1、1第三篇第三篇Electromagnetic field电电 磁磁 场场稳恒磁场稳恒磁场第11章Steady magnetic field 毕奥毕奥- -萨伐尔定律萨伐尔定律 安培环路定理安培环路定理211.1 磁场与磁场的描述磁场与磁场的描述 一一. 磁现象的电本质磁现象的电本质早期磁现象：磁体早期磁现象：磁体 磁体间的相互作用。磁体间的相互作用。 (1)磁体有吸引铁、钴、镍的性质磁体有吸引铁、钴、镍的性质磁性。磁性。 (2)磁体有两个极：磁体有两个极：N，S。 (3)磁极间存在相互作用力：同极相斥，异极相吸。磁极间存在相互作用力：同极相斥，异极相吸。 INS 1819年，奥斯特年，奥斯特实
2、验证明电流与磁体实验证明电流与磁体间有力的作用。间有力的作用。3 安培假说：安培假说：运动电荷运动电荷 磁场磁场 运动电荷运动电荷一切一切磁现象磁现象都起源于都起源于电荷的运动电荷的运动(电流电流)。 分析不同参考系下电场和磁场的表现形式和相分析不同参考系下电场和磁场的表现形式和相互变换，可以得知：互变换，可以得知： 磁场力磁场力实际上是实际上是运动电荷运动电荷之间相互作用的之间相互作用的电场电场力的一部分力的一部分，磁场是电场的，磁场是电场的相对论效应相对论效应。 电场电场和和磁场磁场构成一个统一的实体，称为构成一个统一的实体，称为电磁场电磁场，满足相对论协变关系。满足相对论协变关系。4 试
3、验线圈试验线圈(电流、尺寸都很小电流、尺寸都很小的载流线圈的载流线圈)的的磁矩磁矩：二二 . 磁感应强度磁感应强度 BPm=NIS nesIne 试验线圈处于平衡时，试验线圈处于平衡时，线圈正线圈正法线指示的方向法线指示的方向即为该点即为该点磁场磁场(B)的方向的方向。 磁感应强度的大小等于线圈所受的最大磁力矩磁感应强度的大小等于线圈所受的最大磁力矩与线圈磁矩之比。即与线圈磁矩之比。即mmaxPMB 5三三.磁感应线磁感应线(磁力线磁力线) 通过某点垂直于磁场方向的通过某点垂直于磁场方向的单位面积上的磁力线单位面积上的磁力线条数条数等于该点等于该点B的大小。的大小。 磁力线磁力线上每一点的上每
4、一点的切线方向切线方向与该点的磁感应强度与该点的磁感应强度B的方向的方向一致。一致。 6 磁力线有以下特点磁力线有以下特点: (1)磁力线是磁力线是无头无尾的无头无尾的闭合曲线闭合曲线(或两端伸向或两端伸向无穷远处无穷远处)。所以磁场是涡旋场。所以磁场是涡旋场。 (2)磁力线与载流电路互相套合磁力线与载流电路互相套合(即每条磁力线即每条磁力线都围绕着载流导线都围绕着载流导线)。 (3)任两条磁力线都不相交。任两条磁力线都不相交。 7 真空中，电流元真空中，电流元Idl 在在P点产点产生的磁场为生的磁场为 11.2 毕奥毕奥- -萨伐尔定律萨伐尔定律！ 1. SI制中：制中： o=410-7 T
5、m/A 真空磁导率真空磁导率34rrlIdBdo 2. r是从电流元是从电流元Idl 指向场点指向场点P的矢量。的矢量。IdlPr r= r Idl 到到P点的距离。点的距离。 B的单位：特斯拉的单位：特斯拉(T)，1T=104Gs8大小：大小：Idl=电流电流I 线元长度线元长度dl。方向：电流方向：电流I的方向；的方向；4.2sin4rIdldBo 方向：由方向：由右手螺旋右手螺旋法则确定。法则确定。3.电流元电流元Idl 是是线元线元。B 是是Idl与与r 之间的夹角之间的夹角。BIdlIdlPr34rrlIdBdo 934rrlIdBo 导导体体 5. 对载流导体，分为若干个电流元，对
