1、误差理论与测量平差基础孙海燕武汉大学测绘学院第四章 测量平差数学模型与最小二乘原理 武汉大学测绘学院 孙海燕第一节 测量平差概述一、平差问题中的量例：如图，与三角形有关的量有 1）三个内角（3） 2）三条边（3） 3）三个点的坐标（6） 4）三条边的正、反方位角（6）1、涉及到的量的真值之间有函数关系（三角形内角和， 正、余弦定理，坐标与距离，坐标与方位角）2、确定该问题不需要给出全部量（必要元素）合计：18个量),(AAyx),(BByx),(CCyxACCA第四章 测量平差数学模型与最小二乘原理 武汉大学测绘学院 孙海燕二、必要元素确定平差问题所需要的最少的量 必要元素的个数与类型必要元素
2、必要观测（个数记为 ）起算数据t多余观测数A2t0tnrBC例：1）确定三角形ABC的形状： 2）确定三角形ABC的形状与大小： 至少含一个边的长度3t第四章 测量平差数学模型与最小二乘原理 武汉大学测绘学院 孙海燕一点坐标、一边的方位、一条边长（或两点坐标）（1）起算数据个数为4t必要观测数例：3）确定三角形ABC的形状、 大小与位置（测角）：2t),(AAyx),(BByx),(CCyxACCA一点坐标、一边的方位（2）起算数据个数为3（测边或边与角）必要观测数3t（至少含一个边长观测值）量的类型第四章 测量平差数学模型与最小二乘原理 武汉大学测绘学院 孙海燕必要元素是确定平差问题所需要的
3、最少的量含义：1）必要观测是函数独立的 2）在必要观测数的基础上每增加一 个量，就会产生一个方程例：观测三个内角，把观测值代入得：ABC1L2L3L2t123tnr0180321LLL0180332211LLL321321180LLLw或1230w 第三章 协方差传播律及权 武汉大学测绘学院 孙海燕设 ，必有（ 多余观测数） 而需要对观测值进行修正，称 为观测值的平差值0tnr), 2 , 1(0),(21riLLLfniiiiVLL), 2 , 1(niVi), 2 , 1(0),(21riLLLfwnii称为改正数，显然修正后应有), 2 , 1(0),(21riLLLfni平差的任务之一
4、：求观测值的改正数 目的：消除观测值之间的矛盾平差的函数模型：), 2 , 1(0),(21riLLLfnir第四章 测量平差数学模型与最小二乘原理 武汉大学测绘学院 孙海燕第二节 函数模型一、平差问题中量的分类必要元素必要观测起算数据多余观测常数观测值理论值起算数据参数（未知数）参数的个数记为 设立参数的原因 1）方便建模 2）方便计算 3）方便分析u), 2 , 1(0),(21riLLLfni第四章 测量平差数学模型与最小二乘原理 武汉大学测绘学院 孙海燕一、条件平差的函数模型设观测值为 ，必要观测数为 ，则有t0)(LF), 2 , 1(0),(21riLLLfni简记为 ，其中 为函
5、数独立的方程TnLLLL,21若 为线性函数，则可表示为 条件方程： 或01 ,01 ,rnnrALAif0)(LF0)(LF)(LF例：3, 3, 6rtnABCD1h2h3h4h5h6h000643652321hhhhhhhhh第四章 测量平差数学模型与最小二乘原理 武汉大学测绘学院 孙海燕二、间接平差的函数模型选 个独立量作为参数（ ，参数独立），则t)(1 ,1 ,tnXFL 例：设A点高程已知，选B、C、D点高程为参数tu ABCD1h2h3h4h5h6h321,XXX326315342321211XXhXXhHXhHXhXXhHXhAAA1 ,1 ,1 ,nttnndXBL或1X2
6、X3X第四章 测量平差数学模型与最小二乘原理 武汉大学测绘学院 孙海燕三、附有参数的条件平差的函数模型选 个独立参数 ，则函数模型为 u0),(1 ,1 ,1 ,uncXLF式中tu urc01 ,01 ,1 ,nuunnncAXBLA或例：1LXCBA2L3L2, 1, 1, 3, 2urcutnrnt0180321LLL01 XL0018010001111321XLLL第四章 测量平差数学模型与最小二乘原理 武汉大学测绘学院 孙海燕四、附有限制条件的间接平差的函数模型选 个参数 ( )，有 个独立参数，则函数模型为 u0)()(1 ,1 ,1 ,1 ,1 ,usunnXXFL式中 ，线性形
