1、1人大附中高三年级 2021 数学收官考试之期末模拟一、单选题(共 40 分)1.设集合3 |0,12 3log1ABxx, , ，则RAC B ()A.0.1B.1,2C.1,3D.0,32.集合 1|1Mz ztti tR，下列命题中不正确的是()A.MR B.0MC.若zM，则 z 在复平面上所对应的点一定不在第四象限D.若zM，2z ，则 z 不一定是纯虚数3.如图，角，均以 Ox 为始边，终边与单位圆 O 分别交于 A,B，则OA OB ()A. sin(-)B. sin(+)C. cos(-)D. cos(+)4.已知，表示两个不同的平面，l 表示一条直线，且，则l是 l/的A.充
2、分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.已知直线13470lxy：与直线26110lxmym ：平行，则1l与2l之间的距离为()A.1B.2C.3D.46.若2( )()()xxf xeeaxbxc是偶函数，则一定有()A.b=0B. ac=0C.a=0 且 c=0D.a=0，c=0 且 b027.如图， 某建筑物是数学与建筑的完美结合.该建筑物外形弧线的一段近似看成双曲线下支的一部分，且此双曲线222210,0yxabab的下焦点到渐近线的距离为 3，离心率为 2，则该双曲线的标准方程为()A.2213yxB.2213xy C.22193yxD.22139yx
3、8.对圆221xy上任意一点( , )P x y，若34349xyaxy的值都与x，y无关，则实数 a 的取值范围是()A.5a B.-5a5C.5a 或5a D.5a 9.已知正方体1111ABCDABC D中，点 P、Q、R 分别是线段11BBABAC、上的动点，观察直线 CP 与1DQ，CP 与1D R，得出下列结论：对于任意给定的点 Q，存在点 P，使得1CPDQ;对于任意给定的点 P，存在点 Q，使得1DQCP;对于任意给定的点 R，存在点 P，使得1CPD R;对于任意给定的点 P，存在点 R，使得1D RCP；其中正确的结论是()A. B. C. D. 10.若数列 na满足：0
4、A BR AB,，使得对于*nN ，都有21nnnaAaBa,则称 na具有“三项相关性”下列说法正确的有()若 na是等差数列，则 na具有“三项相关性”若 na是等比数列，则 na具有“三项相关性”若 na是周期数列，则 na具有“三项相关性”若 na具有正项“三项相关性”，且正数 A，B 满足 A+1=B,12aaB,nnbB, na与 nb的前 n 项和分别为,nnS T则对*nN ,nnST恒成立.A. B. C. D. 3二、填空题二、填空题(共共 25 分分)11.53212xx的展开式中的常数项是_.12.10 名工人某天生产工艺零件，生产的件数分别是 19，19，20，20，
5、13，14，17，18，22，22，那么数据的 80%分位数是_.13.已知抛物线2:C yax的准线方程为18x ,则 a=_.14.小明正在考数学期末模拟，写到了填空题的第 15 题，只有完全选对得 5 分，一旦错选或者少选得 0 分。 已经题目有四个选项， 小明根据平日掌握的知识和方法很快判断出了正确，错误。无法确定，但是小明依然冷静地分析后判断：有23的可能性是对的，有13的可能性是对的，假设小明判断正确，那么他应该选择_.15.对于函数 sin,0,212 ,2,2x xff xxx，下列 4 个结论正确的是_.(只有完全选对才得 5 分，一旦错选或者少选得 0 分).任取12,0,
6、x xx,都有 122f xf x; 22()f xkf xkKN,对一切0)x ，恒成立；若关于x的方程 0f xm m有且只有两个不同的实根12,x x，则123xx;函数 ln 1yf xx有 5 个零点4三、解答题三、解答题(共共 90 分分)16.(13 分)已知ABC 同时满足下列四个条件中的三个：3A2cos3B a=14b=6(1)请指出这三个条件，并说明理由；(2)求ABC 的面积.17.(13 分)玩具柜台元旦前夕促销，就在 12 月 31 日购买甲、乙系列的盲盒，并且集齐所有的产品就可以赠送大奖.而每个甲系列盲盒可以开出玩偶 A1，A2，A3，中的一个，每个乙系列盲盒可以
