磁场能量为单位长度内总的磁场能量为222422000222232213lnln1644()4()mmmmWWWWIIIbcccbacbbcb单位长度的总自感单位长度的总自感4220002222223lnln822()24(mWLIbcccbacbbcb内导体的内自感内导体的内自感内外导体间的外自感内外导体间的外自感外导体的内自感外导体的内自感70静态场的边值问题及解的惟一性定理静态场的边值问题及解的惟一性定理 边值问题的类型边值问题的类型1|( )Sf S已知场域边界面上的位函数值，即已知场域边界面上的位函数值，即222|()SfSn111|()Sf S、2|( )SfSn边值
41、问题：在给定的边界条件下，求解位函边值问题：在给定的边界条件下，求解位函 数的泊松方程或拉普拉斯方程数的泊松方程或拉普拉斯方程第一类边值问题（或狄里赫利问题）第一类边值问题（或狄里赫利问题）已知场域边界面上的位函数的法向导数值，即已知场域边界面上的位函数的法向导数值，即 已知场域一部分边界面上的已知场域一部分边界面上的位函数值，而另一部分边界面位函数值，而另一部分边界面上则已知上则已知位函数的法向导数值，即位函数的法向导数值，即第三类边值问题（或混合边值问题）第三类边值问题（或混合边值问题）第二类边值问题（或纽曼问题）第二类边值问题（或纽曼问题）SV71 在场域在场域V 的边界面的边界面S上给
42、定上给定 或或 的的值，则泊松方程或拉普拉斯方程在场域值，则泊松方程或拉普拉斯方程在场域V 具具有惟一值。有惟一值。 n惟一性定理惟一性定理SV惟一性定理的重要意义惟一性定理的重要意义给出了静态场边值问题具有惟一解的条件给出了静态场边值问题具有惟一解的条件为静态场边值问题的各种求解方法提供了理论依据为静态场边值问题的各种求解方法提供了理论依据为求解结果的正确性提供了判据为求解结果的正确性提供了判据惟一性定理的表述惟一性定理的表述惟一性定理的证明？惟一性定理的证明？7272q qqq非均匀感应面电荷非均匀感应面电荷等效电荷等效电荷 当有电荷存在于导体或介质表面附近时，导体和当有电荷存在于导体或介
43、质表面附近时，导体和介质表面会出现感应电荷或极化电荷，而感应电荷或介质表面会出现感应电荷或极化电荷，而感应电荷或极化电荷将影响场的分布。极化电荷将影响场的分布。接地导体板附近有一个点电荷，如图所示。接地导体板附近有一个点电荷，如图所示。镜像法镜像法7373 接地导体球附近有一个点电荷，如图接地导体球附近有一个点电荷，如图 接地导体柱附近有一个线电荷。情况与上例类似，但等效电接地导体柱附近有一个线电荷。情况与上例类似，但等效电 荷为线电荷。荷为线电荷。q q非均匀感应电荷非均匀感应电荷qq等效电荷等效电荷问题问题：这种等效电荷是否存在？：这种等效电荷是否存在？ 这种等效是否合理？这种等效是否合理
44、？非均匀感应电荷产生的电位很难求解，可以用等效电荷非均匀感应电荷产生的电位很难求解，可以用等效电荷的电位替代的电位替代74 镜像法的原理镜像法的原理 镜像法的理论基础镜像法的理论基础解的惟一性定理解的惟一性定理 个数、位置及其电量大小个数、位置及其电量大小 镜像法应用的关键点镜像法应用的关键点确定镜像电荷的两条原则确定镜像电荷的两条原则等效求解的等效求解的“有效场域有效场域”。镜像电荷的确定：镜像电荷的确定：像电荷必须位于所求解的场区域以外的空间中；像电荷必须位于所求解的场区域以外的空间中；像电荷的个数、位置及电荷量的大小以满足所求解的场像电荷的个数、位置及电荷量的大小以满足所求解的场 区域区
45、域 的边界条件来确定。的边界条件来确定。方法：方法： 在在求解域外求解域外设置等效电荷，集中代表边界上分布电设置等效电荷，集中代表边界上分布电荷的作用荷的作用目的：目的： 使复杂边值问题，化为使复杂边值问题，化为无限大单一媒质空间无限大单一媒质空间的问题的问题751. 点电荷对无限大接地导体平面的镜像点电荷对无限大接地导体平面的镜像,qq hh 11()04qzRR（）00zRR满足原问题的边界条件，所得的结果是正确的。满足原问题的边界条件，所得的结果是正确的。 接地导体平面的镜像接地导体平面的镜像镜像电荷镜像电荷电位函数电位函数因因z = 0时，时，q qhhq 有效区域有效区域RR q q