6、载流导体，分为若干个电流元，积分积分： 用毕奥用毕奥- -萨伐尔定律求解磁场的方法和思路和萨伐尔定律求解磁场的方法和思路和用库仑定律求电场完全类似，可以相互参照。用库仑定律求电场完全类似，可以相互参照。 需要注意的是线积分以及矢量叉乘关系。需要注意的是线积分以及矢量叉乘关系。10 方向：方向：垂直纸面向里垂直纸面向里(且所有且所有电流元在电流元在P点产生的磁场方向相点产生的磁场方向相同同)；所以所以2sin421rIdxBxxo 2sin4rIdldBo 4odB 2rIdx sinPa.IxIdxrox例题例题2.1 求求直线电流的磁场。直线电流的磁场。 解解 电流元电流元Idx在在P点所产
7、点所产生的磁场为生的磁场为11x=atg( - - 90 )=- - actg ,addx 2sin 21sin4 daIBo12 sinar 2sin421rIdxBxxo )cos(cos421 aIBoPa.IxIdxroxBIdl12注意：注意： 1. a是直电流外一点是直电流外一点P到直到直电流的垂直距离。电流的垂直距离。 2. 1和和 2是直是直电流与电流与(直电直电流端点与场点流端点与场点P的的)连线连线的的夹角夹角。 应取应取同同一方一方位位的的角角。)cos(cos421 aIBo2PI1a13 讨论讨论: (1)对无限长直导线对无限长直导线, aIBo 2 IB)cos(c
8、os421 aIBo 1=0, 2= ,则有则有2PI1a14 (2)如果如果P点点位于直导线上位于直导线上或其延长线上或其延长线上, dBB 若若P点位于点位于直导线上或其延直导线上或其延长线上长线上，则，则 =0或或 = ，于是于是2sin4rIdlo 0 )cos(cos421 aIBo 则则P点的点的磁感磁感应强度为零应强度为零。2sin4rIdldBo Pa.IxIdxrox15 例题例题2.2 直电流公式的应用。直电流公式的应用。)cos(cos421 aIBo21BBB aIBo 42 P点磁场：点磁场： AB：BC：aIo 4 1Bcos)2cos( a 4Io cos)cos
9、2(cos aIo 4 )sin1(cos4 aIo12(1)P点磁场点磁场:APaBICI16aIBo 4 )135cos45(cos (2)边长为边长为a的正方形中心的正方形中心 O点点:A点磁场：点磁场：1)cos(cos421 aIBo 1= 45 , 2= 135 4 B 4Io a2)90cos45(cos 2 21 1= 45 , 2= 90 aI.o2AaI.o17 解解 aIBo 2 RIo2 0cos20 RdIBoyBx =2 RdIo sin 0IdBoxyRd - (3) 无限长半圆筒形金属无限长半圆筒形金属薄片，薄片，R，I(均匀分布均匀分布)。求。求轴线上一点的磁
10、场强度。轴线上一点的磁场强度。18 例题例题2.3 圆电流轴线上一点的磁场。圆电流轴线上一点的磁场。 解解 P点的场强方向沿轴线向上。点的场强方向沿轴线向上。2sin4rIdldBo sin RrIo 24sin2 有有 B=24 rIdlo 环环即即23222)(2/oRxIRB BIRxpdBrIdldB19RIBo2 圆弧圆弧形电流在形电流在圆心圆心产生的磁场：产生的磁场：23222)(2/oRxIRB BIRxpdBrIdldBoRIBo2 Rl 2 弧长弧长圆心圆心o处，处，x=0，得，得 20当当xR时，有：时，有：23222)(2/oRxIRB 322xIRBo 圆电流可以等效为
11、两个异性磁极构成的系统，圆电流可以等效为两个异性磁极构成的系统，称为称为磁偶极子磁偶极子。 仿照电偶极子的电矩，可以定义仿照电偶极子的电矩，可以定义磁矩磁矩：nmeNISP 于是有：于是有：302 xPBm21例题例题2.4 直电流和圆电流的组合。直电流和圆电流的组合。圆心圆心o:432 RIo RIo 4 RIBoo4 rIo4 rIo 4 Bo=方向：垂直纸面向外。方向：垂直纸面向外。方向：垂直纸面向里。方向：垂直纸面向里。boRIIacdIbefRrocdIa22RIBoo 4 电流电流I经圆环分流后经圆环分流后, 在中在中心心o点产生的磁场为零。点产生的磁场为零。方向：垂直纸面向外。方
