1、高三数学参考答案1 / 8房山区 2021-2022 学年度第一学期（中学）期末考试参考答案高三数学一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。1 12 23 34 45 56 67 78 89 91010B BC CA AC CD DA AB BC CD DC C二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。（11）1（12）4;15（13）0; 4（14）答案不唯一，如1nan ；等比数列中，10,01aq（15）三、解答题共 6 小题，共 85 分。 解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（16）（本小题 14 分）（）2( )sin22cossin2cos2122
2、sin(2)124f xxxmxxmxm 函数( )f x的最小正周期22T .3（7）（）选择条件：由( )f x的最大值为1，可知211m ，所以2m .2（9）所以( )2sin(2)124f xx 因为02x，所以52444x.1所以 当5244x，即2x时， .2( )f x取得最小值2-.2（14）选择条件：由( )f x的一个对称中心为(,0)8，可知32sin 2)1084m （，所以1m .2所以( )2sin(2)4f xx高三数学参考答案2 / 8因为02x，所以52444x.1所以 当5244x，即2x时，.2( )f x取得最小值1-.2（14）（17）（本小题 14
3、 分）（）证明：因为2FAB，所以FAAB又ABCDABEF平面平面，ABCDABEFAB平面平面，FAABEF 面，所以FA 平面ABCD.3（）证明：因为FA 平面ABCD，ADABCD 平面所以FAAD又2BAD所以FAADAB、两两互相垂直.1如图以A为原点，,AD AB AF,所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系.1由2,1ABADAFCDEF,可知(0,0,0)A，(2,1,0)C，(2,0,0)D，(0,2,0)B，(0,0,2)F，(0, 1,0)CD ，( 2,0,2)DF ,(0,2, 2)FB ，设( , , )nx y z为平面CDF的一个法向量，则00n CD
4、n DF ，即0220yxz， .1令1x 则1,0zy，所以(1,0,1)n ， .1设( , , )mx y z为平面DFB的一个法向量，则00m FBm DF ，即220220 xzyz，.1令1x 则1,1yz，所以(1,1,1)m ，.1则6cos,3m nm nmn .2易知二面角CDFB为锐二面角所以二面角CDFB的余弦值为63.1高三数学参考答案3 / 8（）由(0,0,0)A，3(0,1)2M得3(0,1)2AM 因为3=1 0+0 1 102AM n 所以AM与平面DCEF不平行，所以直线AM与平面DCEF相交.1在四边形ABEF中延长AM交FE的延长线于点H.点H就是直线
5、AM与平面DCEF的交点易知(0,3,2)H，所以22203213AH .1（18）（本小题 14 分）（）由实验园的频率分布直方图得：(0.1100.010) 50.6所以估计实验园的“大果”率为60%.3（）由对照园的频率分布直方图得：这100个果实中大果的个数为：(0.0400.020) 5 10030 个.采用分层抽样的方法从 100 个果实中抽取 10 个，其中大果有31010030个.1从这 10 个果实中随机抽取 3 个，记“大果”个数为X，则X的可能取值为0,1,2,3，.1247120350(31037CCXP）402112063) 1(3101327CCCXP4071202
6、1)2(3102317CCCXP1201)3(31033CCXP.4所以X的分布列为：.1所以109120134072402112470EX.2（）6n.2X0123P24740214071201高三数学参考答案4 / 8（19）（本小题 14 分）（）由离心率为32，可得23ac.1因为,A B为椭圆的上、下顶点，且2AB ，所以22 b即1b,1又222cba解得2a.1所以 椭圆E的标准方程为2214xy.1（4）（） 直线l经过定点），（11 ，证明如下：.1当直线l的斜率存在时，设: l ykxt，(1t)，由2214ykxtxy，得222(14)8440kxktxt，.1则222(
7、8)4(14)(44)0ktkt .1设1122( ,),(,)M x yN xy则122814ktxxk，21224414tx xk，.2则2121212211)(1(211xxxxtxkxxyxykkANAM.22) 1)(1(4) 1(8tttk所以1 kt.1所以直线l的方程为1kkxy，即11 ）（xky所以 直线l经过定点），（11 .1当直线l的斜率不存在时，设: l xm，),(MymM，),(MymN，则211mymykkMMANAM解得1m，此时直线l也经过定点），（11 .1综上 直线l经过定点），（11 高三数学参考答案5 / 8（20）（本小题 15 分）（）( )2
8、 ,( )(0)afxx g xxx.2由题意，公共切线的斜率(1)(1)kfg，即2a .1又因为(1)0f，所以切线方程为220 xy.1（4）（）设函数2( )( )( )1ln(0)h xf xg xxax x “曲线( )yf x与( )yg x有且仅有一个公共点”等价于“函数( )h x有且仅有一个零点”22( )2axah xxxx 当0a 时，当(0,)x时，( )0h x，所以( )h x在(0,)单调递增又因为(1)0h，所以( )yh x有且仅有一个零点1，符合题意.3 当2a 时，令，解得1x ( )h x与( )h x的变化情况如下：x(0,1)1(1,)( )h x
9、0( )h x所以( )h x在(0,1)上单调递减，在(1,)上单调递增，所以当1x 时，min( )(1)0h xh，故( )yh x有且仅有一个零点1，符合题意 .3 当02a时，令( )0h x，解得2ax ( )h x与( )h x的变化情况如下：x(0,2a）2a+2a（， ）( )h x0( )h x( )0h x高三数学参考答案6 / 8所以( )h x在(0,2a）上单调递减，在+2a（， ）上单调递增，所以当2ax 时，min( )()2ah xh因为(1)0h，12a，且( )h x在+2a（， ）上单调递增，所以()(1)02ahh又因为存在1e(0,1)a，使得121
10、2(e)e1ln(e)e0aaaaha 所以存在0(0,1)x 使得0()0h x，所以函数( )yh x存在两个零点0,1x，与题意不符.4综上，曲线( )yf x与( )yg x有且仅有一个公共点时，a的范围是 |0a a 或2a . .1（21）（本小题 14 分）（）0,1,2,1,0（或0,1,0,1,0）. .3（）必要性：因为E数列nA是递减数列，所以11kkaa)2021, 2 , 1(k，所以nA是首项为2022，公差为1的等差数列，所以2) 1() 12021(20222021a. .3充分性：由于120202021aa，120102020aa，112 aa所以202012
11、021aa， 即2202012021 aa，因为22021a，所以011kkaa，)2021, 2 , 1(k，所以数列nA是递减数列.综上，结论得证. .3高三数学参考答案7 / 8（）令kkkaac1) 1, 2 , 1(nk，则1kc因为112caa，2113ccaa，1211nncccaa，所以13211)3()2() 1()(nnccncncnnaAS)1 ()2)(1 () 1)(1 (1)2() 1(121ncncncnn)1 (2)(1 () 1)(1 (2) 1(121ncncncnn）因为1kc，所以kc1为偶数) 1, 2 , 1(nk，所以)1 ()2)(1 () 1)(1121ncncnc（为偶数所以要使()0nS A，必须使2) 1( nn为偶数，即4整除) 1( nn，亦即mn4或14 mn()m*N当mn4()m*N时，E数列nA的项满足03414kkaa，124ka，14ka), 2 , 1(mk时，有01a，()0nS A；当14 mn()m*N时，E数列nA的项满足03414kkaa，124ka，14ka，014ka), 2 , 1(mk时，有01a，()0nS A当24 mn，34 mn()mN时，) 1( nn不能被4整除，此时不存在E数列nA使得01a，()0nS A . .5高三数学参考答案8 / 8