7、式为tu tus01 ,1 ,1 ,1 ,1 ,sXuusnuunnWXCdXBLt第四章 测量平差数学模型与最小二乘原理 武汉大学测绘学院 孙海燕小结 1）条件平差（ ） 2）附有参数的条件平差 （ 参数独立） 3）间接平差（ 参数独立） 4）附有限制条件的间接平差（ ， 至少有 个独立参数）0)()(LfLf0)()(VLfLf0ut0),(XLf0u0),(XLftu )(XfL )(XfL tu )(XfL 0)( X0)( X)(XfL t第四章 测量平差数学模型与最小二乘原理 武汉大学测绘学院 孙海燕第三节 函数模型的线性化方法：将函数模型在 处展开成泰勒级数，略去 二次及二次以上
8、各项，如0,XL令xXFLFXLFxXLFXLFXLXL),(),(),(00,000,212221212111,XLncccnnncLFLFLFLFLFLFLFLFLFA0,212221212111,XLucccuuucXFXFXFXFXFXFXFXFXFB则xBAXLFXLF),(),(00(,)(,)FL XFL XAVBx第四章 测量平差数学模型与最小二乘原理 武汉大学测绘学院 孙海燕条件平差：0)(LF0WxBA0WA)(LFW 间接平差：)(XFL )(0XFxBLlxB)()(00XWXFLlX附有参数的条件平差：0),(XLF),(0XLFW 附有限制条件的间接平差：0)()(
9、XXFL0XWxClxB0XXC)(0XFLl第四章 测量平差数学模型与最小二乘原理 武汉大学测绘学院 孙海燕第四节 测量平差的数学模型一、随机模型0)(E假定只有偶然误差，则 ，且最多只有 未知 LL12020)(PQDD20由 知QQQDDDLDLLLL)()(二、数学模型函数模型随机模型平差准则（ ）minTV PV 第四章 测量平差数学模型与最小二乘原理 武汉大学测绘学院 孙海燕函数模型的形式：条件平差：0)(LF0WxBAV0WAV)(LFW 间接平差：)(XFL lxBV)()(00XWXFLlX附有参数的条件平差：0),(XLF),(0XLFW 附有限制条件的间接平差：0)()(
10、XXFL0XWxClxBV)(0XFLl记VLLxXX0各种函数模型为等价的相容方程第四章 测量平差数学模型与最小二乘原理 武汉大学测绘学院 孙海燕第五节 参数估计与最小二乘原理一、参数估计及其最优性质平差问题：由随机样本求参数的值，构造统计量使即参数估计问题。统计量的构造方法不唯一()fL1limPn2、一致性：1、无偏性：设 为参数 的估计量，则 )(E或：0)(lim)(2EEn第四章 测量平差数学模型与最小二乘原理 武汉大学测绘学院 孙海燕y则称 比 有效。若 ，则 为最优估计量3、有效性：设 为参数 的两个无偏估计量，若 21,)()(21DD二、最小二乘原理min)(D12Oiiy
11、 1、最小二乘法ynyyyY21令nB11121XnvvvV21YXBV), 2 , 1(niyviii第四章 测量平差数学模型与最小二乘原理 武汉大学测绘学院 孙海燕即:最小二乘原理(法则、准则）按最小二乘原理求参数估值：最小二乘法min)()(YXBYXBVVTTmin)(1212niiiniiyv2、最小二乘估计与极大似然估计设观测值（观测误差）服从正态分布，概率密度为)()(21exp|)2(1)(1212LLLTLLLnLDLDlf第四章 测量平差数学模型与最小二乘原理 武汉大学测绘学院 孙海燕的估值为 ，而所以L由所以min)()(max)(1LLLTLLDLlfLVLLminmax)(1VDVlfLLT12020PQDDLL得PDLL201minminmax)(20PVVPVVlfTT第四章 测量平差数学模型与最小二乘原理 武汉大学测绘学院 孙海燕第四章小结第四章小结:平差问题归结为函数模型确定函数模型的因素, 0)(E0),(. .minXLFtsPVVT0),(XLF的形式与参数的选择相关随机模型12020)(PQDDurt,以及参数的独立性1）方程的个数与形式：2）具体的方程： 平差问题本身条件极值
