1、固体物理学固体物理学周 健2011.02.232011-2012学年第二学期第一章 晶体的结构及其对称性1.5 晶体点阵和结构的分类1891年费多洛夫、熊夫利和巴罗独立地发表了完备的空间群理论。由于晶格周期性的限制，晶体只具有为数不多的对称类型。晶体的对称类型是由少数基本的对称操作组合而成。如果不考虑平移，基本对称操作构成的群称为点群；其中点阵的点群数为7，对应7个晶系。考虑到基元，晶体结构的点群数为32。如果考虑平移操作，那么可以形成230种微观对称性，称为空间群。群的定义在数学上，定义一组元素（有限或者无限）的集合 ，并赋予这些元素一定的乘法运算规则 。如果这些元素满足如下的规则，则集合G
2、构成一个群。对称操作群-点群，空间群如果一个晶体所有的对称操作满足上述群的定义，则构成一个操作群。乘法运算就是连续操作单位元素就是不动操作逆元素就是转角和平移矢量大小相等、方向相反的操作i的逆元素还是自己i晶体的所有操作包括平移操作（t）和点群对称操作(D)，以及它们的组合。因此晶体的一般对称操作可以写成：一般操作D|t组合构成的群称为空间群，它是晶体的完全对称群当t=0时，由非平移操作D|0组成的群称为点群，是空间群的一个子集当D=E时，由纯平移操作组成的群称为平移群，它也是空间群的一个子群32个点群点群的符号 （Schonflies符号，熊夫利符号）O (Octahedron) 代表具有立
3、方体对称性的群。T (tetrahedron)代表四面体对称性的群Cn 代表具有具有n次轴的群Sn 代表具有n次旋转反演轴的群Dn 代表具有一个n次轴，同时还有垂直于该轴的2次轴下标的h代表除了n次轴之外，还有与轴垂直的水平对称面下标的v代表除了n次轴之外，还有通过该轴的竖直平面点群的符号 （HermannMauguin 符号，国际符号）7个晶系和14种点群晶体可以按照其具有的对称群来分类。如果一些晶体具有相同的一组群元素，那么就对称性而言，它们属于同一类晶体。首先我们忽略结构中基元的对称性，而只考虑点阵的对称性分类。7个晶系首先不考虑平移操作，即只考虑D|0构成的点阵的点群。由于点阵的宏观对
4、称操作和对称素受到平移对称性的限制，群论严格证明，仅仅存在7中不同的点群，称为7种晶系。也就是说，点阵按照宏观对称性可以分为7类。这7类晶系的差别体现在单胞晶格矢量上，即它们的大小和夹角：(1) 三斜晶系 (Triclinic)除了不动操作E和中心反演对称性之外，无任何旋转对称轴对基矢无任何限制对应Ci群，只有2个群元素(2)单斜晶系 (Monoclinic)存在一条2次轴和对称心对基矢有角度要求，但无长度要求对应C2h群，含有4个群元素(3) 正交晶系 (Orthorhombic)存在三条2次轴和对称心对基矢有角度要求，但无长度要求对应D2h群，8个群元素(4) 三角晶系 (Trigonal
5、) (Rhombohedral)存在一条3次轴，三条2次轴（与3次轴垂直）和对称心对基矢有角度和长度要求对应D3d群，12个群元素(5) 四方晶系 (Tetragonal)存在一条4次轴，四条2次轴和对称心对基矢有角度和长度要求，对应D4h群，16个群元素(6) 六角晶系 (Hexagonal)存在一条6次轴，六条2次轴（与6次轴垂直）和对称心对基矢有角度和长度要求对应D6h群，24个群元素(7) 立方晶系 (cubic)存在三条4次轴，四条3次轴，六条2次轴和对称心对基矢有角度和长度要求对应Oh群，48个群元素14种点阵考虑到平移操作，前面的7个晶系可以演绎出14种点阵。前面的7种晶系是根据
6、点阵单胞来考虑的，但单胞通常是扩大了的元胞，同一单胞可以对应不同点阵。比如sc, bcc, fcc都属于立方晶系，但很显然具有不同的初基元胞和点阵排列。我们可以在每一个晶系中增加一些新的点阵（加心），来得到新的点阵。但加心也不是任意的。通过加心，共可以得到14种不同的点阵。P： 不加心的点阵I: 加体心F: 加面心，在单胞每个面的中心加心ABC： 在一对平行面上加心。Ab面加心记作C，ac面加心记作B，bc面加心记作A。不可能在两组平行面中心上加心。(1) 三斜晶系 P点阵(2) 单斜晶系 P和B点阵(3) 正交晶系 P,I,F,C点阵(4) 三角晶系 P点阵(5) 四方晶系 P和I点阵(6)
7、 六角晶系 P点阵(7) 立方晶系 P,I和F点阵32个点群所以7个晶系通过加心获得14种不同的点阵。按照宏观对称性，14种点阵分属7个晶系。7大晶系对应32种点群。点阵忽略了结构中基元的原子分布细节，一个能使点阵复原的对称操作，可能不再是结构的对称操作。由于基元不同，同一点阵可以有不同的结构。比如fcc结构和ZnS结构，都是fcc点阵。按照点阵分的话，都属于Oh群。但ZnS结构基元有两个不同的原子，所以其对称性必然降低，其实它属于Td群。一般每一个点阵的对称性总是最高的，其对应的具体结构的对称性就会低些。也就是说一个点阵对应的不同晶体结构可能具有不同的对称性。比如立方晶系包含Oh, Td,
8、O, Th 和 T 这五种点群。230种晶体学空间群要全面考虑晶体结构的对称性，必须同时考虑点群对称操作和平移对称操作：D|t存在两种新的对称素：螺旋轴和滑移反映面螺旋轴1个n次螺旋轴表示绕轴转动2/n后，再沿着该轴方向作一个非点阵平移（T/n的整数k倍，k小于n的整数）。晶体只能存在1,2,3,4,6次螺旋轴。滑移反映面1个滑移反映面表示经过该面的镜像操作后，再沿着面内某个方向非点阵平移（T/n，n为2或者4）。可以证明，对称操作只能构成230种晶体学空间群http:/img.chem.ucl.ac.uk/sgp/large/sgp.htm小结点群和空间群的概念7个晶系和14种点阵32种点群和230中空间群谢 谢
