1、第七节第七节一、三角级数及三角函数系的正交性一、三角级数及三角函数系的正交性 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、函数展开成傅里叶级数二、函数展开成傅里叶级数三、正弦级数和余弦级数三、正弦级数和余弦级数 第13章 傅里叶级数傅里叶级数 一、三角级数及三角函数系的正交性一、三角级数及三角函数系的正交性简单的周期运动 :)sin(tAy(谐波函数)( A为振幅, 复杂的周期运动 :)sin(10nnntnAAytnAtnAnnnnsincoscossin令,200Aa,sinnnnAa,cosnnnAbxt得函数项级数)sincos(210 xnbxnaannk为角频率, 为初相 )(谐波迭加
2、)称上述形式的级数为三角级数.机动 目录 上页 下页 返回 结束 xxnkxnkd)cos()cos(21定理定理 1. 组成三角级数的函数系,1,cosx,sin x,2cos x,2sin x,cos,nx,sinnx证证:1xnxdcos1xnxdsin0 xnxk coscos)(nk xxnxkdcoscos00dsinsinxxnxk同理可证 :),2, 1(nxnkxnk)(cos)(cos21上在,正交 ,上的积分等于 0 .即其中任意两个不同的函数之积在0dsincosxxnxk)(nk 机动 目录 上页 下页 返回 结束 上的积分不等于 0 .,2d11xxxn dsin2
3、xxn dcos2),2, 1(n,22cos1cos2xnxn22cos1sin2xnxn且有 但是在三角函数系中两个相同的函数的乘积在 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、二、函数展开成傅里叶级数函数展开成傅里叶级数定理定理 2 . 设 f (x) 是周期为 2 的周期函数 , 且)sincos(2)(10nxbnxaaxfnnn右端级数可逐项积分, 则有), 1,0(dcos)(1nxnxxfan),2, 1(dsin)(1nxnxxfbn证证: 由定理条件,10dsindcosd2)(nnnxxnbxxnaxadxxf0a,对在逐项积分, 得机动 目录 上页 下页 返回 结束 xx
4、kaxxkxfdcos2dcos)(01nxxnxkandcoscosxxnxkbndsincosxxkakdcos2kaxxkxfakdcos)(1),2, 1(k(利用正交性),2, 1(dsin)(1kxxkxfbkxxfad)(10类似地, 用 sin k x 乘 式两边, 再逐项积分可得机动 目录 上页 下页 返回 结束 叶系数为系数的三角级数 称为的傅傅里里叶系数叶系数 ;10sincos2)(nnnxnbxnaaxf), 1,0(dcos)(1nxnxxfan由公式 确定的nnba ,以)(xf)(xf),2, 1(dsin)(1nxnxxfbn的傅里的傅傅里里叶级数叶级数 .称
5、为函数)(xf 傅里叶 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理3 (收敛定理收敛定理, 展开定理展开定理)设 f (x) 是周期为2的周期函数, 并满足狄利克雷狄利克雷( Dirichlet )条件条件:1) 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点;2) 在一个周期内只有有限个极值点, 则 f (x) 的傅里叶级数收敛 , 且有10sincos2nnnnxbnxaa, )(xf,2)()(xfxf x 为间断点其中nnba ,( 证明略证明略 )为 f (x) 的傅里叶系数 . x 为连续点注意注意: 函数展成傅里里叶级数的条件比展成幂级数的条件低得多.简介 目录 上页 下页 返回 结束 例
6、例1. 设 f (x) 是周期为 2 的周期函数 , 它在 上的表达式为),xxxf0,10,1)(解解: 先求傅里叶系数xnxxfandcos)(100dcos11dcos) 1(1xnxxnx),2,1,0(0n将 f (x) 展成傅里叶级数. oyx11机动 目录 上页 下页 返回 结束 xnxxfbndsin)(100dsin11dsin) 1(1xnxxnx0cos1nnx0cos1nnxnncos12nn) 1(12,4n,0,5,3,1n当,6,4,2n当xxfsin 4)(x3sin31xkk) 12sin(121),2,0,(xx机动 目录 上页 下页 返回 结束 yx11O
