1、1北京市朝阳区北京市朝阳区 2021-2022 学年度第一学期期末质量检测学年度第一学期期末质量检测高三数学试卷高三数学试卷2022.1（考试时间 120 分钟满分 150 分）本试卷分为选择题 40 分和非选择题 110 分第一部分（选择题第一部分（选择题 共共 40 分）分）一、一、选择题选择题：本大题共本大题共 10 小题小题，每小题每小题 4 分分，共共 40 分分在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，选出符合题选出符合题目要求的一项目要求的一项1.2(1i)A.2B.2C.2iD.2i2.双曲线221169xy的渐近线方程为A.34yx B.43yx C.35yx D.9
2、16yx 3. 在 5 道试题中有 2 道代数题和 3 道几何题，每次从中抽出 1 道题，抽出的题不再放回，则在第 1次抽到代数题的条件下，第 2 次抽到几何题的概率为A16B.310C.12D.344.已知抛物线24yx上一点M与焦点F的距离为4，则点M到x轴的距离是A2 2B.2 3C.4D.125.设函数21,( )l,11( )g,2o.xxf xxx若( )2f x ，则实数x的取值范围是A1,B(0,4C 1,4D(,46. 在直角坐标平面xOy内，O为坐标原点，已知点A13(,)22, 将向量OA 绕原点按逆时针方向旋转2得到OA,则OA的坐标为A.3 1(, )22B.31(,
3、)22C.13( ,)22D.13(,)227. 某纯净水制造厂在净化水的过程中，每增加一次过滤可使水中杂质减少 50%，若要使水中杂质减少到原来的 10%以下，则至少需要过滤（参考数据：lg20.3010）2A.2 次B.3 次C.4 次D.5 次8.若函数xbxaxfcossin)(的最大值为2，则下列结论不一定成立的是（）A.422 baB.2abC.2()8abD.24ab9.已知平面向量, a b满足2,aa与ab的夹角为120，记(1) ,()mabttt R,则m的取值范围为A.), 3B.),2C.), 1 D.),2110.如图，将半径为 1 的球与棱长为 1 的正方体组合在
4、一起， 使正方体的一个顶点正好是球的球心，则这个组合体的体积为A.76 B.7566C.78 D.1 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 5 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 25 分把答案填在答题卡上分把答案填在答题卡上11在51()xx的展开式中，x的系数为_.12.已知圆222:C xyr0r ，直线:2l yx，则使“圆C上至少有 3 个点到直线l距离都是 1”成立的一个充分条件是“r ”.13.如图， 正方形ABCD的边长为 2， 取正方形ABCD各边的中点,E F G H， 作第 2 个正方形EFGH，然后再取正方形EFGH各边的中点, ,I J K L,作第 3
5、个正方形IJKL，依此方法一直继续下去.则第 4 个正方形的面积是；从正方形ABCD开始，连续 8 个正方形面积之和是.14.如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为正方形，PA 底面ABCD，=2PA AB，E为线段PB的中点，F为线段BC上的动点，平面AEF与平面PBC(填“垂直”或“不垂直”） ；AEF的面积的最大值为315. 已知函数)20,)(sin()(xxf的部分图象如图所示，设( )( ) ,g xf x给出以下四个结论：1函数( )g x的最小正周期是3；2函数( )g x在区间7 5(,)189上单调递增；3函数( )g x的图象过点3(0,)2；4直线1318x为函数(
6、 )g x的图象的一条对称轴.其中所有正确结论的序号是三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 85 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程16.（本小题满分（本小题满分 13 分）分）记ABC的内角CBA,的对边分别为cba,，已知14,4, 12tctbta（1t ）.（）当3t时，求cosB；（）是否存在正整数t，使得角C为钝角？如果存在，求出t的值，并求此时ABC的面积；如果不存在，说明理由.17.（本小题满分（本小题满分 13 分）分）“双减”政策实施以来，各地纷纷推行课后服务“5+2”模式，即学校每周周一至周五 5 天
7、都要面向所有学生提供课后服务，每天至少 2 小时.某学校的课后服务有学业辅导、体育锻炼、实践能力创新培养三大类别，为了解该校学生上个月参加课后服务的情况，该校从全校学生中随机抽取了 100 人作为样本，发现样本中未参加任何课后服务的有 14 人，样本中仅参加某一类课后服务的学生分布情况如下：每周参加活动天数课后服务活动1 天24 天5 天仅参加学业辅导10 人11 人4 人4（）从全校学生中随机抽取 1 人，估计该学生上个月至少参加了两类课后服务活动的概率；（）从全校学生中随机抽取 3 人，以频率估计概率，以 X 表示这 3 人中上个月仅参加学业辅导的人数，求 X 的分布列和数学期望；（）若样
8、本中上个月未参加任何课后服务的学生有(014)nn人在本月选择仅参加学业辅导，样本中其他学生参加课后服务的情况在本月没有变化.从全校学生中随机抽取 3 人，以频率估计概率，以 X 表示这 3 人中上个月仅参加学业辅导的人数，以Y表示这 3 人中本月仅参加学业辅导的人数，试判断方差()D X,( )D Y的大小关系(结论不要求证明).18.（本小题满分（本小题满分 14 分）分）刍甍（ch mng）是中国古代数学书中提到的一种几何体.九章算术中有记载“下有袤有广，而上有袤无广”，可翻译为：“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱.”如图，在刍甍ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，平面B
9、AE和平面CDE交于EF.（）求证：CD平面BAE；（）若4AB，=2EF，EDFC，3 3AF ，再从条件，条件，条件中选择一个作为已知，使得刍甍ABCDEF存在，并求平面ADE和平面BAE夹角的余弦值条件：BFFC，AFFC；条件：平面CDE 平面ABCD；条件：平面CBF 平面ABCD.19.（本小题满分（本小题满分 15 分）分）已知曲线W：221(,3xymmmR0,m 且3m ).（）若曲线W是焦点在x轴上的椭圆，求m的取值范围；仅参加体育锻炼5 人12 人1 人仅参加实践能力创新培养3 人12 人1 人5（）当1m 时，过点(1,0)E作斜率为k0k 的直线l交曲线W于点,A B
10、（,A B异于顶点） ，交直线2x 于P.过点P作y轴的垂线,垂足为Q，直线AQ交x轴于C，直线BQ交x轴于D，求线段CD中点M的坐标.20.（本小题满分（本小题满分 15 分）分）已知函数( )2lnlnf xxxa，0a .（）求曲线( )yf x在(1,(1)f处切线的斜率；（）求函数( )f x的极大值；（）设2( ) = exg xax，当(1,e)a时，求函数( )g x的零点个数,并说明理由.（21） （本小题满分（本小题满分 15 分）分）对 任 意 正 整 数n， 记 集 合1212( ,)|,nnnAa aaa aa均 为 非 负 整 数 ， 且12naaan， 集 合1212( ,)|,nnnBb bbb bb均 为 非 负 整 数 ， 且122 nbbbn 设12( ,)nna aaA，12( ,)nnb bbB， 若 对 任 意1,2, in都有iiab，则记（）写出集合2A和2B；（）证明：对任意nA，存在nB，使得；（）设集合( ,)|,nnnSAB ，求证：nS中的元素个数是完全平方数
