1、1 / 9门头沟区门头沟区 2021-2022 学学年第一学期年第一学期期末调研高三期末调研高三数学数学答答案案20221考生须知1本试卷答案共 9 页。请将条形码粘贴在答题卡相应位置处。2试卷所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。3请使用 2B铅笔填涂，用黑色字迹签字笔或钢笔作答。4. 考试时间 120 分钟，试卷满分 150 分。一、一、选择题（本大题共选择题（本大题共 10 个小题，每小题个小题，每小题 4 分，共分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的。 ）（1）复数(13i)(2i)（A）
2、2 32i（B）2 32i（C）13i（D）13i解：直接计算可得（A）（2）集合2 |60Ax xx， 21 0, 1 2 3B , ，则AB I（A） 2,1 0 1 2 3 ， ，（B） 2,1 0 1 ，（C） 1 0 1 2 ， ，（D） 21 0 1 2， ， ，解：易得（C）（3）在251()xx的展开式中，4x的系数是（A）20（B）10（C）10（D）20解：由通项公式直接计算得（B）（4） “角, 的终边关于x轴对称”是“sinsin0”的（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件解：由三角函数的定义可得（A）（5）下列函数中，在(
3、0,)为增函数的是（A）tanyx（B）|1|exy（C）1lnyx（D）2(1)exyx解：A不正确，在每一个单调区间上增，在0 （ ，）不是增函数；B 是对称轴为1x ，在0 （ ，）不是增函数；C 在(0,)为减函数，D求导得可2( )e0(0,)xfxxx，可知（D）正确（A）（B）（C）（D）2 / 9（6）如图，在下列四个正方体中，,A B为正方体的两个顶点，,M N Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不垂直的是（A）（B）（C）（D）解：由线面垂直判定定理可得 A,B,C 都符合直线AB与平面MNQ垂直，但 D 中的AB与MN所成的角为3，选择（D）（7）
4、等差数列na的公差0d ，数列2 na的前n项和3nnSk，则（A）3log 2,1dk （B）2log 3,0dk（C）2log 3,1dk （D）3log 2,0dk解 ： 设2nanb ， 则13bk， 当2n 时 ，1123nnnnbSS， 得1k ，2log 3d ，选择（C）（8）点P在抛物线24yx上，则P到直线1x 的距离与到直线34120 xy的距离之和的最小值为（A）4（B）3（C）2（D）1解：由定义得此最小值就是焦点到直线34120 xy的距离，由点到直线距离得(B)（9）在函数( )2f xax的图像上存在两个不同点,A B，使得,A B关于直线yx的对称点,A B在
5、函数( )exg x 的图像上，则实数a的取值范围是QANMBBAQMNNMQABABNQ3 / 9（A）(,e)（B）e(0,)2（C）(0,e)（D）2(0,e )解：由指对函数性质可知，其实就是研究函数( )2f xax与函数lnyx是否有二个不同交点，当0a时，不合 题意；当0a 时，ln22lnxaxxax，有二个交点 得（C）（10）公司在工程招标中是根据技术、商务、报价三项评分标准进行综合评分的，按照综合得分的高低进行排序，排序高者中标。分值权重表如下：综合得分技术商务报价100%50%10%40%技术标、商务标基本都是由公司的技术、资质、资信等实力来决定的。报价标则相对灵活，报
6、价标的评分方法是：基准价的基准分是68分，若报价每高于基准价1%，则在基准分的基础上扣0.8分，最低得分48分；若报价每低于基准价1%，则在基准分的基础上加0.8分，最高得分为80分。若报价低于基准价15%以上(不含15%)每再低1%，在80分在基础上扣0.8分。在某次招标中，若基准价为1000（万元） ，甲、乙两公司综合得分如下表：公司技术商务报价甲80分90分A甲分乙70分100分A乙分甲公司的报价为1100（万元） ，乙公司的报价为800（万元） ，则甲、乙两公司综合得分分别是（A）7375.4分分（B）7380分分（C）74.676分分（D）74.675.4分分解：由题意分析可得（A）
