1、11.2 计算机中数的表示方法与编码计算机中数的表示方法与编码一、 进位计数制在计算机系统中，采用的是二进制计数，而在日常生活中，我们熟知的是十进制计数，我们首先介绍进位计数的有关概念。十进制计数大约公元 400 年，印度人发明了十进制计数，这可能与我们的手指有关。公元 800 年，阿拉伯人开始使用十进制计数，后来又传入欧洲，十进制计数有以下特点：1 有十个相互独立的数字：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9；2 逢十进一；3 权为 10n任一十进制数：N=n-1n-210.-1-2-mN=n-110n-1+n-210n-2+ +1101+0100+-110-1+-210-2+ +-m10-
2、m 二进制计数(用 B 表示)计算机中普遍采用二机制计数，其特点为：1有两个独立的数字：0 和 1 ；2逢二进一；3权为 2n；任一二进制数： N=n-1n-210.-1-2-mN=n-12n-1+n-22n-2+ +121+020+2-12-1+-22-2+ +-m2-m如： 11111111.1=1 27+1 26+1 25+1 24+1 23+1 22+1 21+1 20+1 2-1=128+64+32+16+8+4+2+1+0.5=255.5 十六进制计数(用 H 表示)特点: 十六个独立的数字:0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F；逢十六进一；权为十六；任一
3、十六进制数： N=n-1n-210.-1-2-mN=n-1 16n-1+n-2 16n-2+ +1 161+0 160+-116-1+-216-2+ +-m16-m如：3E8H=3162+1416 + 8 = 1000十六进制数本质上可以说与二进制数相同，将二进制数按四位划分，有：二进制数十六进制数十进制数00000000011100102200113301004401015501106601117731000881001991010A101011B111100C121101D131110E141111F15因此，同一个数有多种表示方法，一定要注明采用什么数制，否则，容易引起误解，如：11十进
4、制数为：11二进制数为：3表示为：11B十六进制为：3二、 数制之间的转换主要是二进制和十进制之间的转换， 因为十六进制可以很方便地转化成二进制。二进制转十进制前面已经讲过，下面主要讲十进制转二进制。对十进制整数十进制整数，采用方法：除二取余法：如：53532=26余1262=13余0132=6余1462=3余032=1余112=0余1由此得到：53=110101B（注意：后面的余数为高位）对十进制小数，则采用乘二取整法：如：0.3750. 3752=0.75取整数部分00. 752=1.5取整数部分10. 52=1取整数部分1由此得到：十进制数 0.375=0.011B(取数高位到地位顺序是
5、按乘数的先后顺序)混合数则分别按整数部分和小数部分计算.如：53.375=110101.011B三、 计算机中的数和编码前面我们讨论的都是无符号数，有符号数在计算机中如何表述了？十进制中，用符号正负来表示：+4，4。1.带符号数的表示方法用最高位来表示符号，0 表示为正数，1 表示为负数。有三种表示方法：原码 反码和补码。原码：原码：数值用绝对值表示，符号用最高位来表示， “0” 表示为正数， “1” 表示为负数。5正数的原码是该数的二进制表示：如：+ 4=00000100负数的原码将其符号位变成 1 即可。 4=10000100八位二进制有符号数原码能表示的范围是：正数 0000 0000
6、0111 1111 ，即：+0+127负数 1000 0000 1111 1111 ，即：-0-127反码反码：正数的反码与原码相同，负数的反码是该数的绝对值取反（含符号位） 。+4原码 0000 0100 反码：0000 0100-4原码：1000 0100 反码：1111 1011反码的范围是：正数：0000 0000 0111 1111+0 +127负数：1111 1111 1000 0000-0 -127原码和反码都存在两个缺点：存在 +0 和 0 ，不和谐。必须有减法运算，这就增加了计算机的复杂性。补码补码： 正数的补码和原码一样,即最高位(符号位)为0,其余为数值位。负数的补码为反
