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1、高等数学（下册）全册配套高等数学（下册）全册配套完整课件完整课件习题课一一、 内容小结内容小结 二、二、实实例分析例分析机动 目录 上页 下页 返回 结束 向量代数与空间解析几何 第八八章 向量代数向量代数设1. 向量运算加减:数乘:点积:),(zzyyxxbabababa),(zyxaaaazzyyxxbabababa),(, ),(, ),(zyxzyxzyxccccbbbbaaaa叉积:kjixayazaxbybzbba机动 目录 上页 下页 返回 结束 一一、内容小结内容小结 混合积:2. 向量关系:xxabyyabzzab0zzyyxxbabababa/ba 0bazyxzyxzyx

2、cccbbbaaacba)(cba共面cba,0zyxzyxzyxcccbbbaaa0)(cba机动 目录 上页 下页 返回 结束 0ba空间平面空间平面一般式点法式截距式0DCzByAx)0(222CBA1czbyax三点式0131313121212111zzyyxxzzyyxxzzyyxx1. 1. 空间直线与平面的方程空间直线与平面的方程),( :000zyx点0)()()(000zzCyyBxxA),(:CBAn 法向量机动 目录 上页 下页 返回 结束 空间解析几何空间解析几何为直线的方向向量.空间直线空间直线一般式对称式参数式0022221111DzCyBxADzCyBxAtpzz

3、tnyytmxx000pzznyymxx000),(000zyx),(pnms 为直线上一点; 机动 目录 上页 下页 返回 结束 面与面的关系面与面的关系0212121CCBBAA212121CCBBAA平面平面垂直:平行:夹角公式:2. .线面之间的相互关系线面之间的相互关系),( , 0:111111111CBAnDzCyBxA),( , 0:222222222CBAnDzCyBxA021nn021nn2121cosnnnn 机动 目录 上页 下页 返回 结束 ,1111111pzznyymxxL：直线0212121ppnnmm,2222222pzznyymxxL：212121ppnnm

4、m线与线的关系线与线的关系直线垂直:平行:夹角公式:),(1111pnms ),(2222pnms 021ss021ss2121cosssss 机动 目录 上页 下页 返回 结束 CpBnAm平面:垂直：平行：夹角公式：0CpBnAm面与线间的关系面与线间的关系直线:),(, 0CBAnDCzByAx),(,pnmspzznyymxx0ns0nsnsnssin机动 目录 上页 下页 返回 结束 3. 相关的几个问题相关的几个问题(1) 过直线00:22221111DzCyBxADzCyBxAL的平面束)(1111DzCyBxA0)(2222DzCyBxA方程0,21不全为12机动 目录 上页

5、下页 返回 结束 (2)点的距离为DzCyBxA000 222CBA到平面 ：A x+B y+C z+D = 0),(0000zyxMd0M1MnnnMMd01机动 目录 上页 下页 返回 结束 kji),(0000zyxM到直线的距离pzznyymxxL111:为(3) 点2221pnm010101 zzyyxxpnm dssMMd10),(pnms ),(1111zyxM),(0000zyxML机动 目录 上页 下页 返回 结束 二二、实实例分析例分析例例1. 求与两平面 x 4 z =3 和 2 x y 5 z = 1 的交线提示提示: 所求直线的方向向量可取为利用点向式可得方程43x)

6、 1,3,4(40151232y15z平行, 且 过点 (3 , 2 , 5) 的直线方程. 21nnskji机动 目录 上页 下页 返回 结束 241312zyx例例2. 求直线与平面062zyx的交点 . 提示提示: : 化直线方程为参数方程代入平面方程得 1t从而确定交点为（1，2，2）.tztytx2432t机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例3. 求过点( 2 , 1 , 3 ) 且与直线12131zyx垂直相交的直线方程.提示提示: 先求二直线交点 P. 0)3() 1(2)2(3zyx化已知直线方程为参数方程, 代入 式, 可得交点),(7371372P最后利用两点式得所求直