7、),2,0,(xx77sin x99sinx1) 根据收敛定理可知,时,级数收敛于02112) 傅氏级数的部分和逼近33sinsin4)(xxxf55sin x说明说明:), 2, 1, 0(kkx当f (x) 的情况见右图.Oyxxoy例例2.上的表达式为),xxxxf0,00,)(将 f (x) 展成傅里叶级数. 解解: xxfad)(100dcos1xxnxxnxxfandcos)(10d1xx0221x202cossin1nnxnnxx2cos1nn2332设 f (x) 是周期为 2 的周期函数 , 它在 机动 目录 上页 下页 返回 结束 ), 2, 1(nxnxxfbndsin)
8、(1nn 1) 1(),2,1(k12 knkn2, 00dsin1xnxx)(xf4 cos x2xsinx2sin21 3sin 3cos xx 23231x4sin41 5sin 5cos xx 252512cos1nnan,2) 12(2k),2,1,0,) 12(,(kkxx说明说明: 当) 12(kx时, 级数收敛于22)(0机动 目录 上页 下页 返回 结束 , )(xxf周期延拓)(xF傅里里叶展开,)(在xf上的傅里叶级数定义在定义在 , 上的函数上的函数 f (x)的傅氏级数展开法的傅氏级数展开法), , )(xxf, )2(kxf其它机动 目录 上页 下页 返回 结束 例
9、例3. 将函数xxxxxf0, 0,)(级数 .oyx则xxFad)(10 xxfd)(10d2xx0222xxnxxFandcos)(1xnxxfdcos)(10dcos2xnxx02cossin2nnxnnxx解解: 将 f (x)延拓成以 展成傅里叶2为周期的函数 F(x) , 机动 目录 上页 下页 返回 结束 x3cos312na)1cos(22nn12 knkn2,0),2,1(k,2) 12(4kxnxxFbndsin)(1xnxxfdsin)(10)(xf24xcosx5cos512)(x利用此展式可求出几个特殊的级数的和.当 x = 0 时, f (0) = 0 , 得222
10、2) 12(1513118n说明说明:机动 目录 上页 下页 返回 结束 42,421312242设,413121122222217151311,6141212222已知82122234131211又21213624822212248222机动 目录 上页 下页 返回 结束 三、正弦级数和余弦级数三、正弦级数和余弦级数1. 周期为2 的奇、偶函数的傅里叶级数定理定理4 . 对周期为 2 的奇函数 f (x) , 其傅里叶级数为周期为2的偶函数 f (x) , 其傅里叶级数为余弦级数 ,),2,1,0( dcos)(20nxnxxfan),3,2,1( 0nbn),2,1,0( 0nan0),3
11、,2,1(dsin)(2nxnxxfbn它的傅里叶系数为正弦级数,它的傅里叶系数为机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例4. 设的表达式为 f (x)x ,将 f (x) 展成傅里叶级数.是周期为2 的周期函数,它在上),)(xf解解: 若不计),2, 1,0() 12(kkx是则)(xf周期为 2 的奇函数, yxo0dsin)(2xnxxfbn),2,1,0(0nan),3,2,1(n0dsin2xnxx因此02sincos2nnxnnxxnncos21) 1(2nn机动 目录 上页 下页 返回 结束 n1根据收敛定理可得 f (x) 的正弦级数:)(xf,(x)3sin312sin21
12、(sin2xxx12nnxnnsin) 1(1),1,0,) 12(kkxyxo级数的部分和 n2n3n4上在),逼近 f (x) 的情况见右图.n5机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例5. 将周期函数tEtusin)(展成傅里叶级数, 其中E 为正常数 .解解:)(tu2yxo2; ),2,1(0nbn0a0dsin2ttEE4ttntuan0dcos)(2tt ntE0dcossin20d) 1sin() 1sin(ttntnE是周期为2 的周期偶函数 , 因此0d)(2ttu机动 目录 上页 下页 返回 结束 为便于计算, 将周期取为2 t 2cos310d) 1sin() 1sin