12、向：垂直纸面向外。RlRIo 2211 RlRIo 2222 222114)(RlIlIo ,slIslI2211 2211lIlI 02 RIo 2 1l12l2IRoBCDAI圆心圆心o: 环环B23圆心圆心o点的磁场点的磁场:RIBoo 4 方向：垂直纸面向外。方向：垂直纸面向外。ICDBAIRoICDRoBAI2430cos4 RIBoo ( 1= 0 , 2= 60 )圆心圆心o点的磁场点的磁场:)cos(cos421 aIBo21)60cos0(cos 2612 RIooR60BACD25 例题例题2.5 一均匀带电圆盘一均匀带电圆盘(R， )以以 的角的角速度速度转动，求盘心处转
13、动，求盘心处B的大小及圆盘的磁矩。的大小及圆盘的磁矩。 带电圆环旋转带电圆环旋转时产生的时产生的电电流强度流强度为为 2I环上的电量环上的电量盘心的磁场：盘心的磁场：Ro 21 .oRRIBo2 rdr B 22 r ordr 2 R0qIs解解 26圆盘的磁矩圆盘的磁矩: mP441R .oRrdr2r R0 rdr22方向：垂直纸面向里。方向：垂直纸面向里。Pm=NIS ne27 例题例题2.6 均匀带电半圆弧均匀带电半圆弧(R, )，绕直径，绕直径以以 匀速转动，求圆心匀速转动，求圆心o处的磁场。处的磁场。 解解 半圆弧旋转起来，象一个球面，可划分为若半圆弧旋转起来，象一个球面，可划分为
14、若干圆电流积分。干圆电流积分。 Ro 2823222)(2/oRxIRB 0 02sin4dBo o81 r=Rsin 2o 3R2r 2 RdRodxr B29一一 .磁通量磁通量 对闭合曲面，对闭合曲面，外法线方向为外法线方向为正方向正方向。 磁通量的正负规律是：磁通量的正负规律是： 穿出为正穿出为正；穿入为负穿入为负。对对匀强匀强磁场：磁场： cosBSm ssmcosBdSSdB 在国际单位制中在国际单位制中,磁通量的单位为韦伯磁通量的单位为韦伯(wb)。 磁场中，磁场中，通过通过任一任一曲面曲面的的磁力线条数磁力线条数，称，称为通过该曲面的为通过该曲面的磁通量磁通量。11-3 磁场的
15、高斯定理磁场的高斯定理30 由于磁力线是闭合曲线，故由于磁力线是闭合曲线，故二二 .磁场的高斯定理磁场的高斯定理这表明：磁场是这表明：磁场是无源场无源场。 sdSB0 cosBSm 通过半球面的磁通量等于通通过半球面的磁通量等于通过圆面的磁通量：过圆面的磁通量：B2r cos 例题例题 匀强磁场匀强磁场B中，求通过中，求通过半径半径r的半球面的半球面S的磁通量。的磁通量。 Bne3111.4 安培环路定理安培环路定理 1. B的的环流环流完全由闭合路径完全由闭合路径l所所包围包围的电流确定，的电流确定，而与未包围的电流无关。而与未包围的电流无关。 即：真空中，即：真空中，B沿任何闭合路径沿任何
16、闭合路径l的线积分的线积分(亦称亦称B的环流的环流)，等于该闭合路径等于该闭合路径l所所包围包围的的电流强度的代数电流强度的代数和和的的 o倍倍。 loIdlB内内 2. 但但B是是空间空间所有电流所有电流(闭合路径闭合路径l内外的电流内外的电流)产产生生磁场的矢量和磁场的矢量和。32包围包围以闭合路径以闭合路径l为边界的任一曲面上流过的电流。为边界的任一曲面上流过的电流。电流的电流的正负正负由由右手螺旋右手螺旋确定确定: loIdlB内内 右手拇指伸直右手拇指伸直,弯曲四指与弯曲四指与闭合路径闭合路径l的的方向一致时方向一致时, 拇指的指向即为电流的正方向。拇指的指向即为电流的正方向。 3.