7、线方程431122zyx的平面的法向量为故其方程为),(312),(011),(123过已知点且垂直于已知直线, ) 1,2,3(P机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例4. 求直线0101zyxzyx在平面上的投影直线方程.提示提示：过已知直线的平面束方程从中选择01)1(1)1 (1)1 (得001zyxzy这是投影平面0)1()1()1 ()1 (zyx0) 1(1zyxzyx即0zyx使其与已知平面垂直：从而得投影直线方程, 1机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例5. 设一平面平行于已知直线0502zyxzx且垂直于已知平面,0347zyx求该平面法线的的方向余弦.提示提示: 已

8、知平面的法向量求出已知直线的方向向量取所求平面的法向量,513cos504cos,505cos1nsn)4, 1,7(1n)2,1,1 (s机动 目录 上页 下页 返回 结束 417211kji)4,5,3(2所求为例例6. 求过直线L:0405zxzyxzyx84 且与平面4夹成角的平面方程.提示提示: 过直线 L 的平面束方程04)1 (5)1 (zyx其法向量为已知平面的法向量为选择使43. 012720zyx从而得所求平面方程n1n4012 114cosnnnn.1,5,11nL8,4, 1n机动 目录 上页 下页 返回 结束 思路: 先求交点例例7. 求过点) 1 , 1 , 1 (

9、0M,12:1xzxyL且与两直线1243:2xzxyL都相交的直线 L.提示提示:21,LL将的方程化为参数方程1243:,12:21tztytxLtztytxLL1L2L0M1M2M设 L 与它们的交点分别为. ) 12,43,(2222tttM 再写直线方程.;,21MM),1,2,(1111tttM机动 目录 上页 下页 返回 结束 2,021tt)3,2,2(, ) 1,0,0(21MM211111:zyxL210,MMM1) 12(1) 1(1)43(1211212121tttttt三点共线2010/MMMML1L2L0M1M2M机动 目录 上页 下页 返回 结束 r例例8.8.直

10、线1101:zyxL绕 z 轴旋转一周, 求此旋转曲面的方程. 提示提示: 在 L 上任取一点), 1 (000zyM轴绕为设zMzyxM0),(旋转轨迹上任一点,LxOzy0MM则有0zz 0y22yx 201y得旋转曲面方程1222zyxr，代入第二方程将zy 01机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习,2) 1 (2xy 抛物柱面0z平面; 1224zyx及画出下列各曲面所围图形:,1)2(2zx抛物柱面; 10, 0yxzy及平面,)4(222xyzyx柱面旋转抛物面0z平面. 1x及(1)机动 目录 上页 下页 返回 结束 解答解答:xyzoxy 220z1224z

11、yx)0, 1 ,2()0,2,8(4xyzo2xyz1111xyz(2)机动 目录 上页 下页 返回 结束 1111ozx121 yx0y0z机动 目录 上页 下页 返回 结束 1) 1 , 1 () 1, 1 ( zxyozyx22xy 20z1x(3)数量关系数量关系 第八章第一部分第一部分 向量代数向量代数第二部分第二部分 空间解析几何空间解析几何 在三维空间中:空间形式空间形式 点点, , 线线, , 面面基本方法基本方法 坐标法坐标法; ; 向量法向量法坐标坐标, , 方程（组）方程（组）空间解析几何与向量代数 第一节一、向量的概念一、向量的概念二、向量的线性运算二、向量的线性运算

12、 机动 目录 上页 下页 返回 结束 向量及其线性运算 第八八章 表示法:向量的模 : 向量的大小,21MM记作一、向量的概念一、向量的概念向量:(又称矢量). 1M2M既有大小, 又有方向的量称为向量自由向量:与起点无关的向量.单位向量: 模为 1 的向量,零向量: 模为 0 的向量,有向线段 M1 M2 ,或 a ,a或.a或记作 e 或e .或 a .00或，记作规定: 零向量与任何向量平行 ;若向量 a 与 b大小相等, 方向相同, 则称 a 与 b 相等,记作 ab ;若向量 a 与 b 方向相同或相反, 则称 a 与 b 平行, ab ;与 a 的模相同, 但方向相反的向量称为 a

