1、第三章第三章 随机信号通过线性系统随机信号通过线性系统3.1 随机信号通过线性系统的分析随机信号通过线性系统的分析3.1.1 线性系统的基本理论线性系统的基本理论设时不变线性系统设时不变线性系统的 冲 激 响 应 函 数的 冲 激 响 应 函 数 为为h(t)，系统输入为，系统输入为 x(t)，输出为输出为 y(t)，且均为确，且均为确知信号，则输入和输出的关系为：知信号，则输入和输出的关系为：dtxhdthxthtxty)()()()()(*)()(若若)()(),()(),()(HthFYtyFXtxF，则有则有)()()(HXY式中函数式中函数)(H称为系统的传输函数。称为系统的传输函数
2、。卷积定理：卷积定理：时域卷积定理：若给定两个时间函数时域卷积定理：若给定两个时间函数)(),(21tftf，x(t)y(t)线性时不变h(t)H(w)已知已知)()(),()(2211FtfFFtfF，则，则)()()(*)(2121FFtftfF频域卷积定理：频域卷积定理：)(*)(21)()(2121FFtftfF3.1.2 系统的输出响应系统的输出响应所讨论的系统是线性的所讨论的系统是线性的、时不变的时不变的、稳定且物理可稳定且物理可实现的。实现的。若输入为随机信号若输入为随机信号 X(t)， 则线性时不变系统的输则线性时不变系统的输出出Y(t)为：为：dtXhdthXthtXtY)(
3、)()()()(*)()(对于物理可实现系统对于物理可实现系统，当当 t0 时时，有有 h(t)=0，则上则上式改写为式改写为dtXhdthXtYt)()()()()(03.1.3 系统输出的概率分布系统输出的概率分布理论上理论上，根据输入随机信号的统计特性根据输入随机信号的统计特性，就能确定就能确定一个已知线性系统输出的统计特性。一个已知线性系统输出的统计特性。一种特殊情况一种特殊情况， 当输入为高斯过程时输出也是高斯当输入为高斯过程时输出也是高斯过程。过程。3.1.4 随机信号通过线性系统的时域分析随机信号通过线性系统的时域分析主要讨论线性系统输出的时域数字特征。主要讨论线性系统输出的时域
4、数字特征。1系统输出的数学期望系统输出的数学期望若输入若输入 X(t)为平稳随机过程为平稳随机过程，且假设其均值为且假设其均值为Xm，则有则有)0()()()()()()()(HmmtYEmdhmdhtXEdtXhEtYEXYYX对于物理可实现系统，有对于物理可实现系统，有dhmtYEmXY0)()(显然，系统输出随机信号的均值是常数。显然，系统输出随机信号的均值是常数。2系统输出的均方值系统输出的均方值 dvduuhvhuvRdvduuhvhutXvtXEduutXuhdvvtXvhEtYtYEtYEX)()()()()()()()()()()()()()(2对于物理可实现系统，有对于物理可
5、实现系统，有 002)()()()(dvduuhvhuvRtYEX由于由于 X(t)为平稳随机过程，可得为平稳随机过程，可得)(2tYE3系统输出的自相关函数系统输出的自相关函数)()()()()()()()()()()()()()(),(YXYRdvduuhvhuvRdvduuhvhutXvtXEduutXuhdvvtXvhEtYtYEttR 由以上的结论可知由以上的结论可知， 当一个宽平稳随机信号输入到当一个宽平稳随机信号输入到线性时不变稳定系统时线性时不变稳定系统时，其输出随机信号也是宽平稳其输出随机信号也是宽平稳的。的。当系统是物理可实现系统时，有当系统是物理可实现系统时，有 00)(
6、)()()(dvduuhvhuvRRXY由上述结果可推出由上述结果可推出， 输出自相关函数等于输入自相输出自相关函数等于输入自相关函数与系统冲激响应的二次卷积关函数与系统冲激响应的二次卷积)(*)(*)()(hhRRXY输出平稳过程的平均功率为输出平稳过程的平均功率为 00)()()()0(dvduuhvhuvRRXY实际上实际上，还可证明若输入随机过程是严平稳的还可证明若输入随机过程是严平稳的，则则系统的输出也将是严平稳的；若输入是各态历经过系统的输出也将是严平稳的；若输入是各态历经过程，则输出也具有各态历经性。程，则输出也具有各态历经性。例：书例：书 95 页例页例 3.2.14系统输入与
7、输出的互相关函数系统输入与输出的互相关函数一般来讲一般来讲，系统的输入和输出是相关的系统的输入和输出是相关的，相关程相关程度可用互相关函数来表示度可用互相关函数来表示。假定线性系统的输入是随假定线性系统的输入是随机过程机过程)(tX，而输出而输出)(tY也是一个随机过程也是一个随机过程，则互相关则互相关函数函数dhttRdhtXtXEdtXhtXEtYtXEttRXXY)(),()()()()()()()()(),(若若 X(t)是平稳过程，则是平稳过程，则) 1 ()(*)()()()(hRdhRRXXXY即输入输出的互相关函数等于输入过程的自相关函即输入输出的互相关函数等于输入过程的自相关