46、h76hhl 有效区域有效区域RR l2.线电荷对无限大接地导体平面的镜像线电荷对无限大接地导体平面的镜像上半空间上半空间( ( z0 ）的电位函数？）的电位函数？导体平面上的感应电荷密度为？导体平面上的感应电荷密度为？导体平面上的总感应电荷为？导体平面上的总感应电荷为？773. 点电荷对相交半无限大接地导体平面的镜像点电荷对相交半无限大接地导体平面的镜像 如图所示，两个相互垂直相连的半无限大接地导体平板，点如图所示，两个相互垂直相连的半无限大接地导体平板，点电荷电荷q 位于位于(d1, d2 )处。处。 显然，显然，q1 对平面对平面 2 以及以及q2 对平对平面面 1 均不能满足边界条件。
47、均不能满足边界条件。1231111()4qRRRR 对于平面对于平面1：对于平面对于平面2：电位函数电位函数q d1d212RR1R2R3q1d1d2d2q2d1q3d2d1 ,nn 为整数；像电荷的个数为整数；像电荷的个数 2n-12n-1其中其中+q+q、-q-q各为多少个？各为多少个？78 例例 一个点电荷一个点电荷q与无限大导体平面距离为与无限大导体平面距离为d，如果，如果把它移至无穷远处，需要做多少功？。把它移至无穷远处，需要做多少功？。qqx = 0d-d79 导体球面的镜像导体球面的镜像1. 点电荷对点电荷对接地接地导体球面的镜像导体球面的镜像01()4qqRR dq?方法：利用
48、导体球面上电位为零确定方法：利用导体球面上电位为零确定 和和q。d PqarRdqPaqrRRdd80add2 像电荷的位置像电荷的位置RaqqqqRdqRR0 像电荷的电量像电荷的电量ad1 qq 球外的电位函数球外的电位函数?导体球面上的总感应电荷为导体球面上的总感应电荷为?球面上的感应电荷面密度球面上的感应电荷面密度?inaqqqd ？qPaqaRRddOPqOPq qqRR 球球面面上上：RdRa 812. 点电荷对点电荷对接地接地空心导体球壳的镜像空心导体球壳的镜像aqqd, 如图所示接地空心导体球壳的内半径为如图所示接地空心导体球壳的内半径为a 、外半径为、外半径为b，点电，点电荷
49、荷q 位于球壳内，与球心相距为位于球壳内，与球心相距为d ( d |q|像电荷的位置和电量与外半像电荷的位置和电量与外半径径 b 无关。无关。?aqdobqrRRaqdod球内的电位函数球内的电位函数?导体球面上的总感应电荷为导体球面上的总感应电荷为?球内表面上的感应电荷面密度球内表面上的感应电荷面密度?inqqq 823 . 点电荷对点电荷对不接地不接地导体球的镜像导体球的镜像导体球不接地时的特点：导体球不接地时的特点： 导体球面是电位不为零的等位面导体球面是电位不为零的等位面 球面上既有感应负电荷分布也有感应正电荷分布，但球面上既有感应负电荷分布也有感应正电荷分布，但总的感应电荷为零总的感
50、应电荷为零 点电荷点电荷q 位于一个半径为位于一个半径为a 的不接地导体球外，距球心为的不接地导体球外，距球心为d 。PqarRd830aqqqda ， 而而原问要求原问要求r=a的球面总电荷为零的球面总电荷为零。将电荷。将电荷qq加于加于r=a的的球球面上，从而使总电荷为零。为保持导体球面为等位面，所加的电面上，从而使总电荷为零。为保持导体球面为等位面，所加的电荷荷q q 可用一个位于球心的镜像电荷可用一个位于球心的镜像电荷qq来替代，即来替代，即01()4qqqRRr 球外任意点的电位为球外任意点的电位为qPaqrRRddq 先在先在d放置放置q 2,aaqq ddd r=a的球面电位为零
