1、 第四章第四章 地球椭球数学投影的基本理论地球椭球数学投影的基本理论 4.1地球椭球基本参数及其互相关系地球椭球基本参数及其互相关系 4.2 椭球面上常用坐标系及其关系椭球面上常用坐标系及其关系 4.3 椭球面上的几种曲率半径椭球面上的几种曲率半径 4.4 椭球面上的弧长计算椭球面上的弧长计算 4.5 大地线大地线 4.6 将地面观测值归算至椭球面将地面观测值归算至椭球面 4.7 大地测量主题解算概述大地测量主题解算概述 4.8 地图数学投影变换的基本概念地图数学投影变换的基本概念 4.9 高斯平面直角坐标系高斯平面直角坐标系 4.10 横轴墨卡托投影和高斯投影簇的概念横轴墨卡托投影和高斯投影
2、簇的概念 4.11 兰勃脱投影概述兰勃脱投影概述本章的主要内容本章的主要内容4.1地球椭球基本参数及其互相关系地球椭球基本参数及其互相关系 地球椭球是选择的旋转椭球地球椭球是选择的旋转椭球, ,旋转椭球的形状和大小常用子午旋转椭球的形状和大小常用子午椭圆的五个基本几何参数椭圆的五个基本几何参数( (或称元素或称元素):): 半轴半轴 短半轴短半轴椭圆的扁率椭圆的扁率椭圆的第一偏心率椭圆的第一偏心率椭圆的第二偏心率椭圆的第二偏心率 通常用通常用a , aba abae22bbae22ee 为简化书写，还常引入以下符号为简化书写，还常引入以下符号2222, tan , cosactBeBbBeVB
3、eW2222cos1sin1221,11,11,11,12222222222eeVWeWVeeeeeeecaeaceabeba222222222221( )1( )1sin(1)1(1 )bWeVVaaVeWWbWeBe VVeW 椭球基本参数及其互相关系椭球基本参数及其互相关系 则其它元素与基本元素的关系：则其它元素与基本元素的关系：4.2 椭球面上常用坐标系及其关系椭球面上常用坐标系及其关系4.2.1 各种坐标系的建立各种坐标系的建立1、大地坐标系、大地坐标系大地经度大地经度B 大地纬度大地纬度L 大地高大地高H 常用坐标系及其关系常用坐标系及其关系2、空间直角坐标系空间直角坐标系 坐标原
4、点坐标原点位于总地球椭球位于总地球椭球( (或参考椭球或参考椭球) )质心；质心；Z Z轴轴与地球平均自转与地球平均自转轴相重合，亦即指向某一时刻的平均北极点；轴相重合，亦即指向某一时刻的平均北极点；X X轴轴指向平均自转轴与平指向平均自转轴与平均格林尼治天文台所决定的子午面与赤道面的交点均格林尼治天文台所决定的子午面与赤道面的交点G G；Y Y轴轴与此平面垂直与此平面垂直，且指向东为正。，且指向东为正。 地心空间直角系与参心空间直角坐标系之分地心空间直角系与参心空间直角坐标系之分。 常用坐标系及其关系常用坐标系及其关系3、子午面直角坐标系子午面直角坐标系 设设P点的大地经度为点的大地经度为L
5、，在过在过P点的子午面上，以子午圈椭点的子午面上，以子午圈椭圆中心为原点，建立圆中心为原点，建立x, y平面直角坐标系。在该坐标系中，平面直角坐标系。在该坐标系中，P点点的位置用的位置用L, x, y表示。表示。 常用坐标系及其关系常用坐标系及其关系4、地心纬度坐标系及归化纬度坐标系、地心纬度坐标系及归化纬度坐标系 设椭球面上设椭球面上P点的大地经度点的大地经度L，在此子午面上以椭圆中心在此子午面上以椭圆中心O为原为原点建立点建立地心纬度坐标系地心纬度坐标系，椭球上点与椭球中心的连线和，椭球上点与椭球中心的连线和X轴的夹角轴的夹角为地心纬度，点的位置以为地心纬度，点的位置以 表示表示 ; 以椭
6、球长半径以椭球长半径a为半径为半径作辅助圆，延长作辅助圆，延长与辅助圆相交与辅助圆相交点，则点，则OP与与x轴夹角称为轴夹角称为P点的点的归化纬度归化纬度u，点的位置以，点的位置以 表示。表示。、L常用坐标系及其关系常用坐标系及其关系、LuL、常用坐标系及其关系常用坐标系及其关系5 5、大地极坐标系、大地极坐标系 M是椭球面上一点，是椭球面上一点，MN是过是过M的子午线，的子午线，S为连接为连接MP的大地的大地线长，线长，A为大地线在为大地线在M点的方位角。点的方位角。 以以M为极点；为极点； MN为极轴；为极轴； P点极坐标为（点极坐标为（S, A)常用坐标系及其关系常用坐标系及其关系4.2
