1、习题课一、一、 曲线积分的计算法曲线积分的计算法二、曲面积分的计算法二、曲面积分的计算法机动 目录 上页 下页 返回 结束 线面积分的计算 第11章 一、曲线积分的计算法一、曲线积分的计算法1. 基本方法曲线积分第一类 ( 对弧长 )第二类 ( 对坐标 )(1) 统一积分变量转化定积分用参数方程用直角坐标方程用极坐标方程(2) 确定积分上下限第一类: 下小上大第二类: 下始上终机动 目录 上页 下页 返回 结束 1.计算,d22syxL其中L为圆周.22xayx提示提示: 利用极坐标 ,)22(cos: arLdd22rrs原式 =sxaLd22dcos22aa22a说明说明: 若用参数方程计
2、算,:L)20( txaoyrda)cos1 (2txatyasin2t则tyxsdd22 tad2机动 目录 上页 下页 返回 结束 ttad)cos1 ( 2. 计算,dd)2(Lyxxya其中L为摆线, )sin(ttax)cos1 (tay上对应 t 从 0 到 2 的一段弧.提示提示:202dsinttta原式202sincosttta22 a)cos1 (tattattadsin)sin(yxxyadd)2(tttadsin2机动 目录 上页 下页 返回 结束 zoyx13. 计算其中由平面 y = z 截球面22yx 提示提示: 因在 上有,1222yx故:原式 = tttdsi
3、ncos2022221tttd)cos1 (cos42022221221432212162txcostysin21 sin21tz )20( t,dzzyx从 z 轴正向看沿逆时针方向.,12所得 z机动 目录 上页 下页 返回 结束 (1) 利用对称性及质心公式简化计算 ;(2) 利用积分与路径无关的等价条件;(3) 利用格林公式 (注意加辅助线的技巧加辅助线的技巧) ; (4) 利用斯托克斯公式 ;(5) 利用两类曲线积分的联系公式 .2. 基本技巧基本技巧机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例1. 计算,d)(22szyxI其中 为曲线02222zyxazyx解解: 利用轮换对称性 ,
4、 有szsysxddd222szsysxdddszyxszyxId)(31d)(322220d322sa334azoyx机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2. 计算,d)(d)(22LyxyxyxI其中L 是沿逆时针方向以原点为中心,CoyxABL解法解法1 令,22xyQyxP则xQ这说明积分与路径无关, 故yxyxyxIABd)(d)(22aaxx d2332a1yPa 为半径的上半圆周.机动 目录 上页 下页 返回 结束 解法解法2 ,BA它与L所围区域为D,CoyxABLDyxdd0yxyxyxBAd)(d)(22xxaad2D(利用格林公式)思考思考:(2) 若 L 同例2 ,
5、 如何计算下述积分:LyxyxyxId)(d) (2222yLyxyxyxId)(d)(2213332a(1) 若L 改为顺时针方向,如何计算下述积分:BALyxyxyxId)(d)(22则添加辅助线段机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考题解答思考题解答:LyxyxyxId)(d)(2213(1)ABABLDyxdd2)32(2aaLyxyxyxId)(d) (2222y(2)Lyxyxyxd)(d)(22Lxy d2ttadsin303,sin,cos:taytaxL332a13223 a32a0: t332aICoyxABLD机动 目录 上页 下页 返回 结束 ),(),(2yxfty
6、txtf证证: :把例例3. 设在上半平面0),(yyxD内函数),(yxf具有连续偏导数, 且对任意 t 0 都有证明对D内任意分段光滑的闭曲线L, 都有0d),(d),(yyxfxxyxfyL),(),(2yxftytxtf两边对t求导, 得:),(2),(),(321yxftytxtfyytxtfx得，令1t),(2),(),(21yxfyxfyyxfx),(),(yxfxQyxfyP再令则有0),(),(),(221yxfyyxfxyxfyPxQ，即yPxQ因此结论成立.(2006考研)DayLxOBA计算,d)2cose (d)2sin(eLxxyyxyyI其中L为上半圆周, 0,)