7、开出玩偶，B2中的一个.(1)记事件nE：一次性购买 n 个甲系列盲盒后集齐 A1，A2，A3玩偶；事件nF：一次性购买 n个乙系列盲盒后集齐，B2玩偶；求6P E及5P F；(2)柜台对甲、乙两个系列的盲盒进行饥饿营销，每个消费者每天只有一次购买机会，且购买时，只能选择其中一个系列的一个盲盒.通过统计发现：第一次购买盲盒的消费者购买甲系列的概率为15， 购买乙系列的概率为45： 而前一次购买甲系列的消费者下一次购买甲系列的概率为14，购买乙系列的概率为34，前一次购买乙系列的消费者下一次购买甲系列的概率为12，购买乙系列的概率为12：如此往复，记某人第 n 次购买甲系列的概率为nQ.求2Q；
8、若礼品店每卖出一个甲系列的盲盒可获利 30 元， 卖出一个乙系列的盲盒可获利 20 元， 由样本估计总体，若礼品店每天可卖出 1000 个盲盒，且买的人之前都已购买过很多次这两个系列的盲盒，估计该礼品店每天利润为多少元（直接写出答案）.518.(14 分)如图， 在四棱锥 P-ABCD 中， PA面 ABCD， AB/CD，且 CD=2，PA=AB=BC=1，ABBC.(1)求证：ADPC；(2)求锐二面角 D-PC-B 的余弦值；(3)若 PB 的中点为 M，判断直线 AM 与平面 PDC 是否相交，如果相交，求出 P 到交点 H 的距离，如果不相交，说明理由.19.(15 分)已知椭圆22
9、221xyab的短轴长为2 2，直线2:al xc与 x 轴交于点 A，椭圆的右焦点为 F，|OF|=2|FA|，过点 A 的直线与椭圆交于 P，Q 两点.(1)直接写出椭圆的方程及离心率；(2)若0OP OQ ,求直线 PQ 的方程；(3)过点 P 且垂直于 x 轴的直线交椭圆于另一点 M，证明：O,F,M 三点共线，并直接写出AMQ 面积的最大值.620.(15 分)已知函数 2xf xexaxa(1)当 a=1 时，求函数的单调区间：(2)若关于 x 的不等式 af xe在a，+)上有解，求实数 a 的取值范围；(3)若曲线 yf x存在两条互相垂直的切线，直接写出实数 a 的取值范围.
10、21.(15 分)定义圈数列123nXxxxn ： ， ， ，; X 为一个非负整数数列， 且规定nx的下一项为1x，记011,nnxxxx, 这样kx的相邻两项可以统一表示为11kkxx，k=1，2，3，n(1x的相邻两项为02xx，即2nxx，；nx的相邻两项为11nnxx，).定义圈数列 X 做了一次 P 运算：选取一项2kx ， 将圈数列 X 变为圈数列121211,1kkkP Xxxxxx ： ， ，,即将kx减2，相邻两项各加 1，其余项不变.并记下标 k 输出了一次.记 X 进行过 i 次 P 运算后数列为1,2,:,iiiinxxXx,（规定0XX)(1)若 X：4，0，0，直
11、接写出一组可能的 X1，X2，X3，X4；(2)若进行 q 次 P 运算后(q0)， 有qXX， 此时下标 k 输出的总次数为ka， 记0naa,11naa直接写出一组非负实数，使得11kkkaaa对任意 k=1，2，3，n，都成立，并证明1ka ;(3)若 X：n+1，0，0，0，证明：存在 M，当正整数 kM 时，kX中至少有一半的项非零.7人大附中高三年级 2021 数学收官考试之期末模拟一、单选题(共 40 分)1.设集合3 |0,12 3log1ABxx, , ，则RAC B ()A.0.1B.1,2C.1,3D.0,3解析：解析：|03Bxx，|03RC Bx xx或，0 3RAC
12、 B ,，选，选 D.2.集合 1|1Mz ztti tR，下列命题中不正确的是()A.MR B.0MC.若zM，则 z 在复平面上所对应的点一定不在第四象限D.若zM，2z ，则 z 不一定是纯虚数解析：对于解析：对于A，当，当1t 时，时，2MR ，故选，故选 A.3.如图，角，均以 Ox 为始边，终边与单位圆 O 分别交于 A,B，则OA OB ()A. sin(-)B. sin(+)C. cos(-)D. cos(+)解析：解析：(cos ,sin) (cos,sin)coscossinsincos()OA OB ，选，选 C.4.已知，表示两个不同的平面，l 表示一条直线，且，则l是