13、 的负向量,记作因平行向量可平移到同一直线上, 故两向量平行又称 两向量共线 .若 k (3)个向量经平移可移到同一平面上 , 则称此 k 个向量共面 .记作a ;机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、向量的线性运算二、向量的线性运算1. 向量的加法向量的加法三角形法则:平行四边形法则:运算规律 : 交换律结合律三角形法则可推广到多个向量相加 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 bbabbacba )()(cbacbaabcba cb)(cbacba )(aaba ba 机动 目录 上页 下页 返回 结束 s3a4a5a2a1a54321aaaaas2. 向量的减法向量的减法三角不等式机动

14、 目录 上页 下页 返回 结束 ab)( ab有时特别当,ab aa )( aababaabababa0babaaa3. 向量与数的乘法向量与数的乘法 是一个数 ,.a规定 :时，0，同向与aa,0时,0时.0a;aa;1aa可见;1aa;aa 与 a 的乘积是一个新向量, 记作，反向与aa总之:运算律 : 结合律)(a)(aa分配律a)(aa)(baba, 0a若a则有单位向量.1aa因此aaa 机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理1. 设 a 为非零向量 , 则( 为唯一实数)证证: “ ”., 取 且再证数 的唯一性 .则,0故.即abab设 abba取正号, 反向时取负号, a

15、 , b 同向时则 b 与 a 同向,设又有 b a ,0)(aaa baab.ab故,0a而机动 目录 上页 下页 返回 结束 “ ”则,0 时当例例1. 设 M 为MBACD解解:ABCD 对角线的交点,0 时当ba,0 时当,aAB ,bDAACMC2MA2BDMD2MB2已知 b a ,b0a , b 同向a , b 反向ab .,MDMCMBMAba表示与试用baab)(21baMA)(21abMB)(21baMC)(21abMD机动 目录 上页 下页 返回 结束 第二节点的坐标和向量的坐标 二、利用坐标作向量的线性运算二、利用坐标作向量的线性运算 三、向量的模、方向角、投影三、向量

16、的模、方向角、投影 一、空间直角坐标系一、空间直角坐标系xyz一、空间直角坐标系一、空间直角坐标系由三条互相垂直的数轴按右手规则组成一个空间直角坐标系. 坐标原点 坐标轴x轴(横轴)y轴(纵轴)z 轴(竖轴)过空间一定点 o ,o 坐标面 卦限(八个)面xoy面yozzox面1. 空间直角坐标系的基本概念空间直角坐标系的基本概念机动 目录 上页 下页 返回 结束 xyzo向径在直角坐标系下 11坐标轴上的点 P, Q , R ;坐标面上的点 A , B , C点点 M特殊点的坐标 :有序数组),(zyx 11)0 , 0 ,(xP)0 , 0(yQ), 0 , 0(zR)0 ,(yxA), 0

17、(zyB),(zoxC(称为点 M 的坐标坐标)原点 O(0,0,0) ;rr机动 目录 上页 下页 返回 结束 M坐标轴 : 轴x00zy00 xz轴y轴z00yx坐标面 :面yox0 z面zoy0 x面xoz0 y机动 目录 上页 下页 返回 结束 xyzo2. 向量的坐标表示向量的坐标表示在空间直角坐标系下,设点 M , ),(zyxM则沿三个坐标轴方向的分向量分向量.kzjyixr),(zyxxoyzMNBCijkA,轴上的单位向量分别表示以zyxkji的坐标为此式称为向量 r 的坐标分解式坐标分解式 ,rkzjyix称为向量,r任意向量 r 可用向径 OM 表示.NMONOMOCOB

18、OA机动 目录 上页 下页 返回 结束 , ixOA, jyOBkzOC二、利用坐标作向量的线性运算二、利用坐标作向量的线性运算设),(zyxaaaa , ),(zyxbbbb 则ba),(zzyyxxbababaa),(zyxaaaab,0 时当aabxxabyyabzzabxxabyyabzzab平行向量对应坐标成比例:，为实数机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2. 求解以向量为未知元的线性方程组ayx35byx23.211,212），（），（其中ba解解: 2 3 , 得bax32)10, 1,7(代入得)3(21bxy)16,2,11(机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例3.