7、(222yayax提示提示: :2cose,2sineyQyyPxxyxQyyPxxcose, 2coseyxDdd202a沿逆时针方向.ABABLI1.用格林公式: 练习题练习题: :2 .设在右半平面 x 0 内, 力构成力场,其中k 为常数, ,22yx 证明在此力场中场力所作的功与所取的路径无关.提示提示:)dd(3yyxxkWL令33,ykQxkP易证53yxkyPxQ)0(x),(3yxkFF 沿右半平面内任意有向路径 L 所作的功为机动 目录 上页 下页 返回 结束 3.求力沿有向闭曲线 所作的功, 其中 为平面 x + y + z = 1 被三个坐标面所截成三提示提示: BAz
8、yxCozxyzxyWdddABzxyzxyddd3ABzxd310d)1 (3zz23方法方法1从 z 轴正向看去沿顺时针方向.利用对称性角形的整个边界,),(xzyF 机动 目录 上页 下页 返回 结束 设三角形区域为 , 方向向上, 则zxyzxyWdddzyxSd313131yzx1:zyxSd)3(31) 1, 1, 1 (31n方法方法2nBAzyxCo23yxDyxdd33利用斯托克斯公式利用斯托克斯公式机动 目录 上页 下页 返回 结束 DxzyO例例4.zyxyxzxzyILd)3(d)2(d)(222222设L 是平面与柱面1 yx的交线从 z 轴正向看去, L 为逆时针方
9、向, 计算 解解: 记 为平面2zyx上 L 所围部分的上侧, D为 在 xOy 面上的投影.I3131312zyx223yx Szyxd)324(3222zy 222xz SzyxdL由斯托克斯公式公式 Dyxyxdd)6(2D 的形心0 yxDyxdd1224SzyxId)324(32Dyxzyx),(, 2:1: yxDDxy11O二、曲面积分的计算法二、曲面积分的计算法1. 基本方法曲面积分第一类( 对面积 )第二类( 对坐标 )转化二重积分(1) 统一积分变量 代入曲面方程(2) 积分元素投影第一类: 始终非负第二类: 有向投影(3) 确定二重积分域 把曲面积分域投影到相关坐标面机动
10、 目录 上页 下页 返回 结束 思思 考考 题题1) 二重积分是哪一类积分? 答答: 第一类曲面积分的特例.2) 设曲面,),( ,0:Dyxz问下列等式是否成立?DyxyxfSzyxfdd)0 ,(d),( 不对不对 ! 对坐标的积分与 的侧有关 Dyxyxfyxzyxfdd)0 ,(dd),(机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 基本技巧基本技巧(1) 利用对称性及质心公式简化计算(2) 利用高斯公式注意公式使用条件添加辅助面的技巧(辅助面一般取平行坐标面的平面)(3) 两类曲面积分的转化机动 目录 上页 下页 返回 结束 zyxo练习练习:,ddddddyxzxzyzyx其中 为半球
11、面222yxRz的上侧.且取下侧 , 提示提示: 以半球底面0原式 =3323R032R0zyxddd30ddddddyxzxzyzyx记半球域为 ,高斯公式有计算为辅助面, 利用机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例5.证明证明: 设(常向量)则单位外法向向量, 试证Sdcoscoscoscoscoscos0vzyxd)cos()cos()cos(zyddcosxzddcosyxddcos设 为简单闭曲面, a 为任意固定向量, n 为的 . 0d)cos(Sa,nSa ,nd)cos(Sand0)cos,cos,(cosn)cos,cos,(cos0a机动 目录 上页 下页 返回 结束
12、例例6. 计算曲面积分yxrzxzryzyrxIdddddd333其中,222zyxr.:2222取外侧Rzyx解解:yxzxzyzyxRIdddddd13zyxRddd3134思考思考: 本题 改为椭球面1222222czbyax时, 应如何计算 ?提示提示: 在椭球面内作辅助小球面取2222zyx内侧, 然后用高斯公式 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 2121I例例7. 设 是曲面9) 1(16)2(5122yxz23222)(dddddzyxyxzxzyzyxId2221:yxz解解: 取足够小的正数 , 作曲面取下侧使其包在 内, 2为 xOy 平面上夹于之间的部分, 且取下侧 ,1与21取上侧, 计算, )0( z则Ozyx)2(133I2121Ivd01dddddd13yxzxzyzyx22322)(dd0yxyx2第二项添加辅助面, 再用高斯公式, 21Ozyx23222)(dddddzyxyxzxzyzyxId1zyxO注意曲面的方向 !得例例8. 计算曲面积分其,d2)(22SzyzyxI中 是球面.22222zxzyx解解: Szxd)22(32SzyxId )(222zyyx22Syzxd)(2Szxd)(20利用对称性用质心公式机动 目录 上页 下页 返回 结束