13、(ttntnEankn212, 0 kn),2,1(k1a0)(tu)(t,) 14(42kE0d2sinttE21t 4cos151t 6cos351E2E4xkkEk2cos141412机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 在0,上的函数展成正弦级数与余弦级数,0),(xxf)(xF周期延拓 F (x)(xF f (x) 在 0 , 上展成周期延拓 F (x)余弦级数奇延拓偶延拓xoy正弦级数 f (x) 在 0 , 上展成xoy, 0(),(xxf0, 0 x)0,(),(xxf,0(),(xxf)0,(),(xxf机动 目录 上页 下页 返回 结束 1xyo例例6. 将函数)0(1
14、)(xxxf分别展成正弦级数与余弦级数 . 解解: 先求正弦级数. 去掉端点, 将 f (x) 作奇周期延拓,0dsin)(xnxxf2nb0dsin) 1(2xnxx02cossincos2nnxnnxnnxxnnncoscos1212 knkn2),2, 1(k,1222k机动 目录 上页 下页 返回 结束 ,1knb12,1222knkknk2,1),2, 1(k21xxsin)2(x2sin2x3sin32x4sin4)0( x注意注意: 在端点 x = 0, , 级数的和为0 ,与给定函数机动 目录 上页 下页 返回 结束 1xyo因此得 f (x) = x + 1 的值不同 . 再
15、求余弦级数.x1y将)(xf则有o0a0d) 1(2xxna0dcos) 1(2xnxx0222xx202sincossin2nnxnnxnnxx1cos22nn12,) 12(42knkkn2,0),2, 1(k作偶周期延拓 ,机动 目录 上页 下页 返回 结束 121xxcosx3cos312)0( xx5cos512说明说明: 令 x = 0 可得8513112228) 12(1212nk即41212) 12(14kkxk) 12cos(机动 目录 上页 下页 返回 结束 1yox内容小结内容小结1. 周期为 2 的函数的傅里叶级数及收敛定理 )sincos(2)(10 xnbxnaax
16、fnnn)(间断点x其中xxnxfandcos)(1xxnxfbndsin)(1),2, 1 ,0(n),2, 1(n注意注意: 若0 x为间断点,则级数收敛于2)()(00 xfxf机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 周期为 2 的奇、偶函数的傅里叶级数 奇函数正弦级数 偶函数余弦级数3. 在 0 , 上函数的傅里叶展开法 作奇周期延拓 , 展开为正弦级数 作偶周期延拓 , 展开为余弦级数1. 在 0 , 上的函数的傅里叶展开法唯一吗 ?答答: 不唯一 , 延拓方式不同级数就不同 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习处收敛于2.)(xf0 x,1 x0,12x则它
17、的傅里叶级数在x在4x处收敛于 .提示提示:2)()(ff2 )(f)(f2222)4()4(ff2)0()0( ff21102设周期函数在一个周期内的表达式为机动 目录 上页 下页 返回 结束 ,xyo11xO3. 设,0,)(2xxxxf又设)(xS求当( ,2 )( ) xS x的表达式 .解解: 由题设可知应对)(xf作奇延拓:)(xFxxx0,20 x,00 x,2xx (, ), 在上; )()(xFxS由周期性:( ,2 ),在上( )(2 )S xS x2(,0)x 2(2 )(2 )xx2232xx)(xf是(0, )2 以为周期的正弦级数展开式的和函数, 在2x f (x)
18、的定义域 内时4. 写出函数)(xf0, 1x x0, 1上在,傅氏级数的和函数 .)(xS0, 1x x0, 10 x,0 x,0答案:定理3 目录 上页 下页 返回 结束 xyo11)(xf备用题备用题 1.2)(xxxf函数)(x叶级数展式为, )sincos(210nnnnxbnxaa则其中系. 3b数提示提示:xxxfbd3sin)(13xxxxd3sin)(21)3sin93cos3(2xxx03232利用“偶倍奇零”(93 考研)机动 目录 上页 下页 返回 结束 的傅里 2. 设)(xf是以 2 为周期的函数 , 其傅氏系数为,na则)()(为常数hhxf的傅氏系数. , nnba提示提示:xdxnfancos)(1hxthtntfhhd)(cos)(1tt ntfnhdsin)(sin1nanh cosnbnhsinhxt令ttntfnhdcos)(cos1nhbnhannsincosnhanhbnnsincoshh利用周期函数性质,nb机动 目录 上页 下页 返回 结束 类似可得nb