7、.2 坐标系之间的相互关系坐标系之间的相互关系 子午平面坐标系同大地坐标系的关系 22221(1)xy abyxabdxdy22222c(1) (2)bxxtgBeayyBexytan)1(2WBaBeBaxcossin1cos22ctgBBdxdy)90tan(0常用坐标系及其关系常用坐标系及其关系 令令: pn=NVBbBeWaBeBeaysinsin)1 (sin1sin)1 (2222cosxNBWaNBeNysin)1 (2BPQysin)1 (2eNPQ2NeQn WBaBeBaxcossin1cos22常用坐标系及其关系常用坐标系及其关系cos, sin, XxLYxLZyl空间
8、直角坐标同子午面直角坐标系的关系空间直角坐标同子午面直角坐标系的关系常用坐标系及其关系常用坐标系及其关系 2coscoscossincossin(1)sinXxLNBLYxLNBLZyNeBBHeNLBHNLBHNZYXsin)1 (sincos)(coscos)(2nH0l空间直角坐标系同大地坐标系空间直角坐标系同大地坐标系在椭球面上的点：在椭球面上的点：不在椭球面上的点：不在椭球面上的点：常用坐标系及其关系常用坐标系及其关系2222arccosarcsinarctanYXXLYXYLXYL222sintanYXBNeZBNBYXHcos222(1)sinzHNeB l由空间直角坐标计算相应
9、大地坐标由空间直角坐标计算相应大地坐标 B、u、 之间的关系之间的关系 B和u之间的关系 2cos,sinsincos ,(1) sinxau ybuaabBxByeBWWVBWeusin1sin2BWucos1cosuVBsinsinuWBcoscos常用坐标系及其关系常用坐标系及其关系uexytan12xytanue tan1tan2Betan)1 (tan28.11)(9.5)(9.5)(maxmaxmaxBuuB uB常用坐标系及其关系常用坐标系及其关系n U、之间的关系之间的关系n 、之间的关系之间的关系n 大地纬度、地心纬度、归化纬度之间的差异很小，经大地纬度、地心纬度、归化纬度之
10、间的差异很小，经过计算，当过计算，当B=45时时4.3 椭球面上的几种曲率半径椭球面上的几种曲率半径 过椭球面上任意一点可作一条垂直于椭球面的法线，包含这过椭球面上任意一点可作一条垂直于椭球面的法线，包含这条法线的平面叫作条法线的平面叫作 法截面法截面，法截面与椭球面的交线叫，法截面与椭球面的交线叫法截线法截线。 子午圈曲率半径子午圈曲率半径dBdSMBdxdSsinBdBdxMsin1WBaxcos2cossinWdBdWBBWadBdxWBBedBBeddBdWcossinsin1222)1 (sin23eWBadBdx椭球面上几种曲率半径椭球面上几种曲率半径23(1)aeMW3VcM 椭
11、球面上几种曲率半径椭球面上几种曲率半径 卯酉圈曲率半径(N) 卯酉圈卯酉圈: :过椭球面上一点的法线，可作无限个法截面，其中一个过椭球面上一点的法线，可作无限个法截面，其中一个与该点子午面相垂直的法截面同椭球面相截形成的闭合的圈称与该点子午面相垂直的法截面同椭球面相截形成的闭合的圈称为卯酉圈。为卯酉圈。 麦尼尔定理麦尼尔定理: : 假设通过曲面上一点引两条截弧，一为法截弧，一为斜截弧，假设通过曲面上一点引两条截弧，一为法截弧，一为斜截弧，且在该点上这两条截弧具有公共切线，这时斜截弧在该点处的且在该点上这两条截弧具有公共切线，这时斜截弧在该点处的曲率半径等于法截弧的曲率半径乘以两截弧平面夹角的余
12、弦曲率半径等于法截弧的曲率半径乘以两截弧平面夹角的余弦。BNrcos椭球面上几种曲率半径椭球面上几种曲率半径WBarxcosWaN BrBPONPncoscos 卯酉圈曲率半径的特点卯酉圈曲率半径的特点: : 卯酉圈曲率半径恰好等于法线介于椭球面和短轴之间的长度，亦卯酉圈曲率半径恰好等于法线介于椭球面和短轴之间的长度，亦即卯酉圈的曲率即卯酉圈的曲率中心位在椭球的旋转轴上。中心位在椭球的旋转轴上。 椭球面上几种曲率半径椭球面上几种曲率半径主曲率半径的计算主曲率半径的计算 以上讨论的子午圈曲率半径以上讨论的子午圈曲率半径M M及卯酉圈曲率半径及卯酉圈曲率半径N N，是两个互相是两个互相垂直的法截弧