17、 I内内是闭合路径是闭合路径l所所包围包围的电流的的电流的代数和代数和。)21II (oll dB lI1I2I333IIIo )2 loIl dB内内 (oll dB lIIIIo 2)2 (oll dB lII4.适用条件：稳恒电流适用条件：稳恒电流(闭合电路闭合电路)。34S0I (圆面圆面)0 (曲面曲面S)于是得于是得 B=rIo 20正确答案请见正确答案请见例题例题2.1。例如例如, 对对有限长有限长直电流直电流, P点磁场：点磁场：rB 2 rPI ll dB loIl dB内内 35 解解 (1)磁场方向为圆周切线方向。磁场方向为圆周切线方向。 rB 2 内内Io rIBo 2
18、 内内 I内内是以是以r为半径的圆面上流过电为半径的圆面上流过电流的代数和。流的代数和。旋转旋转对称对称 r是场点到轴线的距离是场点到轴线的距离; rBl ldlBRI 例题例题4.1 长直圆柱体，长直圆柱体，R，I(均匀分布均匀分布)。求：求：(1)磁场分布；磁场分布；(2)斜线面积的磁通量。斜线面积的磁通量。36 设电流密度为设电流密度为2RIJ 1:BRr2:BRrJ. r22 r o222RIrJroo 2 r oIrIBo 2 内内旋转旋转对称对称rBRI37(2)通过斜线面积的磁通量通过斜线面积的磁通量: smBds cosldr2ln24 IlIloo rIBRro 2:2 21
19、22:RIrJrBRroo 2Rl22 RIro R0ldr RR2rIo 2rBRIdrds38or1B1211JrBo 222JrBo +=JJor2B2 例题例题4.2 长直柱体内有柱形空腔，两轴相长直柱体内有柱形空腔，两轴相距距a，电流强度为，电流强度为I，求空腔中的磁场强度。求空腔中的磁场强度。 解解 空腔柱体的磁场可看作是两个流有反向电流空腔柱体的磁场可看作是两个流有反向电流J的实心长直柱体的叠加。的实心长直柱体的叠加。)(22rRIJ r1aooIpr2RrB1B239011sin BBx空腔中的场强空腔中的场强:11cos BBy)coscos(22211 rrJo 空腔中是一
20、个匀强磁场：空腔中是一个匀强磁场：大小：大小：2JaBo 方向：方向：y轴正方向轴正方向(即垂直于连即垂直于连心线心线oo )。12r1r2ooaxyB2B112)sinsin(22211 rrJo2Jao 22sin B22cos B21BBB )(22rRIJ )(222rRIao r1aooIpr2RrB1B22JrBo 40rIBoo 2: 柱外柱外2:JrBo 柱内柱内+=JJoo a.o 2Jao)(222rRIao aooIaP.rR)(22rRIJ Bo :讨论讨论4121JrBo 实心柱体内实心柱体内:rIBoo 22 实心柱体外实心柱体外:2JaBoP )(22aIoo )
21、(22rRIJ )(4222rRaIro aooIaP.r图中图中P 点的磁场点的磁场:)(222rRIao 42 例题例题4.3 求同轴电缆的磁场分布。求同轴电缆的磁场分布。 解解 1:Bar2 r o22 aIro 2:BbraI 3:Bcrb ro 2I 0:4 Bcr22raI rIBo 2 内内旋转对称旋转对称)()(2222bcbrI IbcaoI2 r o43 解解 圆周上各点圆周上各点B的大小的大小相等相等，方向沿圆周为切线方方向沿圆周为切线方向。向。 例题例题4.4 求载流螺线环的磁场分布。设均匀密求载流螺线环的磁场分布。设均匀密绕绕N匝，通有电流匝，通有电流I。2 r o螺
22、线环内螺线环内 : B=NIrIBo 2 内内螺线环螺线环外外：B=0r44 对长对长直直密绕螺线管，密绕螺线管，I，单位长度上的，单位长度上的匝数为匝数为n，则，则管内：管内：管外：管外： B=0nIBo 匀强磁场匀强磁场BI45 例题例题4.5 一均匀带电的长直柱面一均匀带电的长直柱面(R， )，以角速度，以角速度 绕轴线转动，求柱面内外绕轴线转动，求柱面内外的磁场。的磁场。 解解 旋转的柱面形成圆电流，旋转的柱面形成圆电流，它和一个长直螺线管等效。它和一个长直螺线管等效。nIBo = o单位长度上的电流强度单位长度上的电流强度122 Ro Ro 4611.5 匀速运动点电荷的磁场匀速运动
23、点电荷的磁场 设设Idl 单位体积内有单位体积内有n个带电粒子个带电粒子(q， ), Idl =qn dsdl =q ndsdl Idl 内的带电粒子数内的带电粒子数: dN=ndsdl。一个运动电荷产生的磁场一个运动电荷产生的磁场=dNdBrPIdlds 34rrlIdBdo 通过面积通过面积ds的电流的电流 I=qn ds47 例题例题5.1 电子电子( =1.0107m/s)作直线运动作直线运动, 求求距电子距电子r =10-9m处的最大磁感应强度。处的最大磁感应强度。解解 B一个运动一个运动电荷电荷产生产生的磁场的磁场: T.160 24 reo 34rrqBo 若此电子作半径若此电子作半径r 的圆周运动，则圆心处的磁的圆周运动，则圆心处的磁感应强度是多少？感应强度是多少？