13、 l/的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析解析：前推后前推后，有可能有可能l 平面，后推前后推前，l可能与可能与平面相交相交，平行平行，也可能也可能l 平面，选选 D.85.已知直线13470lxy：与直线26110lxmym ：平行，则1l与2l之间的距离为()A.1B.2C.3D.4解析：两线平行，解析：两线平行，3(1)46m ，则，则7m ，227( 3)102534d ，选，选 B.6.若2( )()()xxf xeeaxbxc是偶函数，则一定有()A.b=0B. ac=0C.a=0 且 c=0D.a=0，c=0 且 b0解析：解析：xxye
14、e为奇函数，故为奇函数，故2yaxbxc也为奇函数，故也为奇函数，故0ac，选，选 C.7.如图， 某建筑物是数学与建筑的完美结合.该建筑物外形弧线的一段近似看成双曲线下支的一部分，且此双曲线222210,0yxabab的下焦点到渐近线的距离为 3，离心率为 2，则该双曲线的标准方程为()A.2213yxB.2213xy C.22193yxD.22139yx解析：由题联立解析：由题联立22232bceacab，解得，解得32 33bca，又焦点在，又焦点在y轴上，故选轴上，故选 D.8.对圆221xy上任意一点( , )P x y，若34349xyaxy的值都与x，y无关，则实数 a 的取值范
15、围是()A.5a B.-5a5C.5a 或5a D.5a 解析：当解析：当9a 时，符合题意，排除时，符合题意，排除 B，D；当当5a 时，时，(1,0)P时，值为时，值为12，(0,1)P时，值为时，值为 2，排除，排除 C，选选 A.99.已知正方体1111ABCDABC D中，点 P、Q、R 分别是线段11BBABAC、上的动点，观察直线 CP 与1DQ，CP 与1D R，得出下列结论：对于任意给定的点 Q，存在点 P，使得1CPDQ;对于任意给定的点 P，存在点 Q，使得1DQCP;对于任意给定的点 R，存在点 P，使得1CPD R;对于任意给定的点 P，存在点 R，使得1D RCP；
16、其中正确的结论是()A. B. C. D. 解析解析:对于对于，当取当取 P 与与1B重合时，重合时，1CPABD 平面，则，则1CPDQ，正确，排除正确，排除 B B、D;D;对于对于，很容易找到反例，当取很容易找到反例，当取 R 与与1A重合时，不存在，重合时，不存在，错误，排除错误，排除 A A，故选，故选 C.C.10.若数列 na满足：0A BR AB,，使得对于*nN ，都有21nnnaAaBa,则称 na具有“三项相关性”下列说法正确的有()若 na是等差数列，则 na具有“三项相关性”若 na是等比数列，则 na具有“三项相关性”若 na是周期数列，则 na具有“三项相关性”若
17、 na具有正项“三项相关性”，且正数 A，B 满足 A+1=B,12aaB,nnbB, na与 nb的前 n 项和分别为,nnS T则对*nN ,nnST恒成立.A. B. C. D. 解析：对于解析：对于，2()nnnadA adBa，联立，联立12ABA，解得，解得21AB ，正确；正确；对于对于，2nnna qAa qBa，即，即20qAqB，正确；正确；对于对于，找反例，如，找反例，如 0，0，2，0，0，2，321aAaBa，不存在这样的，不存在这样的 A，B，错误错误；对于对于，21(1)nnnaBaBa，整理得，整理得211()nnnnaaB aa，又，又12aaB，故故11nn
18、nnaaB BB，又，又nnbB，故可知，故可知nnba，正确正确.选选 B.10二、填空题二、填空题(共共 25 分分)11.53212xx的展开式中的常数项是_.解析：解析：332235( 2)()20Cxx .12.10 名工人某天生产工艺零件，生产的件数分别是 19，19，20，20，13，14，17，18，22，22，那么数据的 80%分位数是_.解析解析： 从小到大排列从小到大排列，10 80%8， 第第 8 位位 20， 第第 9 位位 22， 故故数据数据的的 80%分位数是分位数是2022212.13.已知抛物线2:C yax的准线方程为18x ,则 a=_.解析：由题解析：