13、的曲率半径，这在微分几何中统称为主曲率半径。垂直的法截弧的曲率半径，这在微分几何中统称为主曲率半径。 23222)sin1)(1 (BeeaM2122)sin1 (BeaNBmBmBmBmmM886644220sinsinsinsinBnBnBnBnnN886644220sinsinsinsin椭球面上几种曲率半径椭球面上几种曲率半径6284262240222089674523)1 (memmemmemmemeam628426224022087654321nennennennenan椭球面上几种曲率半径椭球面上几种曲率半径2322)cos1(BecM2122)cos1 (BecNBmBmBmB
14、mmM886644220coscoscoscosBnBnBnBnnN886644220coscoscoscos椭球面上几种曲率半径椭球面上几种曲率半径1011) (89674523)1 (/821062842622402220memmemmemmemmemeacm109) (876543211/821062842622402220nennennennenneneacn 任意法截弧的曲率半径任意法截弧的曲率半径 NAMARA22sincos1AMANMNRA22sincos21VMNABeNANRA2222coscos1cos1)coscos1 (4422AANRA椭球面上几种曲率半径椭球面上几
15、种曲率半径 任意法截弧的曲率半径的变化规律任意法截弧的曲率半径的变化规律: : 不仅与点的纬度不仅与点的纬度B有关，而且还与过该点的法截弧的方位角有关，而且还与过该点的法截弧的方位角A有关。当时，变为计算子午圈曲率半径的，即有关。当时，变为计算子午圈曲率半径的，即；当；当90时，为卯酉圈曲率半径，即时，为卯酉圈曲率半径，即。主曲。主曲率半径率半径M及及N分别是分别是的极小值和极大值。的极小值和极大值。 当当A由由090时，时，之值由之值由，当，当A由由0180时时, ,值由值由N，可见，可见值的变化是以值的变化是以90为周期且与子午为周期且与子午圈和卯酉圈对称的。圈和卯酉圈对称的。 MNR 椭
16、球面上几种曲率半径椭球面上几种曲率半径l 平均曲率半径平均曲率半径 椭球面上任意一点的平均曲率半径椭球面上任意一点的平均曲率半径 R R 等于该点子午圈曲率半径等于该点子午圈曲率半径M M和卯酉圈曲率半径和卯酉圈曲率半径N N的几何平均值。的几何平均值。 22221 eWaVNVcWbR M，N，R的关系 MRNcMRN909090椭球面上几种曲率半径椭球面上几种曲率半径4.4 椭球面上的弧长计算椭球面上的弧长计算 子午线弧长计算公式子午线弧长计算公式 MdBdx BMdBX0BmBmBmBmmM886644220sinsinsinsin椭球面上的弧长计算椭球面上的弧长计算BBBBBBBBBB
17、BBBB8cos12816cos1614cos3272cos16712835sin6cos3214cos1632cos3215165sin4cos812cos2183sin2cos2121sin8642BaBaBaBaaM8cos6cos4cos2cos86420BaBaBaBaBaX8sin86sin64sin42sin28642012816323271638167321522128351653288866864486422864200mammammmammmmammbmmma椭球面上几种曲率半径椭球面上几种曲率半径如果以如果以B B9090代入，则得子午椭圆在一个象限内的弧长约为代入，则得
18、子午椭圆在一个象限内的弧长约为10 10 002 137002 137m m。旋转椭球的子午圈的整个弧长约为旋转椭球的子午圈的整个弧长约为40 008 549.99540 008 549.995m m。即一象限子午线弧长约为即一象限子午线弧长约为10 00010 000kmkm，地球周长约为地球周长约为40 00040 000kmkm。为求子午线上两个纬度为求子午线上两个纬度B及间的弧长，只需分别算出相应及间的弧长，只需分别算出相应的的X及及X，而后取差：而后取差：，该，该即为所求的弧即为所求的弧长。长。当弧长甚短当弧长甚短( (例如例如X40kmX40km，计算精度到计算精度到0.0010.
