1、 第九章 第七节第七节一、方向导数一、方向导数 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、梯度二、梯度 三、场三、场 方向导数与梯度方向导数与梯度一、方向导数一、方向导数定义定义: 若函数),(zyxftPfPftft)()(lim0则称lf),(000zyxlfl),(000zyxPt为函数在点 P 处沿方向 l 的方向导数方向导数.tzyxftztytxft),()cos,cos,cos(lim0000000在点 ),(000zyxP 处沿方向 l (方向角为, ) 存在下列极限: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 记作记作 )cos,cos,cos(000tztytxPP)cos,cos
2、,(cosle,),(),(处可微在点若函数zyxPzyxf),(zyxPl定理定理:则函数在该点沿任意方向沿任意方向 l 的方向导数存在 ,tflft0limcoscoscoszfyfxflf.,的方向角为其中l证明证明: 由函数),(zyxf)(ozzfyyfxxff tcoscoscoszfyfxf且有)(to在点 P 可微 , 得机动 目录 上页 下页 返回 结束 tP故coscoscoszfyfxf机动 目录 上页 下页 返回 结束 对于二元函数, ),(yxf为, ) 的方向导数为方处沿方向在点(),(lyxPtyxftytxflft),()cos,cos(lim0cos),(co
3、s),(yxfyxfyxPlxyoxflf特别特别: : 当 l 与 x 轴同向有时,2,0 当 l 与 x 轴反向有时,2,xflfl向角例例1. 求函数 在点 P(1, 1, 1) 沿向量zyxu2, 1,2(l3) 的方向导数 .,142cosPlu) 1, 1, 1 (146,141cos143cos1422zyx1412zx1432yx机动 目录 上页 下页 返回 结束 解解: 向量 l 的方向余弦为例例2. 求函数 在点P(2, 3)沿曲线223yyxz12 xy切线朝 x 增大方向的方向导数.解解:将已知曲线用参数方程表示为2)2, 1 (xxPlz它在点 P 的切向量为,171
4、cos1760 xoy2P1 2xyxx1716xy174)23(2yx)3,2()4, 1 (174cos1机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、梯度二、梯度 方向导数公式coscoscoszfyfxflf令向量这说明方向：f 变化率最大的方向模 : f 的最大变化率之值方向导数取最大值：机动 目录 上页 下页 返回 结束 zfyfxfG,)cos,cos,(cos0l),cos(0lGG)1(0l0lGlf,0方向一致时与当Gl:GGlfmax1. 定义定义),(Pfadrg即)()(PfPfadrg同样可定义二元函数),(yxf),(yxP),(, ),(),(yxfyxfyxffyx
5、grad称为函数 f (P) 在点 P 处的梯度)(, )(, )(PfPfPfzyx记作(gradient),在点处的梯度 G说明说明: 函数的方向导数为梯度在该方向上的投影:向量),(Pf或其中zyx,称为向量微分算子向量微分算子或 Nabla算子算子.leflfgradgrad( 为方向l 上的单位向量)lezfyfxfG,2. 2. 梯度的几何意义梯度的几何意义Oyx1cf 2cf )(321ccc设P面上的投影在曲线xOyczyxfz),(cyxfL),(:*称为函数 f 的等值线等值线或等高线等高线 . ,不同时为零设yxff则L*上点P 处的法向量为 Pyxff),(Pfgrad
6、grad3cf , ),(yxfz 对函数函数在一点的梯度垂直于该点等值线,指向函数增大的方向.同样, ),(zyxfu 的等值面(等量面). czyxf),(当其各偏导数不同其上点 P 处的法向量为Pfgradgrad称为时为零时, Pf.Pf3. 梯度的基本运算公式梯度的基本运算公式0grad(1)CuCuCgrad)(grad(2)vuvugradgrad)(grad(3)uvvuvugradgrad)(grad(4)uufufgrad)()(grad(5)机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例3.,)(可导设rf),(222zyxPzyxr为点其中证证:xrf)()(rf yrf)(
7、)( gradrf)(1)(kzjyixrrfrrrf1)( rzrfzrf)()(0)(rrfjyrf)(kzrf)(xrrf)(222zyxxPxozy,)(ryrf ixrf)(试证rxrf)( 机动 目录 上页 下页 返回 结束 .)()(radg0rrfrf处矢径 r 的模 ,r三、场三、场函数(物理量的分布)数量场数量场 (数量值函数 )场向量场向量场(向量值函数)可微函数)(Pf梯度场梯度场)(gradPf( 势 )如: 温度场, 电位场等如: 力场,速度场等(向量场) 注意注意: 任意一个向量场不一定是梯度场.机动 目录 上页 下页 返回 结束 )(Pf例例4. 已知位于坐标原
8、点的点电荷 q 在任意点),(4222zyxrrqu),(zyxP试证证证: 利用例3的结果 处所产生的电位为机动 目录 上页 下页 返回 结束 Eugrad)4(02rrqE 场强04gradrrqu024rrqE0)()(gradrrfrf内容小结内容小结1. 方向导数方向导数 三元函数 ),(zyxf在点),(zyxP沿方向 l (方向角),为的方向导数为coscoscoszfyfxflf 二元函数 ),(yxf在点),(yxP),的方向导数为coscosyfxflf沿方向 l (方向角为yfxfcossin机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 梯度梯度 三元函数 ),(zyxf在点
9、),(zyxP处的梯度为zfyfxff,grad 二元函数 ),(yxf在点),(yxP处的梯度为),(, ),(gradyxfyxffyx3. 关系关系方向导数存在偏导数存在 可微机动 目录 上页 下页 返回 结束 0gradlflf梯度在方向 l 上的投影.1.函数)ln(222zyxu在点)2,2, 1 (M处的梯度Mugrad)2, 2, 1 (,gradzuyuxuuM解解:,222zyxr令则xu21rx2注意 x , y , z 具有轮换对称性)2, 2, 1 (2222,2,2rzryrx)2,2, 1 (92)2,2, 1 (92(92考研考研)机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习指向 B( 3, 2 , 2) 方向的方向导数是 .在点A( 1 , 0 , 1) 处沿点Axd d2. 函数)ln(22zyxu提示提示:31,32,32则cos,cos,cosAxu) 1ln( x1x,21yd dAyu) 11ln(2y0y,0(96考研考研)机动 目录 上页 下页 返回 结束 , ) 1 ,2,2(AB0ABl 2121Azucoscoscoszuyuxulu21