7、码加 1；+4，原码：0000 0100反码：0000 0100 补码：0000 0100-4，原码：1000 0100反码：1111 1011 补码：1111 1100补码表示的范围：正数：0000 0000 0111 1111即：0 127负数：1111 1111 1000 0000即： -1 -128引入补码后，减法运算可以由加法来代替，这就简化了计算机的结构。6如：205=20 +（- 5）计算机只能识别二进制数,那么计算机是如何识别十进制数字和其他的符号，图表的呢？在计算机中，是以二进制的组合来表示的，这就是二进制编码。计算机中根据信息对象的不同，编码方式也不一样，常见的有BCD 码
8、、ASC码。2.2.二二十进制编码（十进制编码（BCD 码）虽然十进制数可以转换成二进制数，但转换很慢，难以一下子看出，如：十进制数 789，用二进制表示为：1100010101。为了方便的用二进制来表示十进制数， 人们提出了既有二进制数特点又有十进制数特点的编码BCD 码。十个十进制数字可以用四位二进制数来表示， 选取四个有特点的二进制数，0001，0010，0100，1000，十进制中分别为：1，2，4， 8； 其他六个数字为这四个编码的组合， 因此又叫做 8421 BCD编码。下面是 8421 BCD 编码表：十进制数8421 BCD 数二进制数000000000100010001200
9、1000103001100117401000100501010101601100110701110111810001000910011001100001 00001010110001 00011011120001 00101100130001 00111101140001 01001110150001 01011111按照上述编码，十进制数 789 的 BCD 码为：0111 1000 1001，这样就比较方便。如： 1234.789 的 BCD 码为： 0001 0010 0011 0100 . 0111 1000 10013. ASC 码码 AmericanAmericanStandard
10、StandardCodeCodeforforInformationInformationInterchangeInterchange用七位二进制编码来表示十进制数字 0 9，英文字母 a z，AZ，还有一些控制字符，最高位用于奇偶校验。数字：0 930H 39H大写英文字母A Z41H 5AH小写英文字母a z61H 7AH8美国信息交换标准代码 ASC编码表(7 位代码)四、 计算机中二进制数的运算十进制,基本的运算为：加、减、乘、除。下面我们讨论二进制数的加、减、乘、除。1无符号二进制数的加法二进制数只有两个数字：0 和 1，其加法规则为： 0+0=09 0+1=1 1+1=0进位 1 1
11、+1+1=1 进位 1例 1:0000 1101Bmem1+ 0000 1101Bmem200011010Bmem3十进制数为：13+13=26若计算机字长为八位，结果不会有问题。下面看另外一个加法：例 2:1011 0101Bmem1+ 1000 1111Bmem21 0100 0100 Bmem3十进制数为：181+143=324结果为九位二进制数，产生了进位，由于 mem3 只有八位，因而第九位的 1 会丢失，在 men3 中实际上只有 01000100B即十进制数的 68，明显错误。为了处理这种问题，在 CPU 内部专门设置了一个寄存器，把运算结果的状态表示出来，以便程序进行处理。对
12、8051：是程序状态寄存器程序状态寄存器 PSWPSW 是一个 8 位特殊功能寄存器，它的各位包含了程序执行后的状态信息，供程序查询或判别之用。各位的含义及其格式如下：10D7D6D5D4D3D2D1D0CYACF0RS1RS0OVPCY(PSW7)进位标志位。在执行加法(或减法)运算指令时，如果运算结果最高位(位 7)向前有进位(或借位)，CY 位由硬件自动置“1”；如运算结果最高位(位 7)无进位(或借位)，则 CY 清“o” 。 CY也是 8051 在进行位操作(布尔操作)时的位累加器。AC(PSW6)半进位标志位，也称辅助进位标志。当执行加法(或减法)操作时，其运算结果(和或差)产生由
13、低半字节(位 3)向高半字节有半进位(或借位)时，AC 位将被硬件自动置“1” ，否则 AC 被自动清“o” 。OV(PSW2)溢出标志位。当进行补码运算时，如有溢出，即当运算结果超出128 十 127 的范围时，OV 位由硬件自动置 OV1；无溢出时，OV0。PSW1 为保留位，805l 末用，8052 为 Fl 用户标志位。P ( PSW0)奇偶检验标志位。每条指令执行完后，该位始终跟踪指示累加器 A 中 l 的个数。如结果 A 中有奇数个“l ”，则置 P1，否则 P0。常用于校验串行通讯中的数据传送是否出错。2无符号二进制数的减法基本规则：1-1=0 0-0=011 1-0=1 0-1