19、001m)m)，可视子午弧为圆可视子午弧为圆弧，而圆的半径为该圆弧上平均纬度点的子午圈的曲率半径弧，而圆的半径为该圆弧上平均纬度点的子午圈的曲率半径M M 椭球面上的弧长计算椭球面上的弧长计算 由子午弧长求大地纬度由子午弧长求大地纬度 迭代解法迭代解法: : 平行圈弧长公式平行圈弧长公式 01/ aXBf01/)(aBFXBifififififififBaBaBaBaBF8sin86sin64sin42sin2)(8642cos1lblBNS椭球面上的弧长计算椭球面上的弧长计算椭球面上的弧长计算椭球面上的弧长计算 子午线弧长和平行圈弧长变化的比较子午线弧长和平行圈弧长变化的比较4.5 大地线大
20、地线 两点间的最短距离，在平面上是两点间的直线，在球面上是两两点间的最短距离，在平面上是两点间的直线，在球面上是两点间的大圆弧，那么在椭球面上又是怎样的一条线呢点间的大圆弧，那么在椭球面上又是怎样的一条线呢? ? 它应是大它应是大地线。地线。 相对法截线相对法截线 2211sinsinBnQOnBnQOnbbaa222121sinsinBeNOnBeNOnba 相对法截线相对法截线 大地线大地线 相对法截线的特点相对法截线的特点: : 当当A，B两点位于同一子午圈或同一平行圈上时，正反法截线则两点位于同一子午圈或同一平行圈上时，正反法截线则合二为一。合二为一。 在通常情况下，正反法截线是不重合
21、的。因此在椭球面上在通常情况下，正反法截线是不重合的。因此在椭球面上A，B，C三个点处所测得的角度三个点处所测得的角度(各点上正法截线之夹角各点上正法截线之夹角)将不能构成闭将不能构成闭合三角形。为了克服这个矛盾，在两点间另选一条单一的大地线合三角形。为了克服这个矛盾，在两点间另选一条单一的大地线代替相对法截线，从而得到由大地线构成的单一的三角形。代替相对法截线，从而得到由大地线构成的单一的三角形。 大地线大地线大地线的定义和性质大地线的定义和性质椭球面上两点间的最短程曲线叫大地线椭球面上两点间的最短程曲线叫大地线。 大地线的性质大地线的性质: :大地线是两点间惟一最短线，而且位于相对法截线之
22、间，并靠近大地线是两点间惟一最短线，而且位于相对法截线之间，并靠近正法截线，它与正法截线间的夹角正法截线，它与正法截线间的夹角 在椭球面上进行测量计算时，应当以两点间的大地线为依据。在在椭球面上进行测量计算时，应当以两点间的大地线为依据。在地面上测得的方向、距离等，应当归算成相应大地线的方向、距地面上测得的方向、距离等，应当归算成相应大地线的方向、距离。离。长度差异可忽略长度差异可忽略, ,方向差异需改化。方向差异需改化。 31大地线大地线 大地线的微分方程和克莱劳方程大地线的微分方程和克莱劳方程 大地线的微分方程大地线的微分方程AdSMdBcosdSMAdBcosAdSBdLNsincosd
23、SBNAdLcossin)sin(sinsindBBdLdABdLdAsinBdSNAdAtansincos(90)sinsin(90(90)dAdLBdB大地线的微分方程大地线的微分方程dSMAdBcosBNBdBMAAdAcossincossincossinrNB MBdBdrCrAlnlnsinlnCAr sinBdSNAdAtansin大地线的微分方程大地线的克莱劳方程大地线的克莱劳方程 在旋转椭球面上，大地线各点的平行圈半径与大地线在该点在旋转椭球面上，大地线各点的平行圈半径与大地线在该点的大地方位角的正弦的乘积等于常数。式中常数的大地方位角的正弦的乘积等于常数。式中常数C也叫大地线
