1、第九节一、立体体积一、立体体积 二、曲面的面积二、曲面的面积 三、物体的质心三、物体的质心 四、物体的转动惯量四、物体的转动惯量 五、物体的引力五、物体的引力 机动 目录 上页 下页 返回 结束 多元函数积分的应用 第11章 六、场论初步六、场论初步 一、立体体积一、立体体积 曲顶柱体曲顶柱体的顶为连续曲面),(yxfz 则其体积为DyxyxfVdd),(,),(Dyx 占有空间有界域空间有界域 的立体的体积为zyxVddd机动 目录 上页 下页 返回 结束 1:221yxzS任一点的切平面与曲面222:yxzS所围立体的体积 V . 解解: 曲面1S的切平面方程为202000122yxyyx
2、xz它与曲面22yxz的交线在 xoy 面上的投影为1)()(2020yyxxyxVDdd 22yx 202000122yxyyxxyxDdd 12020)()(yyxxsin,cos00ryyrxx令2(记所围域为D ),(000zyx在点Drrrdd2例例1. 求曲面rr dd10320机动 目录 上页 下页 返回 结束 xoyza2例例2. 求半径为a 的球面与半顶角为 的内接锥面所围成的立体的体积.解解: 在球坐标系下空间立体所占区域为:则立体体积为zyxVdddcos202darrdsincos316033a)cos1(3443acos20ar 0200dsin20drrvdddsi
3、nd2rM机动 目录 上页 下页 返回 结束 MAdzdn二、曲面的面积二、曲面的面积xyzSo设光滑曲面DyxyxfzS),( , ),(:则面积 A 可看成曲面上各点),(zyxM处小切平面的面积 d A 无限积累而成. 设它在 D 上的投影为 d ,Adcosd),(),(11cos22yxfyxfyxd),(),(1d22yxfyxfAyx(称为面积元素)则Mnd机动 目录 上页 下页 返回 结束 故有曲面面积公式d),(),(122DyxyxfyxfAyxyzxzADdd)()(122若光滑曲面方程为zyzxyxAdd)()(122,),( , ),(zyDzyzygx则有zyD即机
4、动 目录 上页 下页 返回 结束 xzxyzyAdd)()(122若光滑曲面方程为 ,),( , ),(xzDxzxzhy若光滑曲面方程为隐式,0),(zyxF则则有yxzyzxDyxFFyzFFxz),(,AyxDxzDzzyxFFFF222,0zF且yxdd机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例3. 计算双曲抛物面yxz 被柱面222Ryx所截解解: 曲面在 xoy 面上投影为,:222RyxD则yxzzADyxdd122yxyxDdd122rrrRd1d0220 )1)1( 32232R出的面积 A .机动 目录 上页 下页 返回 结束 三、物体的质心三、物体的质心设空间有n个质点,
5、),(kkkzyx其质量分别, ),2, 1(nkmk由力学知, 该质点系的质心坐标,11nkknkkkmmxx,11nkknkkkmmyynkknkkkmmzz11设物体占有空间域 ,),(zyx有连续密度函数则 公式 ,分别位于为为即:采用 “大化小, 常代变, 近似和, 取极限” 可导出其质心 机动 目录 上页 下页 返回 结束 将 分成 n 小块, ),(kkk将第 k 块看作质量集中于点),(kkk例如,nkkkkknkkkkkkvvx11),(),(令各小区域的最大直径,0zyxzyxzyxzyxxxddd),(ddd),(系的质心坐标就近似该物体的质心坐标.的质点,即得此质点在第
6、 k 块上任取一点机动 目录 上页 下页 返回 结束 同理可得zyxzyxzyxzyxyyddd),(ddd),(zyxzyxzyxzyxzzddd),(ddd),(,),(常数时当zyx则得形心坐标：,dddVzyxxx,dddVzyxyyVzyxzzddd的体积为zyxVddd机动 目录 上页 下页 返回 结束 若物体为占有xoy 面上区域 D 的平面薄片, ),(yx为yxyxyxyxxxDDdd),(dd),(yxyxyxyxyyDDdd),(dd),(,常数时,ddAyxxxDAyxyyDdd(A 为 D 的面积)得D 的形心坐标:则它的质心坐标为MMyMMx其面密度 xMyM 对
7、x 轴的 静矩 对 y 轴的 静矩机动 目录 上页 下页 返回 结束 4例例4. 求位于两圆sin2rsin4r和的质心. 2D解解: 利用对称性可知0 x而DyxyAydd1Drrddsin312rr dsin4sin22dsin956042956dsin295620437之间均匀薄片0dsin3143212oyxC机动 目录 上页 下页 返回 结束 Vzyxzzddd例例5. 一个炼钢炉为旋转体形, 剖面壁线的方程为, 30,)3(922zzzx内储有高为 h 的均质钢液,解解: 利用对称性可知质心在 z 轴上，,0 yx采用柱坐标, 则炉壁方程为,)3(922zzrzyxVdddhzzz
8、02d)3(9zDhyxzddd0因此故自重, 求它的质心.oxzh若炉不计炉体的其坐标为机动 目录 上页 下页 返回 结束 hzzz022d)3(9zDhyxzzddd0zyxdzdd)51233(923hhh225409043060hhhhhzoxzh)41229(923hhhV机动 目录 上页 下页 返回 结束 四、物体的转动惯量四、物体的转动惯量设物体占有空间区域 , 有连续分布的密度函数. ),(zyx该物体位于(x , y , z) 处的微元 vzyxyxd),()(22因此物体 对 z 轴 的转动惯量:zyxzyxyxIzddd),()(22zIdxyoz对 z 轴的转动惯量为