19、 已知两点在AB直线上求一点 M , 使解解: 设 M 的坐标为, ),(zyx如图所示ABMo11MAB, ),(111zyxA),(222zyxB及实数, 1得),(zyx11),(212121zzyyxx即.MBAMAMMBAMOAOM MBOMOB AOOM )(OMOB OMOBOA(机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明说明: 由得定比分点公式定比分点公式:,121xx,121yy121zz,1时当点 M 为 AB 的中点 ,于是得x,221xx y,221yy z221zz ABMoMAB),(zyx11),(212121zzyyxxxyz中点公式中点公式:机动 目录 上页 下

20、页 返回 结束 三、向量的模、方向角、投影三、向量的模、方向角、投影 1. 向量的模与两点间的距离公式向量的模与两点间的距离公式222zyx),(zyxr 设则有OMr 222OROQOPxoyzMNQRP由勾股定理得),(111zyxA因AB得两点间的距离公式:),(121212zzyyxx212212212)()()(zzyyxx对两点与, ),(222zyxB, rOM作OMr OROQOPBABAOAOBBA机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例4. 求证以)3,2,5(, )2, 1 ,7(, ) 1 ,3,4(321MMM证证:1M2M3M21MM 2)47( 2)31 ( 2)

21、 12( 1432MM 2)75( 2) 12( 2)23( 631MM 2)45( 2)32( 2) 13( 63132MMMM即321MMM为等腰三角形 .的三角形是等腰三角形 . 为顶点机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例5. 在 z 轴上求与两点)7, 1 ,4(A等距解解: 设该点为, ),0,0(zM,BMAM因为 2)4(212)7(z 23252)2(z解得,914z故所求点为及)2,5,3(B. ),0,0(914M思考思考: (1) 如何求在 xoy 面上与A , B 等距离之点的轨迹方程?(2) 如何求在空间与A , B 等距离之点的轨迹方程 ?离的点 . 机动 目录

22、 上页 下页 返回 结束 提示提示:(1) 设动点为, )0,(yxM利用,BMAM得,028814 yx(2) 设动点为, ),(zyxM利用,BMAM得014947zyx且0z例例6. 已知两点)5,0,4(A和, )3, 1 ,7(B解解:求141)2,1,3(142,141,143.BABABABA机动 目录 上页 下页 返回 结束 oyzx2. 方向角与方向余弦方向角与方向余弦设有两非零向量 ,ba任取空间一点 O ,aOA作,bOBOAB称 =AOB (0 ) 为向量 ba,的夹角. ),(ab或类似可定义向量与轴, 轴与轴的夹角 . ,0),(zyxr给定与三坐标轴的夹角 , ,

23、 rr称为其方向角方向角.cosrx222zyxx方向角的余弦称为其方向余弦方向余弦. 记作),(ba机动 目录 上页 下页 返回 结束 oyzxrcosrx222zyxxcosry222zyxycosrz222zyxz1coscoscos222方向余弦的性质:的单位向量向量 rrrr)cos,cos,(cos机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例7. 已知两点)2,2,2(1M和, )0,3, 1(2M的模 、方向余弦和方向角 . 解解:,21,23)20计算向量)2, 1, 1(222)2(1) 1(2,21cos,21cos22cos,32,34321MM(21MM21MM机动 目录

24、上页 下页 返回 结束 例例8. 设点 A 位于第一卦限,解解: 已知角依次为,43求点 A 的坐标 . ,43则222coscos1cos41因点 A 在第一卦限 , 故,cos21于是(6,21,22)21)3,23,3(故点 A 的坐标为 . )3,23,3(向径 OA 与 x 轴 y 轴的夹 ,6AO且OAOAAO第二节 目录 上页 下页 返回 结束 uOuuaa)(Prj或记作M3. 向量在轴上的投影向量在轴上的投影Oua则 a 在轴 u 上的投影为 例如, ),(zyxaaaa 在坐标轴上的投影分别为 设 a 与 u 轴正向的夹角为 ,M, 即 cos)(aaucosazyxaaa

25、,投影的性质投影的性质2) uuaa)()(为实数) MM1) uuubaba)()()(例例9. 设立方体的一条对角线为OM, 一条棱为 OA, 且 , aOA 求OA 在 OM 方向上的投影. 解解: 如图所示, 记 MOA = , cosAOMOMOA313aacosPrjOAOAOM备用题备用题解解: 因pnma34)853(4kji)742(3kji)45(kjikji157131. 设,853kjim,742kjin求向量pnma34在 x 轴上的投影及在 y轴上的分向量.13xa在 y 轴上的分向量为jjay7故在 x 轴上的投影为jip 5,4k机动 目录 上页 下页 返回 结

