1、第三节(1)机动 目录 上页 下页 返回 结束 偏导数概念及其计算偏导数概念及其计算偏 导 数 第九章 定义定义1.),(yxfz 在点), (), (lim000yfyfx存在,xyxyxfz对在点),(),(00的偏导数，记为;),(00yxxz),(00yx的某邻域内有;),(00yxxfxx00 x则称此极限为函数定义，如果极限设函数)(0 xf)()(00 xfxxfx0limxx; ),(00yxfx;),(00yxxz0ddxxxy. ),(001yxf 机动 目录 上页 下页 返回 结束 xyxfyxxfx),(),(lim000000),(dd0 xxyxfx),(00yxf
2、x注意注意:偏导数定义及其计算法偏导数定义及其计算法0),(dd0yyyxfy同样可定义对 y 的偏导数 lim0y),(00yxfy若函数 z = f ( x , y ) 在域 D 内每一点 ( x , y ) 处对 x,xzxfxz则该偏导数称为偏导函数, 也简称为偏导数偏导数 ,),(, ),(1yxfyxfx),(, ),(2yxfyxfy) ,(0 xf),(0 xfy记为yy00y机动 目录 上页 下页 返回 结束 或 y 偏导数存在 ,yzyfyz),(zyxfx例如例如, 三元函数 u = f (x , y , z) 在点 (x , y , z) 处对 x 的偏导数的概念可以推
3、广到二元以上的函数 . lim0 x), (zyf),(zyfxxx?),(zyxfy?),(zyxfzx机动 目录 上页 下页 返回 结束 偏导数定义为(请自己写出)00),(dd00 xxyxfxxfxxyy00),(dd00yyyxfyyfxxyy的斜率.yxz0 xyToxT0y0M0),(yyyxfz在点 处的切线是曲线0MxTM0对 轴的斜率.x是曲线对 轴0),(xxyxfzyTM0在点 处的切线0My二元函数偏导数的几何意义二元函数偏导数的几何意义:机动 目录 上页 下页 返回 结束 函数在某点各偏导数都存在,显然例如例如, ,0,00,),(222222yxyxyxyxyxf
4、z0)0,(dd)0, 0(xxfxfx0), 0(dd)0, 0(yyfyfy00注意：注意：但在该点不一定连续不一定连续.上节例 目录 上页 下页 返回 结束 在上节已证 f (x , y) 在点(0 , 0)并不连续!由偏导数得定义容易看出，要求多元函数关于某一变量得偏导数，只需将其余变量看作常数，对该变量用一元函数求偏导得方法即可！机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例1 . 求223yyxxz解法解法1:xz)2, 1 (xz解法解法2:) 2, 1(xz在点(1 , 2) 处的偏导数.) 2, 1(yz,32yx yzyx23 ,82312)2, 1 (yz72213462xx1
5、)62(xx81xz231yy 2)23(yy72yz机动 目录 上页 下页 返回 结束 先求后代先代后求例例2. 设，）且1, 0(xxxzyzyzxxzyx2ln1 证证:xzyzxxzyxln1 yyxx yz求证,1yxyxxylnz2机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例3. 求222zyxr的偏导数 . 解解:xryr2222zyxx2rxrzzr,ry机动 目录 上页 下页 返回 结束 偏导数记号是一个例例4. 已知理想气体的状态方程求证:1pTTVVpTRVp证证:,VTRp ,pTRV ,RVpT pTTVVp(R 为常数) , Vp2VTRTVpRpTRVVpTR1不能看
6、作分子与分母的商 !：此例表明机动 目录 上页 下页 返回 结束 整体记号,内容小结内容小结1. 偏导数的概念及有关结论 定义; 记号; 几何意义 函数在一点偏导数存在函数在此点连续2. 偏导数的计算方法 求一点处偏导数的方法先代后求先求后代利用定义机动 目录 上页 下页 返回 结束 ,)(xuuf备用题备用题 设, )(ufz 方程)(uuxytdtp )(确定 u 是 x , y 的函数 ,)(, )(可微其中uuf)(),(utp连续, 且, 1)( u求.)()(yzxpxzyp解解:xzyuufyz)(xuuxu)()(xpyuuyu)()(ypxu)(1)(uxpyu)(1)(uyp)(uf yzxpxzyp)()(yuxpxuyp)()(0机动 目录 上页 下页 返回 结束