8、函数与系统冲激响应函数的卷积。数与系统冲激响应函数的卷积。若若 X(t)是平稳过程是平稳过程，由上述分析可知由上述分析可知，Y(t)也是平也是平稳过程，且它们是联合平稳的。稳过程，且它们是联合平稳的。同理可得同理可得) 2()(*)()()()(hRdhRRXXYX由上述分析可得，若已知由上述分析可得，若已知)(XR和和)(XYR，则可得，则可得系统冲激响应系统冲激响应)(h。)(*)()(*)()(*)(*)()(hRhRhhRRYXXYXY例：书例：书 97 页例页例 3.2.25系统输入为随机过程与加性噪声系统输入为随机过程与加性噪声所谓加性噪声，就是噪声和信号是相加的关系所谓加性噪声，
9、就是噪声和信号是相加的关系。我们可以把这种情况看作是我们可以把这种情况看作是， 在系统的接收端同时在系统的接收端同时存 在 几存 在 几个随机信个随机信号 。 现号 。 现在以两个在以两个随 机 过随 机 过程为例程为例， 结结论可以推广到多个随机过程的情况。论可以推广到多个随机过程的情况。假设随机过程假设随机过程 X1(t)、X2(t)是各自平稳且联合平稳是各自平稳且联合平稳的，它们之和的，它们之和 X(t)通过线性系统后，产生对应的两个通过线性系统后，产生对应的两个随机过程随机过程 Y1(t)、Y2(t)之和之和 Y(t)，可证得可证得(1)Y1(t)、Y2(t)是各自平稳且联合平稳的；是
10、各自平稳且联合平稳的；(2)X(t)和和 Y(t)也是联合平也是联合平稳的稳的。若输入的两个平稳过程若输入的两个平稳过程 X1(t)和和 X2(t)是不相关的，是不相关的，则有则有X1(t)X(t)Y(t)X2(t)线性系统线性系统 h(t)212121212)()()(2)()()(YYYYYXXXXXmmRRRmmRRR进一步进一步， 若输入的两个平稳随机过程的数学期望为若输入的两个平稳随机过程的数学期望为零，则有零，则有)()()()()()(2121YYYXXXRRRRRR3.1.5 随机信号通过线性系统的频域分析随机信号通过线性系统的频域分析频域分析法主要是讨论系统的功率谱密度。频域
11、分析法主要是讨论系统的功率谱密度。1线性系统输出的功率谱密度线性系统输出的功率谱密度若输入随机过程若输入随机过程 X(t)为平稳过程，则输出的自相为平稳过程，则输出的自相关函数为：关函数为：)(*)(*)()(hhRRXY利用傅立叶变换，可得输出的功率谱密度，假利用傅立叶变换，可得输出的功率谱密度，假定定h(t)是实函数：是实函数：2)()()()()()(HSHHSSXXY又将又将2)(H称为系统的功率传输函数。称为系统的功率传输函数。由上述结论可得由上述结论可得， 由输入和输出的功率谱密度可确由输入和输出的功率谱密度可确定系统的幅频特性，即定系统的幅频特性，即)()()(XYSSH系统输出
12、的平均功率为：系统输出的平均功率为：dHSdSRWXYYe2)()(21)(21)0(例：书例：书 100 页例页例 3.3.1，例，例 3.3.22系统输入与输出间互功率谱密度系统输入与输出间互功率谱密度已知已知)(*)()()(*)()(hRRhRRXYXXXY则可得互功率谱密度为则可得互功率谱密度为)()()()()()(HSSHSSXYXXXY从这两个式子可看出，由从这两个式子可看出，由)(XS和互功率谱密度的测和互功率谱密度的测量 可 以 确 定 线 性 系 统 传 输 函 数 ， 即量 可 以 确 定 线 性 系 统 传 输 函 数 ， 即)()()(XXYSSH若输入是两个联合平
13、稳的随机过程若输入是两个联合平稳的随机过程 X1(t)和和 X2(t)之之和，则有和，则有)()()()()(122121YYYYYYYRRRRR可得输出功率谱密度可得输出功率谱密度)()()()()()()()()()(1221211221212XXXXXXYYYYYYYSSSSHSSSSS若输入的两个平稳过程若输入的两个平稳过程 X1(t)和和 X2(t)是不相关的，是不相关的，有有21212)()()(YYYYYmmRRR可得可得)(4)()()()(22)()()(212121212XXXXYYYYYmmSSHmmSSS再进一步再进一步，若输入的两个平稳随机过程的数学期若输入的两个平稳随机过程的数学期望为零，则有望为零，则有)()()(21YYYRRR即即)()()()()()(21212XXYYYSSHSSS作业：书作业：书 123 页页 3.1,3.2