7、二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 5 分，满分 25 分。 ）（11）双曲线222:13xyCa的一条渐近线为30 xy，则C的焦距为.4 / 9解:4（12）已知P为平面上的动点，( 1,0)A ，(1,0)B为平面上两个定点，且0PA PBuur uur，则动点P的轨迹方程为.解：由数量积定义得：221xy（13）函数( )sin2f xx的图像向左平移个长度单位得到函数( )sin(2)4g xx的图像，若函数( )g x在区间(0, )a单调递增，则a的最大值为.解：8（写出符合条件的一个值即可） ；8（14）在梯形ABCD中，/AB DC，2ADBC，4AB ，3ABC，P是B
8、C的中点，则AB APuuu r uuu r=.解：思考一：投影法AB APuuu r uuu r=14思考二：几何运算：1()164 1()142AP ABABBPAB uuu r uuu ruuu ruuruuu r思考三：坐标法：以AB中点为原点，AB所在直线为x轴，用坐标运算也可。（15）已知函数(2)yf x为奇函数，且(3)(3)f xfx，当0,1x时，4( )2log (1)1xf xx，给出下列四个结论：( )f x图像关于( 2,0)对称( )f x图像关于直线1x 对称1(2021)2f( )f x在区间(2021,2022)单调递减其中所有正确结论的序号是.解：函数(2
9、)yf x为奇函数得：(2)(2)( )(4)0f xfxf xfx 可得( )f x图像关于关于(2,0)对称；由(3)(3)f xfx得(4)(2)(2)(2)( )4f xfxf xf xf xT ，所以正确，正确；3(2021)(1)2ff，所以不正确；正确.所以，正确题目的顺序号为三、解答题（本大题共 6 小题，满分 85 分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明。 ）（16） （本小题满分 12 分）ABCDP5 / 9在ABC中，3coscos2 cosbCcBaA（）.（）求A；（）若2a ，从条件、条件、条件中任选一个作为已知，使ABC存在并唯一确定，并求c的值.条件：2 3b
10、 条件：1b 条件：1cos3B 注注：如果选择的条件不符合要求，第（）问得 0 分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分解：（）由正弦定理得3coscos2 cos3sin()2sincosbCcBaABCAA（）2 分所以3cos26AA2 分（）选条件由正弦定理得：121sin1sin42BB2 分15cos64baBAB2 分153sinsin()8CAB2 分153sinsin2cacCA2 分注：若利用余弦定理，结论正确同样可得满分。选条件12 2cossin33BB 2 分2 61sinsin()6CAB2 分4 62sinsin3cacCA4 分（17） （本小
11、题满分 15 分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为ABCPDEF6 / 9梯形，2ABADPD，4DC ，/AB DC，2ADC，PDABCD平面，E，F分别为PD，PC的中点.（）判断直线AE与BF的位置关系，并说明理由；（）求二面角PBCA的余弦值；（）求点E到平面PBC的距离.解： （）/AE BF.连结EF，因为,E F分别是PD，PC的中点，所以EF12CD.1 分又因为AB12CD，所以ABEF，1 分所以四边形ABFE为平行四边形，故/AE BF1 分注：回答AE与BF共面，也给满分。（）由已知,DP DC DA两两垂直，建立如图所示坐标系.1 分(2,0,0),(2,
12、2,0),(0,4,0),(0,0,2)ABCP2 分设平面PBC法向量为1( , , )nx y z，11100(1,1,2)00BCxyxyzPB uuu ruurnnn.2 分平面ABC的法向量为2(0,0,1)n 1 分1212126cos,| |3nnn nn n2 分二面角PBCA的余弦值为63.1 分（）(0,0,1)E，(2,2, 1)EB uur.1 分设点E到平面PBC的距离为d，则116|3EBduurnn2 分（18） （本小题满分 13 分）第 24 届冬季奥运会将于 2022年 2 月在北京和张家口举办. 为了普及冬奥知识，京西某校组织全体学生进行了冬奥知识答题比赛
13、，从高一年级（共六个班）答题优秀的学生中随机抽查了20名，得到这20名优秀学生的统计如下：高一班级一（1）一（2）一（3）一（4）一（5）一（6）ABCPDEFxzy7 / 9人数454331（）从这20名学生中随机抽取 2 名学生参加区里冬奥知识比赛.（i）恰好这2名学生都来自同一班级的概率是多少？（ii）设这2名学生中来自高一（2）的人数为，求的分布列及数学期望；（）如果该校高中生的优秀率为0.1，从该校中随机抽取2人，这两人中优秀的人数为，求的期望.解:（） （i）20 名学生中随机抽取两名学生共有220190C.2 分设恰好 2 名学生都来自同一班级共有222224543328CCCC