9、因质点系的转动惯量等于各质点的转动惯量之和, 故 连续体的转动惯量可用积分计算. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 类似可得:zyxzyxIxddd),( zyxzyxIyddd),( zyxzyxIoddd),( )(22zy )(22zx )(222zyx对 x 轴的转动惯量对 y 轴的转动惯量对原点的转动惯量机动 目录 上页 下页 返回 结束 如果物体是平面薄片,面密度为Dyxyx),(),(DxyxyxIdd),( DoyxyxIdd),( 则转动惯量的表达式是二重积分.xDyo2y2x)(22yx DyyxyxIdd),( 机动 目录 上页 下页 返回 结束 rraddsin030
10、2例例6.求半径为 a 的均匀半圆薄片对其直径解解: 建立坐标系如图, 0:222yayxDyxyIDxdd2Drrddsin23441a241aM半圆薄片的质量221aM 2212oxyDaa的转动惯量.机动 目录 上页 下页 返回 结束 )sinsincossin(222222rr解解: 取球心为原点, z 轴为 l 轴,:2222azyx则zIzyxyxddd)(22552aMa252dddsin2rr olzxy132220d球体的质量334aM dsin03rrad04例例7.7.求均匀球体对于过球心的一条轴 l 的转动惯量.设球 所占域为(用球坐标) 机动 目录 上页 下页 返回
11、结束 例例8. 计算半径为 R ,中心角为2的圆弧 L 对于它的对称轴的转动惯量I (设线密度 = 1). 解解: 建立坐标系如图,R xyoLsyILd2d)cos()sin(sin2222RRRdsin23 R0342sin22 R)cossin(3 R则 )(sincos:RyRxL机动 目录 上页 下页 返回 结束 222zyxr G 为引力常数五、物体的引力五、物体的引力设物体占有空间区域 ,，连续),(zyx物体对位于原点的单位质量质点的引力利用元素法,vrxzyxGFxd),(d3vryzyxGFyd),(d3vrzzyxGFzd),(d3在上积分即得各引力分量:其密度函数rzx
12、vdyFd引力元素在三坐标轴上的投影分别为),(zyxFFFF 机动 目录 上页 下页 返回 结束 vrxzyxGFxd),(3vryzyxGFyd),(3vrzzyxGFzd),(3对 xoy 面上的平面薄片D ,它对原点处的单位质量质点的引力分量为,d),(3DxxyxGFDyyyxGFd),(3)(22yx 机动 目录 上页 下页 返回 结束 aaR1122xyzoR例例9. 设面密度为 ,半径为R的圆形薄片求它对位于点解解: 由对称性知引力zFddaG,222Ryx)0(), 0 , 0(0aaMDzaGFaGaG2处的单位质量质点的引力. 2ddGdaR020da0M。, 0z),0
13、,0(zFF 23222)(dayx23222)(dayx2322)(darrr机动 目录 上页 下页 返回 结束 Rxyzo例例10. 求半径 R 的均匀球2222Rzyx对位于)(), 0 , 0(0RaaM的单位质量质点的引力.解解: 利用对称性知引力分量0yxFFzFRRzazGd)(vazyxazGd)(23222RRzazGd)(200232222)(ddzRazrrr点zDazyxyx23222)(dd0MazD机动 目录 上页 下页 返回 结束 RRzazd )(zFG222211azaRza200232222)(ddzRazrrrRRzazGd)(G2RRaza)(1222d
14、aazR2aMGR2343RM 为球的质量机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例11. 有一半圆弧cosRx ),0(其线密度 ,2解解:cosdd2RskFxdcos2Rksindd2RskFydsin2RkRRoxy0dcos2RkFx0dsin2RkFy0cossin2RkRk40sincos2RkRk2故所求引力为),(yx,sinRy 求它对原点处单位质量质点的引力. RkRkF2,4机动 目录 上页 下页 返回 结束 定义定义: 设有向量场kzyxRjzyxQizyxPzyxA),(),(),(),(其中P, Q, R 具有连续一阶偏导数, 是场内的一片有向 则称曲面, 其单位法
15、向量 n, SnAd为向量场 A 通过有向曲面 的通量通量(流量流量) .在场中点 M(x, y, z) 处 称为向量场 A 在点 M 的散度散度.记作AdivzRyQxP机动 目录 上页 下页 返回 结束 六、场论初步六、场论初步yxydd112例例12.12.求向量场解解: 记kzjy22zy )0(122zzyffnkzjzyA2穿过曲面 流向上侧的通量,其中 为柱面被平面10 xx及截下的有限部分.x122 zy1)0 , 1, 1 ( O)0 , 1 , 1 (zyn,),(22zyyxf则 上侧的法向量为kzjy在 上32zzyzzyz)(22nA故所求通量为SnAdSzdxyDy
16、212例例13.13.置于原点, 电量为 q 的点电荷产生的场强为rrqE3.divE求解解: 3ryy3rzz5223rxrq5223ryr 5223rzr03rxx),(3zyxrq)0(r计算结果与仅原点有点电荷的事实相符. )0(r qEdiv令 , 引进一个向量),(RQPA Arot)(),(),(yPxQxRzPzQyR记作向量 rot A 称为向量场 A 的RQPkjizyx称为向量场A定义定义: sAzRyQxPdddd沿有向闭曲线 的环流量环流量.旋度旋度 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 的外法向量,计算解解: ) 1,0,0(, 4:222zyx例例14. 设),3,2(2zxyA .dSnAIrotrot)cos,cos,(cosn为nSIdcos0ddddxyxyDDyxyxyxyxdddd下上zyxkjiAArotrot232zxy