26、束 2. 设求以向量行四边形的对角线的长度 . 该平行四边形的对角线的长度各为11, 3 对角线的长为解：解：为边的平机动 目录 上页 下页 返回 结束 mnnm ,|,|nm|nm)1 , 1, 1( nm)1,3, 1(nm3|nm11|nm,2kjn, jim 三、向量的混合积三、向量的混合积 第三节一、两向量的数量积一、两向量的数量积二、两向量的向量积二、两向量的向量积机动 目录 上页 下页 返回 结束 向量的乘法运算 第八八章 1M一、两向量的数量积一、两向量的数量积沿与力夹角为的直线移动,W1. 定义定义设向量的夹角为 ,称 记作数量积 (点积) .引例引例. 设一物体在常力 F

27、作用下, F位移为 s , 则力F 所做的功为cossFsFW2Mbacosba的与为baba,s机动 目录 上页 下页 返回 结束 ,0时当a上的投影为在ab记作故,0,时当同理babj rPb2. 性质性质为两个非零向量, 则有baj rPcosbbabaaj rPbaaa) 1 (2aba,)2(0baba ba0ba则2),(ba0,0ba机动 目录 上页 下页 返回 结束 3. 运算律运算律(1) 交换律(2) 结合律),(为实数abbaba)()( ba)(ba)()(ba)(ba)(ba(3) 分配律cbcacba事实上, 当0c时, 显然成立 ;时当0cc)(ba babcj

28、rPacj rPcbabacj rPc cbaccj rPj rPacj rP cbcj rPccacb)(j rPbac机动 目录 上页 下页 返回 结束 ABCabc例例1. 证明三角形余弦定理cos2222abbac证证:则cos2222abbac如图 . 设,aBC,bACcBAbac2c)()(babaaabbba22a2bcos2baccbbaa,机动 目录 上页 下页 返回 结束 4. 数量积的坐标表示数量积的坐标表示设则, 10zzyyxxbababa当为非零向量时,cos zzyyxxbababa222zyxaaa222zyxbbb由于 bacosba,kajaiaazyx,

29、kbjbibbzyxba)(kajaiazyx)(kbjbibzyxii jjkk jikjik baba baba,两向量的夹角公式 , 得机动 目录 上页 下页 返回 结束 )(MB, )(MA BM例例2. 已知三点, )2,1 ,2(),1 ,2,2(, )1 , 1 , 1(BAM AMB . A解解:, 1, 1 0, 1,0 1则AMBcos10022213AMB求MBMAMA MB故机动 目录 上页 下页 返回 结束 为 ) .求单位时间内流过该平面域的流体的质量P (流体密度例例3. 设均匀流速为的流体流过一个面积为 A 的平面域 ,与该平面域的单位垂直向量,A解解:单位时间

30、内流过的体积APAA的夹角为且vvncosvcosvnv vnn为单位向量机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、两向量的向量积二、两向量的向量积引例引例. 设O 为杠杆L 的支点 , 有一个与杠杆夹角为OQOLPQ符合右手规则OQFFsinOPsinOPMFOPOPM M矩是一个向量 M :的力 F 作用在杠杆的 P点上 ,则力 F 作用在杠杆上的力FoPFMFM 机动 目录 上页 下页 返回 结束 1. 定义定义定义向量方向 :(叉积)记作且符合右手规则模 :向量积 ,，的夹角为设ba,c,acbccsinabbac称c的与为向量babacba引例中的力矩FOPM思考思考: 右图三角形面积

31、abba21S机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 性质性质为非零向量, 则，0sin或即0aa) 1 (0ba,)2(0baba,0,0时当baba0basinab03. 运算律运算律(2) 分配律(3) 结合律(证明略)abcba )(cbcaba )()( ba)(baba) 1 (证明证明:机动 目录 上页 下页 返回 结束 )(kajaiazyx)(kbjbibzyx4. 向量积的坐标表示式向量积的坐标表示式设则,kajaiaazyx,kbjbibbzyxba)(iibaxx)(jibayx)(kibazx)(ijbaxy)(kjbazy)(ikbaxz)(jkbayzibaba