14、C.1 分2814( )19 1095P A .1 分注：如果没有设，有答不扣分，没有设，也没有答扣 1 分（ii）可取 0，1，2，1 分215220105(0)190CPC，1115522075(1)190C CPC，2522010(2)190CPC.3 分的分布列为：012P1051907519010190.1 分的期望75 110211901902E.1 分（）可取 0，1，2，1 分(2,0.1)B:，所以0.1 20.2E.2 分注：只写出0.1 20.2E，不扣分.（19） （本小题满分 15 分）已知函数( )sinln(1)f xxx（）求( )f x在点(0,(0)f处的切
15、线方程；（）证明：( )f x在区间( 1,)存在唯一极大值点；（）证明：当0 x，( )0f x 解： （）1( )cos1fxxx.2 分8 / 9(0)2f ，(0)0f，得切线方程为20 xy2 分（）由（）得1( )cos1fxxx，( 1,0)x 时，( )0fx.1 分0,)x时，( )fx单调递减，(0)2f ，1()10+1f ，2 分由零点存在定理可得，( )fx在( 1,)x 存在唯一一个零点0 x，1 分且当00( 1,),()0 xxfx ，00(,),()0 xxfx，所以，( )f x在区间( 1,)存在唯一极大值点2 分（）由（）可知，( )f x在区间0(0,
16、)x上单调递增，在0(,)x单调递减，.1 分(0)0f，()ln(1) 0f，所以，当0,)x时，( )0f x .2 分当(,+ )x时，( )sinln(1)ln(1)10f xxx .2 分（20） （本小题满分 15 分）已知椭圆C的离心率为32，长轴的两个端点分别为12( 2,0),(2,0)AA.（）求C的方程；（）设直线1xmy与C分别相交于12,P P两点，直线1 1AP与22A P相交于点P试问：当m变化时，点P是否恒在一条定直线上?若是，请写出这条直线方程，并证明你的结论；若不是，请说明理由.解： （）由题意得：222,3114xacby .3 分（）若0m ，:1l x
17、 与椭圆22:14xCy相交于1233(1,),(1,)22PP.1 分直线1 1AP：3(2)6yx，直线223:(2)2A Pyx1 分3(2)6(4, 3)3(2)2yxPyx.1 分由椭圆的对称性若1233(1,),(1,)22PP可得交点为(4,3)P.1 分当m变化时，点P恒在定直线4x 上 1 分若0m 时，22221(4)23014xmymymyxy1 分9 / 9设交点为111222( ,),(,)P x yP xy，由韦达定理得：1221222434myymy ym（1）.1 分直线1 1AP：11(2)2yyxx与定直线4x 相交于1(4, )Mt，得11162ytx.1
18、 分同理直2222:(2)2yA Pyxx与直线4x 相交于2(4, )Nt，得22222ytx.1 分121221121212121212623(1)(3)23()2222(2)(2)(2)(2)yyy myy mymy yyyttxxxxxx2 分（1）式代入得12tt，所以当m变化时，点P恒在一条定直线4x 上1 分（21） （本小题满分 15 分）若集合12 ,nAa aaL（1230naaaaL）满足：对任意, i j（1ijn ） ，均存在,k t（1,1kntn ） ，使得()()0jikjitaaaaaa，则称A具有性质P（）判断集合0,3,6,9M ，1,4,6,8N 是否具
19、有性质P； （只需写出结论）（）已知集合12 ,nAa aaL（1230naaaaL）具有性质P（i）求1a；（ii）证明：122nnnaaaaL解： （）集合M具有性质P；.2 分集合N不具有性质P. 2 分（） （i）取ijn，由题知存在,k t（1,1kntn ） ，使得()()0nnknntaaaaaa成立，即(2)0kntaaa，.2 分又2ntaa，故必有0ka .2 分又因为1230naaaaL，所以10a .1 分（ii）由（i）得10a ，当2i时，存在,k t（1,1kntn ）使得()()0niknitaaaaaa成立，又因为()0nitntiaaaaaa，故0nikaaa，即nikaaa所以(1,2, )niaaA inL.2 分又1210nnaaaaL，所以121nnnnnnaaaaaaaaL，故121121,nnnnnnnnaaa aaaaaa aaaL，. 2 分相加得：1212()()nnnnaaaaaaaLL，即122nnnaaaaL.2 分