19、由题148a，解得，解得12a .14.小明正在考数学期末模拟，写到了填空题的第 15 题，只有完全选对得 5 分，一旦错选或者少选得 0 分。 已经题目有四个选项， 小明根据平日掌握的知识和方法很快判断出了正确，错误。无法确定，但是小明依然冷静地分析后判断：有23的可能性是对的，有13的可能性是对的，假设小明判断正确，那么他应该选择_.解析：共有解析：共有 4 种可能种可能.选选选选，212339；选选不选不选，224339；不选不选选选，111339，不选不选不不选选，122339.故故假设小明判断正确，那么他应该选择假设小明判断正确，那么他应该选择. .1115.对于函数 sin,0,2
20、12 ,2,2x xff xxx，下列 4 个结论正确的是_.(只有完全选对才得 5 分，一旦错选或者少选得 0 分).任取12,0,x xx,都有 122f xf x; 22()f xkf xkKN,对一切0)x ，恒成立；若关于x的方程 0f xm m有且只有两个不同的实根12,x x，则123xx;函数 ln 1yf xx有 5 个零点解析：解析：数形结合数形结合.对于对于，max( )1f x，min( )1f x ，故，故正确；正确；对于对于，当，当3k 时，则时，则( )6 (6)f xf x，而由题，而由题( )8 (6)f xf x，错误；错误；对于对于，当，当112m 时，有
21、两个交点，且时，有两个交点，且123232xx，正确；正确；对于对于，将，将lnyx向右平移向右平移 1 个单位，与函数个单位，与函数 f x的交点有的交点有 3 个，个，错误错误. .故填故填. .12三、解答题三、解答题(共共 90 分分)16.(13 分)已知ABC 同时满足下列四个条件中的三个：3A2cos3B a=14b=6(1)请指出这三个条件，并说明理由；(2)求ABC 的面积.解析：解析：(1)ABC 同时满足同时满足，.4 分分理由如下：若理由如下：若ABC 同时满足同时满足，则，则因为，因为，21 cos32B 且且,()0B,所以所以23B. 这与这与 A+B，矛盾，矛盾
22、.所以所以ABC 不能同时满足不能同时满足，.所以所以ABC 只能同时满足只能同时满足，因为因为 ab，所以，所以 AB，故，故ABC 不满足不满足.故故ABC 满足满足，8 分分(2)因为因为2222cosabcbcA,所以所以222146262cc 解得解得 c=16 或或 c=-10(舍舍).所以所以ABC 的面积的面积113sin6 1624 3222sbcA 13 分分1317.(13 分)玩具柜台元旦前夕促销，就在 12 月 31 日购买甲、乙系列的盲盒，并且集齐所有的产品就可以赠送大奖.而每个甲系列盲盒可以开出玩偶 A1，A2，A3，中的一个，每个乙系列盲盒可以开出玩偶，B2中的
23、一个.(1)记事件nE：一次性购买 n 个甲系列盲盒后集齐 A1，A2，A3玩偶；事件nF：一次性购买 n个乙系列盲盒后集齐，B2玩偶；求6P E及5P F；(2)柜台对甲、乙两个系列的盲盒进行饥饿营销，每个消费者每天只有一次购买机会，且购买时，只能选择其中一个系列的一个盲盒.通过统计发现：第一次购买盲盒的消费者购买甲系列的概率为15， 购买乙系列的概率为45： 而前一次购买甲系列的消费者下一次购买甲系列的概率为14，购买乙系列的概率为34，前一次购买乙系列的消费者下一次购买甲系列的概率为12，购买乙系列的概率为12：如此往复，记某人第 n 次购买甲系列的概率为nQ.求2Q；若礼品店每卖出一个
24、甲系列的盲盒可获利 30 元， 卖出一个乙系列的盲盒可获利 20 元， 由样本估计总体，若礼品店每天可卖出 1000 个盲盒，且买的人之前都已购买过很多次这两个系列的盲盒，估计该礼品店每天利润为多少元（直接写出答案）.【分析】【分析】(1)由古典概型的概率公式可以直接解出；(2)依题意可得1111142nnnQQQ, 即可得到25nQ是一个等比数列，从而求出nQ，用表示一天中购买甲系列盲盒的人数，可知服从二项分布，即可计算出结果.14解解析析：(1)由题意由题意22232134264263136266320327C C CC C C AC AP E4 分分551 1151216P F , 7