32、yzzy)(jbabazxxz)(kbabaxyyx)()(jjbayy)(kkbazzijk机动 目录 上页 下页 返回 结束 向量积的行列式计算法向量积的行列式计算法kjixayazaxbybzb,zyzybbaa,zxzxbbaayxyxbbaabaibabayzzy)(jbabazxxz)(kbabaxyyx)(kajaiaazyxkbjbibbzyx机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例4. 已知三点, )7,4,2(),5,4,3(, )3,2, 1(CBA角形 ABC 的面积 解解: 如图所示,CBASABC21kji222124)(21,4,622222)6(42114sin

33、21AB AC21ACAB求三机动 目录 上页 下页 返回 结束 一点 M 的线速度例例5. 设刚体以等角速度 绕 l 轴旋转, 导出刚体上 的表示式 . Ml解解: 在轴 l 上引进一个角速度向量使a其在 l 上任取一点 O,O作它与则点 M离开转轴的距离a且符合右手法则的夹角为 , ,sinar, rOM vsinr,vr rvvv方向与旋转方向符合右手法则 ,r向径机动 目录 上页 下页 返回 结束 三、向量的混合积向量的混合积1. 定义定义 已知三向量称数量混合积混合积 .记作几何意义几何意义 为棱作平行六面体,底面积高h故平行六面体体积为hAV coscba)(cba,cba的为cb

34、a,Abaccba,以则其cosbaccba)(cbabacba机动 目录 上页 下页 返回 结束 zyxzyxbbbaaaxcyczckji2. 混合积的坐标表示混合积的坐标表示设xayazaxbybzbzxzxbbaayxyxbbaacba)(ba, ),(zyxaaaa cbazyzybbaa, ),(zyxbbbb ),(zyxcccc ,zyzybbaa,zxzxbbaayxyxbbaaxcyczc机动 目录 上页 下页 返回 结束 3. 性质性质(1) 三个非零向量共面的充要条件是0(2) 轮换对称性 :(可用三阶行列式推出)cbacba,a b cab ca bc机动 目录 上页

35、 下页 返回 结束 abc例例6. 已知一四面体的顶点),(kkkkzyxA,3,2, 1( k4 ) , 求该四面体体积 . 1A2A3A4A解解: 已知四面体的体积等于以向量为棱的平行六面体体积的,61故 61V6112xx 12yy 12zz 13xx 13yy 13zz 14xx 14yy 14zz ,21AA,31AA41AA413121AAAAAA机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例7. 证明四点, )3,3,2(),6,5,4(, )1 , 1 , 1(CBA共面 .解解: 因0)17,15,10(DABCD34512291416故 A , B , C , D 四点共面 .A

36、DACAB机动 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结设1. 向量运算加减:数乘:点积:),(zzyyxxbabababa),(zyxaaaazzyyxxbabababa),(, ),(, ),(zyxzyxzyxccccbbbbaaaa叉积:kjixayazaxbybzbba机动 目录 上页 下页 返回 结束 混合积:2. 向量关系:xxabyyabzzab0zzyyxxbabababa/ba 0bazyxzyxzyxcccbbbaaacba)(cba共面cba,0zyxzyxzyxcccbbbaaa0)(cba机动 目录 上页 下页 返回 结束 0ba思考与练习思考与练习1. 设计

37、算并求夹角 的正弦与余弦 .)3, 1, 1 (,321cos1211sin答案答案:2. 用向量方法证明正弦定理:CcBbAasinsinsinba,1baba,2jibkjia,baba及BabcAC机动 目录 上页 下页 返回 结束 证证: 由三角形面积公式AcbsinBacsinBbAasinsin所以CcsinCbasin因BabcACABACSABC21BCBA21CACB21ABACBCBACACB机动 目录 上页 下页 返回 结束 22343cos322)2(17备用题备用题1. 已知向量的夹角且解：解：,43ba ,. |ba 求, 2|a, 3|b2ba)()(babaaa

