1、第三节一、隐函数的导数一、隐函数的导数二、由参数方程确定的函数的导数二、由参数方程确定的函数的导数 三、相关变化率三、相关变化率 机动 目录 上页 下页 返回 结束 隐函数和参数方程求导 第二章 31xy一、隐函数的导数一、隐函数的导数若由方程0),(yxF可确定 y 是 x 的函数 ,由)(xfy 表示的函数 , 称为显函数显函数 .例如例如,013 yx可确定显函数03275xxyy可确定 y 是 x 的函数 ,但此隐函数不能显化 .函数为隐函数隐函数 .则称此隐函数求导方法求导方法: 0),(yxF0),(ddyxFx两边对 x 求导(含导数 的方程)y机动 目录 上页 下页 返回 结束
2、 例例1. 求由方程03275xxyy)(xyy 在 x = 0 处的导数.0ddxxy解解: 方程两边对 x 求导)32(dd75xxyyx得xyydd54xydd21621x025211dd46yxxy因 x = 0 时 y = 0 , 故210ddxxy0确定的隐函数机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2. 求椭圆191622yx在点)3,2(23处的切线方程.解解: 椭圆方程两边对 x 求导8xyy920y2323xyyx1692323xy43故切线方程为323y43)2( x即03843 yx机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例3. 求)0(sinxxyx的导数 . 解解:
3、两边取对数 , 化为隐式xxylnsinln两边对 x 求导yy1xx lncos xxsin)sinlncos(sinxxxxxyx机动 目录 上页 下页 返回 结束 1) 对幂指函数vuy 可用对数求导法求导 :uvylnlnyy1uv lnuvu)ln(uvuuvuyvvuuyvlnuuvv1说明说明: :按指数函数求导公式按幂函数求导公式注意注意:机动 目录 上页 下页 返回 结束 2) 有些显函数用对数求导法求导很方便 .例如例如,)1,0,0(babaaxxbbaybax两边取对数yln两边对 x 求导yybalnxaxb baxaxxbbaybalnxaxbbaxlnlnlnxb
4、alnlnaxb机动 目录 上页 下页 返回 结束 又如又如, )4)(3()2)(1(xxxxyuuu )ln(21lny对 x 求导21yy)4)(3()2)(1(21xxxxy41312111xxxx两边取对数2ln1lnxx4ln3lnxx11x21x31x41x机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、由参数方程确定的函数的导数二、由参数方程确定的函数的导数若参数方程)()(tytx可确定一个 y 与 x 之间的函数)(, )(tt可导, 且,0 )( )(22tt则0)( t时, 有xyddxttyddddtxtydd1dd)()(tt0)( t时, 有yxddyttxddddtyt
5、xdd1dd)()(tt(此时看成 x 是 y 的函数 )关系,机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例4. 抛射体运动轨迹的参数方程为 1tvx 求抛射体在时刻 t 的运动速度的大小和方向. 解解: 先求速度大小:速度的水平分量为,dd1vtx垂直分量为,dd2tgvty故抛射体速度大小22)dd()dd(tytxv2221)(gtvv再求速度方向(即轨迹的切线方向):设 为切线倾角,tanxyddtyddtxdd12vtgv 则yxo2212tgtvy机动 目录 上页 下页 返回 结束 抛射体轨迹的参数方程22121 tgtvytvx速度的水平分量,dd1vtx垂直分量,dd2tgvtyt
6、an12vt gv 在刚射出 (即 t = 0 )时, 倾角为12arctanvv达到最高点的时刻,2gvt 高度ygv2221落地时刻,22gvt 抛射最远距离xgvv212速度的方向yxo2vt g22vt g机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例5. 设由方程) 10(1sin 222yytttx确定函数, )(xyy 求.ddxy解解: 方程组两边对 t 求导 , 得故xydd)cos1)(1(ytttyddtxddt 2yttycos12dd22 tycostydd0) 1(2ddttxtyddtxdd机动 目录 上页 下页 返回 结束 三、相关变化率三、相关变化率)(, )(ty
7、ytxx为两可导函数yx ,之间有联系tytxdd,dd之间也有联系称为相关变化率相关变化率相关变化率问题解法:找出相关变量的关系式对 t 求导得相关变化率之间的关系式求出未知的相关变化率机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例6. 一气球从离开观察员500 m 处离地面铅直上升,其速率为,minm140当气球高度为 500 m 时, 观察员视线的仰角增加率是多少? 500h解解: 设气球上升 t 分后其高度为h , 仰角为 ,则tan500h两边对 t 求导2sectddthdd5001已知,minm140ddth h = 500m 时,1tan22tan1sec,2sec2tdd14050
8、012114. 0)minrad/(机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考题思考题: 当气球升至500 m 时停住 , 有一观测者以100 mmin 的速率向气球出发点走来,当距离为500 m 时, 仰角的增加率是多少 ?提示提示: tanx500对 t 求导2sectddtxxdd5002已知,minm100ddtx.ddtx500,m500 x求机动 目录 上页 下页 返回 结束 试求当容器内水Rhxhr例例7. 有一底半径为 R cm , 高为 h cm 的圆锥容器 ,今以 自顶部向容器内注水 ,scm253位等于锥高的一半时水面上升的速度.解解: 设时刻 t 容器内水面高度为 x ,
9、 水的VhR231)(231xhrxrh)(33322xhhhR两边对 t 求导tVdd22hR2)(xh,ddtx而,)(25222xhRh,2时当hx hxhRr故txdd) scm(25dd3tV) scm(100dd2Rtx体积为 V , 则R机动 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结1. 隐函数求导法则直接对方程两边求导2. 对数求导法 :适用于幂指函数及某些用连乘,连除表示的函数3. 参数方程求导法极坐标方程求导(例见下页)4. 相关变化率问题列出依赖于 t 的相关变量关系式对 t 求导相关变化率之间的关系式转化转化机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习
10、1. 求螺线r在对应于的点处的切线方程.解解: 化为参数方程sincosryrxcossinxyddddyddxcossinsincos当时对应点斜率xykdd222, ),0(2M 切线方程为22xy2机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 设,)2(2)(sin32lntanxxxxxyxx求.y1y2y提示提示: 分别用对数求导法求.,21yy答案答案: :21yyy) 1sinln(sec)(sin2tanxxxx32ln)2(31xxxx)2(32)2(3ln21xxxxx机动 目录 上页 下页 返回 结束 求其反函数的导数 .,xexy解解:xyddyxdd方法方法1xe1y1xe11方法方法2 等式两边同时对 求导y1yxddxeyxddyxdd备用题备用题xe111. 设机动 目录 上页 下页 返回 结束 , 求01sin232ytettxy.dd0txy解解： txddyetydd0ddtxy2. 设方程组两边同时对 t 求导, 得26 ttyddtsin0ddtyteycosteteyysin1costxtydddd0)26)(sin1 (costyyttete2e0t机动 目录 上页 下页 返回 结束