24、常也叫大地线常数数 . 当大地线穿越赤道时当大地线穿越赤道时当大地线达极小平行圈时当大地线达极小平行圈时由克莱劳方程可以写出由克莱劳方程可以写出 0sin AaC 0090sinrrC2112sinsinAArrCABNsincosCAuasincos4.6 将地面观测值归算至椭球面将地面观测值归算至椭球面 观测的基准线不是各点相应的椭球面的法线，而是各点的垂线，观测的基准线不是各点相应的椭球面的法线，而是各点的垂线，各点的垂线与法线存在着垂线偏差。各点的垂线与法线存在着垂线偏差。 归算的两条基本要求：归算的两条基本要求： 以椭球面的法线为基准；以椭球面的法线为基准； 将地面观测元素化为椭球面
25、上大地线的相应元素将地面观测元素化为椭球面上大地线的相应元素。 将地面观测的水平方向归算至椭球面将地面观测的水平方向归算至椭球面 将水平方向归算至椭球面上，包括垂线偏差改正、标高差改正将水平方向归算至椭球面上，包括垂线偏差改正、标高差改正及截面差改正，习惯上称此三项改正为及截面差改正，习惯上称此三项改正为三差改正三差改正。 垂线偏差改正垂线偏差改正 以测站以测站A为中心作出单位半径的辅助球为中心作出单位半径的辅助球, ,u是垂线偏差，它在子午是垂线偏差，它在子午圈和卯酉圈上的分量分别以圈和卯酉圈上的分量分别以,表示，表示，M是地面观测目标是地面观测目标m在球在球面上的投影。垂线偏差对水平方向的
26、影响是面上的投影。垂线偏差对水平方向的影响是(R-R1) 11tan)cossin(cot)cossin(mmmmuAAZAA地面观测值归算至椭球面 标高差改正 222212cossin 22heHBAMaHH常2地面观测值归算至椭球面 截面差改正截面差改正 2222111()cossin 212geSBAN 地面观测值归算至椭球面 将地面观测的长度归算至椭球面将地面观测的长度归算至椭球面 -基线尺量距的归算基线尺量距的归算 将基线尺量取的长度加上测段倾斜改正后，可以认为它是基线平将基线尺量取的长度加上测段倾斜改正后，可以认为它是基线平均高程面上的长度，以均高程面上的长度，以表示，现要把它归算
27、至参考椭球面上的大表示，现要把它归算至参考椭球面上的大地线长度地线长度S。 1. 1.垂线偏差对长度归算的影响垂线偏差对长度归算的影响 )(22122121HHuuhuuSu地面观测值归算至椭球面2.高程对长度归算的影响高程对长度归算的影响 RHRHRSSmm10101RHSSm2201RHRHSSmm2200RHSRHSSmmH)(21122110HHuuRHSSm地面观测值归算至椭球面-电磁波测距的归算电磁波测距的归算 12212coscos1ABeNRA)( 2)()(cos2122221HRHRDHRHRAAAAAARSRS2sin21coscos2)(4)(2sin1221222HRHRHHDRSAAA地面观测值归算至椭球面)1)(1()(1arcsin221212AAAARHRHDHHRDRS232121224)1)(1 ()(1AAARDRHRHDHHDS232242AAmRDRHDDhDS2322241AAmRDRHhDS)1)(1()(121212AARHRHDHHDd地面观测值归算至椭球面