25、分分(2)由题意可知：由题意可知：12111111119,Q1Q54224520QQ10 分分(解析解析)当当 n2 时，时，111111114224nnnnQQQQ,11(21221,54555)nnQQQ ,所以所以25nQ是以是以15为首项，为首项，14为公比的等比数列，为公比的等比数列，1211554nnQ 因为每天购买盲盒的人都已购买过很多次因为每天购买盲盒的人都已购买过很多次，所以所以，对于每一个人来说对于每一个人来说，某天来购买盲盒时某天来购买盲盒时，可以看作可以看作 n 趋向无穷大，由样本估计总体可知：趋向无穷大，由样本估计总体可知：购买甲系列盲盒的概率近似于购买甲系列盲盒的概
26、率近似于25，假设用，假设用表示一天中购买甲系列盲盒的个数，则表示一天中购买甲系列盲盒的个数，则21000,5B所以所以 210004005E, 即购买甲系列盲盒的个数的期望为即购买甲系列盲盒的个数的期望为 400，所以礼品店应卖出甲系列盲盒所以礼品店应卖出甲系列盲盒 400 个，乙系列盲盒个，乙系列盲盒 600 个个.估计利润为：估计利润为：L=40030+60020=24000(元元).(填填 25000 的酌情给分的酌情给分)13 分分1518.(14 分)如图， 在四棱锥 P-ABCD 中， PA面 ABCD， AB/CD，且 CD=2，PA=AB=BC=1，ABBC.(1)求证：AD
27、PC；(2)求锐二面角 D-PC-B 的余弦值；(3)若 PB 的中点为 M，判断直线 AM 与平面 PDC 是否相交，如果相交，求出 P 到交点 H 的距离，如果不相交，说明理由.解析：解析：(1)证明：证明：AB/CD，ABBC，AB=BC=1，CD=2，2AC ,BAC=DCA=45.在在DAC 中，由余弦定理得中，由余弦定理得2222cosADACDCAC DCACD,即即2222222222AD , 所以所以2AD ,222.ACADDCACAD.又又 PA平面平面 ABCD， ：AD 平面平面 ABCD.PAAD.又：又：ACPAA，AC，PA 平面平面 PAC，AD平面平面 PA
28、C，PC 平面平面 PAC，ADPC.5 分分(2)解：取解：取 CD 中点中点 N，连结，连结 AN.AB/CD,CD=2,AB=1,CN=1,AB/NC,AB=NC.四边形四边形 ABCN 是平行四边形是平行四边形.AN/BC.ABBC，ABAN.PA平面平面 ABCD，PAAN，PAAB.以以 A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则则 A(0,0,0),B(0,1,0),C(1,1,0),D(1,1,0),P(0,0,1)1,1 1 , 1,0,0 , 0,2,0PCBCDC .设平面设平面 PBC 的一个法向量为的一个法向量为, ,n
29、x y z,则则0,0,0.0.n PCxyzxn BC 令令 y=1，则得，则得 z=1，此时，此时n (0,1,1)16设平面设平面 PDC 的一个法向量为的一个法向量为, ,mx y z,则则0,0,20.0.m PCxyzym DC 令令 x=1, 则得则得 z=1，此时，此时m (1,0,1).1 00 1 1 11cos2,22m nm nm n .设平面设平面 PDC 与平面与平面 PBC 所成角为所成角为，1coscos2,m n 平面平面 PDC 与平面与平面 PBC 所成角的余弦值为所成角的余弦值为12.10 分分(3)解：解：1 11 10,0,1,0,12 22 2MA
30、Mm .102mAM . 直线直线 AM 与平面与平面 PDC 相交相交.设设AHAM , 所以所以110,22H110,122PH.0PH m,1102 解得解得20,1,0 ,1PHPH,到交点到交点 H 的距离为的距离为 1.14 分分1719.(15 分)已知椭圆22221xyab的短轴长为2 2，直线2:al xc与 x 轴交于点 A，椭圆的右焦点为 F，|OF|=2|FA|，过点 A 的直线与椭圆交于 P，Q 两点.(1)直接写出椭圆的方程及离心率；(2)若0OP OQ ,求直线 PQ 的方程；(3)过点 P 且垂直于 x 轴的直线交椭圆于另一点 M，证明：Q,F,M 三点共线，并