14、=1借位 1例 3：0001 1011B0000 1101B=借位：1 1被减数：0 0 0 1 1 0 1 1减数：0 0 0 0 1 1 0 1差：0 0 0 0 1 1 1 027-13 =14结果正确。例 4：0100 0100B10100101B =？借位 1 1 11被减数：0 0 0 1 1 0 1 1减数：1 0 1 0 0 1 0 1差：1 1 1 1 0 1 1 0运算中，产生了借位，硬件会自动地将进位标志置 1，以便程序员处理。3无符号二进制数的乘法乘法规则：00=0例 5： 1111B1101B=？01=01 1 1 110=01 1 0 111=11 1 1 11 1
15、 1 11 0 0 1 0 1 1121 1 1 11 1 0 0 0 0 1 14无符号二进制数的除法除法的规则是乘法和减法之和例 6：10011B101B=？0 0 0 1 1 11 0 11 0 0 0 1 11 0 10 0 1 1 11 0 11 0 11 0 105BCD 数的运算以 BCD 码表示的数，叫 BCD 数，BCD 数的运算遵守二进制运算规则。例 7：13+14=270 0 0 1 0 0 1 1BCD 130 0 0 1 0 1 0 0BCD 140 0 1 0 0 1 1 1BCD 27再看下列例子：例 8：26+35=61130 0 1 00 1 1 00 0 1
16、 10 1 0 10 1 0 11 0 1 11011 超过了 BCD 码的范围， 结果不正确，0 1 1 0超过 1001，要进行加 6 调整0 1 1 00 0 0 1十进制数为 61 结果正确当低四位大于 1001 即十进制数 9 时， 要进行 BCD 码调整即加 6；另外，当低四位有进位时，也要进行加 6 调整。例 9：29+38=670 0 1 01 0 0 1+0 0 1 11 0 0 00 1 1 00 0 0 1结果为 61，低四位产生了进位，此时 AF=10 1 1 0加 6 调整0 1 1 0 0 1 1 1结果为 67，正确同样， 在做减法时， 也有类似问题， 会出现半借
17、位或低四位大于 1001的情况，这样，需要进行减 6 调整。例 10：39-16=230 0 1 11 0 0 10 0 0 10 1 1 0140 0 1 00 0 1 1无借位，低四位也小于 1001，结果正确。例 11：36-19=170 0 1 10 1 1 00 0 0 11 0 0 10 0 0 11 1 0 1有半借位，AC=1，低四位大于 1001，需要进行减 6 调整0 1 1 0结果为：0 0 0 10 1 1 117 正确因此在做 BCD 码的加减法时，后面应进行十进制调整。6补码运算引入补码后，计算机只存在加法运算。例 12：2015=5即：20+（-15）补码：20=
18、 0 0 0 1 0 1 0 00 0 0 1 0 1 0 0原码：-15=1 0 0 0 1 1 1 11 1 1 1 0 0 0 1反码：-15=1 1 1 1 0 0 0 0结果为1 0 0 0 0 0 1 0 1补码：-15=1 1 1 1 0 0 0 1产生了进位，CY=1，丢失，正确例 13：-20+15=-5原码：-20=1 0 0 1 0 1 0 0反码：-20=1 1 1 0 1 0 1 1补码：-20=1 1 1 0 1 1 0 0补码：+15=0 0 0 0 1 1 1 1151 1 1 1 1 0 1 1真值为：-0 0 0 0 0 1 0 1 即-5，正确例 14：-
19、20-15= -351 1 1 0 1 1 0 0+1 1 1 1 0 0 0 1= 1 1 1 0 1 1 1 0 1结果为：0100011 即35虽然有进位，但是结果正确。当补码运算结果超过 128+127 时， 会产生溢出， 计算结果错误。例 15：120+105=2250 1 1 1 1 0 0 00 1 1 0 1 0 0 11 1 1 0 0 0 0 1补码结果为：0011111 即31，错误两个正数相加（补码） ，结果超过了 127，产生了溢出，硬件将自动置位 OV=1例 16：120105=2251 0 0 0 1 0 0 01 0 0 1 0 1 1 11 0 0 0 1 1 1 1 1结果为 +31，错误原因是结果超过了 128，产生了溢出。结论：补码运算时，应考虑溢出，无符号数运算时，应考虑进位，BCD 码运算时，应考虑半进位。16重点：运算后，PSW 的状态。