38、ba2bb22cos2bbaa17ba机动 目录 上页 下页 返回 结束 22200)2(211ABCD在顶点为三角形中, , ) 2 , 1, 1 ( A)0, 1 , 1 (B的和) 1,3, 1(C求 AC 边上的高 BD .解：解：)3,4,0(AC, 5)3(422| AC)2,2,0(AB三角形 ABC 的面积为 |21ABACS21S| AC| BD5211| BD52|BD2.而故有机动 目录 上页 下页 返回 结束 第四节一、平面的点法式方程平面的点法式方程二、平面的一般方程二、平面的一般方程三、两平面的夹角三、两平面的夹角机动 目录 上页 下页 返回 结束 平面 第八八章

39、zyxo0Mn一、平面的点法式方程一、平面的点法式方程),(0000zyxM设一平面通过已知点且垂直于非零向0)()()(000zzCyyBxxAM称式为平面的点法式方程点法式方程,求该平面的方程.,),(zyxM任取点),(000zzyyxx法向量.量, ),(CBAn nMM000nMMMM0则有 故的为平面称n机动 目录 上页 下页 返回 结束 kji例例1.1.求过三点,1M又) 1,9,14(0)4() 1(9)2(14zyx015914zyx即1M2M3M解解: 取该平面 的法向量为),2,3, 1(),4, 1,2(21MM)3,2,0(3M的平面 的方程. 利用点法式得平面 的

40、方程346231nn3121MMMM机动 目录 上页 下页 返回 结束 此平面的三点式方程三点式方程也可写成 0132643412zyx0131313121212111zzyyxxzzyyxxzzyyxx一般情况一般情况 : 过三点)3,2, 1(),(kzyxMkkkk的平面方程为说明说明:机动 目录 上页 下页 返回 结束 特别特别, ,当平面与三坐标轴的交点分别为此式称为平面的截距式方程截距式方程. ), 0 , 0(, )0 , 0(, )0 , 0 ,(cRbQaP1czbyax时,)0,(cbabcax)( cay)(0bazabcbzaacybcx平面方程为 PozyxRQ分析:

41、利用三点式 按第一行展开得 即0ax yzab0a0c机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、平面的一般方程二、平面的一般方程设有三元一次方程 以上两式相减 , 得平面的点法式方程此方程称为平面的一般平面的一般0DzCyBxA任取一组满足上述方程的数,000zyx则0)()()(000zzCyyBxxA0000DzCyBxA显然方程与此点法式方程等价, )0(222CBA),(CBAn 的平面, 因此方程的图形是法向量为 方程方程.机动 目录 上页 下页 返回 结束 特殊情形特殊情形 当 D = 0 时, A x + B y + C z = 0 表示 通过原点通过原点的平面; 当 A = 0

42、时, B y + C z + D = 0 的法向量平面平行于 x 轴; A x+C z+D = 0 表示 A x+B y+D = 0 表示 C z + D = 0 表示 A x + D =0 表示 B y + D =0 表示0DCzByAx)0(222CBA平行于 y 轴的平面;平行于 z 轴的平面;平行于 xoy 面 的平面;平行于 yoz 面 的平面；平行于 zox 面 的平面.,), 0(iCBn机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2. 求通过 x 轴和点( 4, 3, 1) 的平面方程.例例3. .用平面的一般式方程导出平面的截距式方程.解解: 因平面通过 x 轴 ,0 DA故设所

43、求平面方程为0zCyB代入已知点) 1,3,4(得BC3化简,得所求平面方程03 zy机动 目录 上页 下页 返回 结束 三、两平面的夹角三、两平面的夹角设平面1的法向量为 平面2的法向量为则两平面夹角 的余弦为 cos即212121CCBBAA222222CBA212121CBA两平面法向量的夹角(常为锐角)称为两平面的夹角.122n1n),(1111CBAn ),(2222CBAn 2121cosnnnn 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2特别有下列结论：特别有下列结论：21) 1 (0212121CCBBAA21/)2(212121CCBBAA),(:),(:2222211111CB

44、AnCBAn1122121cosnnnn 21nn 21/ nn2n1n2n1n机动 目录 上页 下页 返回 结束 因此有例例4. 一平面通过两点垂直于平面: x + y + z = 0, 求其方程 .解解: 设所求平面的法向量为,020CBA即CA2的法向量,0CBACCAB)()0(0) 1() 1() 1(2CzCyCxC约去C , 得0) 1() 1() 1(2zyx即02zyx0) 1() 1() 1(zCyBxA)1, 1, 1(1M, )1, 1,0(2M和则所求平面故, ),(CBAn方程为 n21MMn且机动 目录 上页 下页 返回 结束 外一点,求),(0000zyxP0D