31、直接写出AMQ 面积的最大值.解析：解析：(1)椭圆的方程为椭圆的方程为22162xy,离心率为离心率为63; 5 分分(2)由由(1)可得可得 A(3，0)，设直线，设直线 PQ 的方程为的方程为 y=k(x-3)，223360yk xxy,整理得整理得222231182760kxk xk,依题意依题意212 2(0)3k ,得得6633k,设设1122,P x yQ xy则则21221813kxxk，212227613kx xk,由直线由直线 PQ 的方程得的方程得11223 ,3yk xyk x于是于是22121212123339y ykxxkx xxx，由由0OP OQ , 则则121
32、20 x xy y, 由由 得得251k , 从 而从 而55k , 所 以 直 线所 以 直 线 m 的 方 程 为的 方 程 为530 xy或或530 xy;10 分分(3)设设1APAQ ,即有即有11223,3,xyxy,即即121233 ,xxyy,设设10,M x y,即有即有221036xy,则则011122122 02,2,0,()yyFFMxyFQxyyy ，由于由于1112222332,30332xxxxxxx等价为等价为121221250 x xxx,由韦达定理代入可得由韦达定理代入可得222227618212501313kkkk ,则有则有12220 xx,故有故有 F
33、MFQ ,Q,F,M 三点共线，三点共线，AMQ 面积面积221211122aSAFyycyyc ，18211222611133313361222312133kk xk xk xxkkkkkk ，当且仅当当且仅当13 kk，即，即33k 时取等号，满足时取等号，满足6633k,AMQ 面积的最大值面积的最大值32.15 分分1920.(15 分)已知函数 2xf xexaxa(1)当 a=1 时，求函数的单调区间：(2)若关于 x 的不等式 af xe在a，+)上有解，求实数 a 的取值范围；(3)若曲线 yf x存在两条互相垂直的切线，直接写出实数 a 的取值范围.【分析】【分析】(1)当
34、a=1 时， 21xf xexx,求出其导数，利用导数即可解出单调区间；(2)若关于的不等式 af xe在, a 上有解，即2a xxaxae，在, a 上有解，构造两个函数 2,a xr xxaxa t xe,研究两个函数的在, a 上的单调性，即可转化出关于 a 的不等式，从而求得 a 的范围；(3)由导数 2xfxexxa，当 a-2 时，函数 yfx的图象与轴有两个交点，故图象上存在两条互相垂直的切线.解析：解析：(1)当当 a=1 时，时， 21xf xexx,则则 232xfxexx,列表或者：列表或者：令令 0fx得得 x-1 或或 x-2；令；令 0fx得得-2x0 时，在时，
35、在a,+ )上，由于上，由于 r(x)的对称轴为负，的对称轴为负，故故 r(x)在在a,+)上增，上增，t(x)在在a,+ )上减，上减，欲使欲使2a xxaxae有解，有解，则只须则只须 r(a)t(a)，即，即221aa,20解得解得112a ,故故102a ；当当 a0 时，在时，在a,+)上，由于上，由于 r(x)的对称轴为正，的对称轴为正，故故 r(x)在在a,+)上先减后增，上先减后增，t(x)在在a,+)上减，上减，欲使欲使2a xxaxae有解，只须有解，只须22aart,即即3224aaae,当当0a 时，时，3224aaae显然成立显然成立.综上所述，综上所述，12a 即为
36、符合条件的实数即为符合条件的实数 a 的取值范围；的取值范围；12 分分(3)a 的取值范围是的取值范围是2|a aaR，.15 分分2121.(15 分)定义圈数列123nXxxxn ： ， ， ，; X 为一个非负整数数列， 且规定nx的下一项为1x，记011,nnxxxx, 这样kx的相邻两项可以统一表示为11kkxx，k=1，2，3，n(1x的相邻两项为02xx，即2nxx，；nx的相邻两项为11nnxx，).定义圈数列 X 做了一次 P 运算：选取一项2kx ， 将圈数列 X 变为圈数列121211,1kkkP Xxxxxx ： ， ，,即将kx减2，相邻两项各加 1，其余项不变.并
37、记下标 k 输出了一次.记 X 进行过 i 次 P 运算后数列为1,2,:,iiiinxxXx,（规定0XX)(1)若 X：4，0，0，直接写出一组可能的 X1，X2，X3，X4；(2)若进行 q 次 P 运算后(q0)， 有qXX， 此时下标 k 输出的总次数为ka， 记0naa,11naa直接写出一组非负实数，使得11kkkaaa对任意 k=1，2，3，n，都成立，并证明1ka ;(3)若 X：n+1，0，0，0，证明：存在 M，当正整数 kM 时，kX中至少有一半的项非零.【分析】【分析】(1)根据 P 运算的概念直接写出答案即可；(2)从第一问的过程中可以猜测12; 然后利用极端原理或
38、考虑整体或者局部的方程证明即可；(3)想法利用(2)的结论，同时注意感受“一半”有配对的含义，因此可多观察下标 k 输出后附近的整体变化；然后利用数学归纳法证明即可.22解：解：(1)1234:2,1,1,0,2,2;:1,3,0211XXXX ， ，或或1234:2,1,1,0,2,2;:1,3,0211XXXX ， ，.4 分分(全对才给分全对才给分)(2)12.考察考察11,kkkaa a，由操作规则，下标，由操作规则，下标 k 输出了总值为输出了总值为2ka，收入了，收入了11kkaa因此因此,112k qkkkkxxaaa,由由,1,2,3,qkk qXXxxkn,112kkkaaa
39、, k=1,2,3,n.120naaaq.方法一：极端原理：方法一：极端原理：设设1211max,0,mnmmmmaa aaaaaa, 且且112mmmaaa,112mmmaaa, 因此等号成立，有因此等号成立，有11mmmaaa,即即ma的后一项的后一项1ma也是最大值，重复也是最大值，重复 n 次这个过程，则所有数都是最大值，次这个过程，则所有数都是最大值，即即1230,1,1,2,3,. .nkqaaaaaknn方法二：考虑整体或者局部：方法二：考虑整体或者局部：由由112kkkaaa,得到得到11kkkkaaaa,遍历所有遍历所有 k 有有111210nnnnnnaaaaaaaa,从而
40、有从而有110nnaaaa,而而110nnaaaa，从而有从而有110nnaaaa,1112100nnnnnnaaaaaaaa,即即120nqaaan, 即即1,1,2,3,.kakn9 分分(3)X 各项和为各项和为 n+1，每次运算都不会改变总和，每次运算都不会改变总和，由抽屉原理，至少有一项由抽屉原理，至少有一项2kX , 因此可以进行无数次因此可以进行无数次 P 运算运算.01kxn,因此因此iX各项值最多有各项值最多有2nn 种可能种可能.23从而存在不同的正整数从而存在不同的正整数 pq 时，任取时，任取 i，i+1 两个相邻下标，考察项的和：两个相邻下标，考察项的和：存在存在 t
41、q，第，第 t 次次 P 运算在下标运算在下标 i 输出，输出，则则,11,1,1,1,2 0,1 1,20i ti tititi titxxxxxx.现证明：当现证明：当ht时，即第时，即第 h 次次 P 运算，恒有运算，恒有,1,0i hihxx.当当 h=t 时，已证；时，已证；设设1htt时成立，即时成立，即11,1,0i titxx,当当11ht时时1)若第若第 h 次次 P 运算不在下标运算不在下标 i，i+1 输出，由规则输出，由规则,11,1,1i hi hihihxxxx，11,1,11,1,t1,t0i hihi hihiixxxxxx；(2)若第若第 h 次次 P 运算在运算在 i 或或 i+1 下标输出，则与第下标输出，则与第 t 次运算同理可得次运算同理可得,1,0i hihxx因此总有因此总有,1,0i hihxx,因此因此， 当当 kq 后后， 每个下标都有输出每个下标都有输出， 其任何相邻的两个其任何相邻的两个1iixx，至少有一个是非零至少有一个是非零， 从而从而kX中至少一半的项非零中至少一半的项非零. 15 分分