45、zCyBxA例例5. 设222101010)()()(CBAzzCyyBxxA222000CBADzCyBxAd0111DzCyBxA解解: :设平面法向量为),(1111zyxP在平面上取一点是平面到平面的距离d .0P,则P0 到平面的距离为01PrjPPdnnnPP010P1Pnd, ),(CBAn (点到平面的距离公式)机动 目录 上页 下页 返回 结束 xyzo0M例例6.解解: 设球心为求内切于平面 x + y + z = 1 与三个坐标面所构成则它位于第一卦限,且2220001111zyx00331xx , 1000zyxRzyx000因此所求球面方程为000zyx633331,

46、 ),(0000zyxM四面体的球面方程.从而)(半径R2222)633()633(633)633(zyx机动 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结1.平面平面基本方程:一般式点法式截距式0DCzByAx)0(222CBA1czbyax三点式0131313121212111zzyyxxzzyyxxzzyyxx0)()()(000zzCyyBxxA)0(abc机动 目录 上页 下页 返回 结束 0212121CCBBAA212121CCBBAA2.平面与平面之间的关系平面平面垂直:平行:夹角公式:2121cosnnnn 021nn021 nn, 0:22222DzCyBxA),(222

47、2CBAn , 0:11111DzCyBxA机动 目录 上页 下页 返回 结束 ),(1111CBAn )5,15,10(0) 1(5) 1(15) 1(10zyx0632zyx备用题备用题求过点 且垂直于二平面 和 的平面方程.) 1 , 1 , 1 (7zyx051223zyx解解: 已知二平面的法向量为取所求平面的法向量 则所求平面方程为化简得),1, 1, 1 (1n)12,2,3(2n21nnn机动 目录 上页 下页 返回 结束 第五节一、空间直线方程一、空间直线方程 二、线面间的位置关系二、线面间的位置关系 机动 目录 上页 下页 返回 结束 空间直线 第八八章 一、空间直线方程一

48、、空间直线方程xyzo01111DzCyBxA02222DzCyBxA1 2 L因此其一般式方程1 1. 一般式方程一般式方程 直线可视为两平面交线，(不唯一)机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 对称式方程对称式方程故有说明说明: 某些分母为零时, 其分子也理解为零.mxx000yyxx设直线上的动点为 则nyy0pzz0此式称为直线的对称式方程对称式方程(也称为点向式方程点向式方程)直线方程为),(0000zyxM),(zyxMs已知直线上一点),(0000zyxM),(zyxM例如, 当,0, 0时pnm和它的方向向量 , ),(pnms sMM/0机动 目录 上页 下页 返回 结束

49、 3. 参数式方程参数式方程设得参数式方程 :tpzznyymxx000tmxx0tnyy0tpzz0机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例1 1.用对称式及参数式表示直线解解: :先在直线上找一点.043201 zyxzyx632zyzy再求直线的方向向量2,0zy令 x = 1, 解方程组,得交已知直线的两平面的法向量为是直线上一点 .)2,0, 1(故.s, ) 1, 1, 1 (1n)3, 1,2(2n21ns,ns21nns机动 目录 上页 下页 返回 结束 故所给直线的对称式方程为参数式方程为tztytx32 41t41x1y32z解题思路解题思路: 先找直线上一点;再找直线的方

50、向向量.)3, 1,4(21nns312111kji机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、线面间的位置关系二、线面间的位置关系1. 两直线的夹角两直线的夹角 则两直线夹角 满足21, LL设直线 两直线的夹角指其方向向量间的夹角(通常取锐角)的方向向量分别为212121ppnnmm212121pnm222222pnm),(, ),(22221111pnmspnms2121cosssss 2L1L1s2s机动 目录 上页 下页 返回 结束 特别有特别有:21) 1(LL 21/)2(LL0212121ppnnmm212121ppnnmm21ss 21/ss机动 目录 上页 下页 返回 结束 例