1、第五章第五章 随机信号通过线性系统随机信号通过线性系统读书笔记读书笔记2011552045王婧茹王婧茹本章包括 5 个小节，5.1 线性系统的基本性质；5.2 随机信号通过线性系统；5.3 白噪声通过线性系统；5.4 线性系统输出端随机过程的概率分布；5.5 随机序列通过线性系统。本章主要研究线性系统问题。内容主要概述：内容主要概述：一个随机输入信号通过线性系统后，输出也是随机过程，且是随机输入信号与系统冲激响应的卷积。 在实际中通常是仅知道输入随机过程的某些统计特性， 要求能够得到系统输出的统计特性。 例如一直输入随机过程的均值与自相关函数， 求系统输出随机过程的均值与自相关函数。若线型是不
2、变系统的随机输入信号是严平稳或宽平稳的，那么它的输出也是严平稳或宽平稳的。若输入是各态经历过程，输出也是各态经历过程。从时域上看，如果输入为宽平稳随机过程，则输出均值为输入均值与冲激响应积分的乘积， 输出自相关函数是输入自相关函数与系统的冲激响应的双重卷积。 线性系统的输出必定以某种方式依赖于输入， 即输入与输出必定是相关的， 且输入输出的互相关函数等于输入自相关函数与系统冲激响应的卷积，当输入为宽平稳随机过程时，输入输出为联合宽平稳。根据输入信号和观测信号，可以得到互相关函数，因此可以得到系统的冲激响应，用这种方法可以对系统进行辨识（估计） 。从频域上看，线性系统输出的功率谱密度等于输入功率
3、谱密度乘以系统的功率传输函数。两个统计独立（或至少不相关）的零均值平稳随机过程之和的功率谱密度或自相关函数等于各自功率谱密度或自相关函数之和。 通过线性系统输出的平稳随机过程的功率谱密度或自相关函数也等于各自输出的功率谱密度或自相关函数之和。白噪声通过线性系统后，其输出端的噪声功率就不在是均匀的了，由于白噪声的功率谱密度是常数， 因此线性系统在白噪声作用下， 输出功率谱密度完全由系统频率特性所决定，而不再保持常数。在实际应用中，有时只关心系统输出的噪声的功率，为了分析计算方便常常考虑用一个理想的系统来等效代替实际的系统。 这种理想的系统在其通带以内具有常数的传输函数的模，而通带外为零。这样，系
4、统的输出也就称为在一定频带内具有均匀谱密度的噪声（即限带白噪声） 。等效的原则是，当输入同样的白噪声时，理想系统与实际系统的输出平均功率相等，在频带的中心，两个系统具有同样的功率传输函数值。注意：在一般线性系统中， 通常都是用频率特性缺陷半功率点的同频带宽， 也常称为 3 分贝带宽来表示该系统对信号频谱的选择性，常用等效的噪声带宽来表示系统对噪声功率谱的选择性。白噪声通过理想低通线性系统时（滤波器或低频放大器） ，输出随机过程的相关时间与系统的带宽（也就是输出随机过程的谱宽）成反比。这就说，系统带宽越宽，相关时间越小，输出过程随时间变化越激烈，反之，系统带宽越窄，输出过程随时间变化就缓慢。通过
5、理想带通线性系统（带通滤波器或高频谐振放大器）也具有类似的性质。在电子系统中，经常用到由多级单调谐放大器构成的放大设备， 在这种放大设备中， 包括有多个调谐在中心频率上的调谐回路，因此其频率特性与高斯曲线相近，回路数目越多，近似程度越高。5.1 线性系统的基本性质线性系统的基本性质叠加定理：叠加定理： 111nnnkkkkkkkkky tLa xta L xta yt，ak为任意常数线性系统：线性系统：满足叠加原理的系统即为线性系统。线性时不变系统：线性时不变系统：系统满足关系y tL x t，即一个线性时不变系统的冲击响应,h t与时刻点t 无关。线性时不变系统的传输函数线性时不变系统的传输
6、函数设时不变线性系统的冲激响应函数为 h(t)，系统输入为 x(t)，输出为 y(t)，且均为确知信号，则输入和输出的关系为：dtxhdthxthtxty)()()()()(*)()(若)()(),()(),()(HthFYtyFXtxF，则有)()()(HXY式中函数)(H称为系统的传输函数。重要傅里叶变换对： j tHh t edt 12j th tHed系统传输函数的计算：系统传输函数的计算：设输入信号为 x(t)，输出为 y(t),则系统传递函数为： j tj ty tL eHex t， j tj ty tL eHe系统因果性：系统因果性：若系统 n 时刻的输出，只取决于 n 时刻以及
7、 n 时刻以前的输入序列，而与 n 时刻以后的输入无关，则称该系统为因果系统。系统稳定性：系统稳定性：一个线性时不变系统，对于任意有限输入，其响应有界，则称此系统是稳定的。x(t)y(t)线性时不变h(t)H(w)5.2随机信号通过线性系统随机信号通过线性系统系统的输出响应系统的输出响应所讨论的系统是线性的、时不变的、稳定且物理可实现的。若输入为随机信号 X(t)，则线性时不变系统的输出 Y(t)为：dtXhdthXthtXtY)()()()()(*)()(对于物理可实现系统，当 t0 时，有 h(t)=0，则上式改写为dtXhdthXtYt)()()()()(05.2.1 线性系统输出的统计
8、特性线性系统输出的统计特性结论：结论：1 系统输出随机信号的均值是常数。2 系统输出的自相关函数：当一个宽平稳随机信号输入到线性时不变稳定系统时， 其输出随机信号也是宽平稳的。若输入随机过程是严平稳的，则系统的输出也将是严平稳的；若输入是各态历经过程，则输出也具有各态历经性。3 系统输入与输出之间的互相关函数：若 X(t)是平稳过程，则 Y(t)也是平稳过程，且它们是联合平稳的。4 物理可实现系统响应1）无限工作时间的系统2）有限工作时间的系统5.2.2 系统输出的功率谱密度系统输出的功率谱密度1 系统输出的功率谱密度自相关函数 RY（）与输入功率谱密度的关系式为 21122j tj tyYX
9、RG edGHed 22102YXE YtRGHd 2 输入与输出之间的互谱密度3 未知系统辨识精度的分析5.2.3 多个随机过程之和通过线性系统多个随机过程之和通过线性系统结论结论：两个统计独立（或至少不相关）的零均值平稳随机过程之和的功率谱密度或自相关函数等于各自功率谱密度或自相关函数之和。 通过线性系统输出的平稳随机过程的功率谱密度或自相关函数也等于各自输出的功率谱密度或自相关函数之和。5.3 白噪声通过线性系统白噪声通过线性系统5.3.1 噪声带宽噪声带宽白噪声：具有均匀功率谱的平稳随机过程。设白噪声的功率谱密度 XG为 N0/2，N0为正实常数，系统传递函数为 H，则有 202YNG
10、H 20YFN H结论结论：若输入信号是白噪声，则输出随机信号的功率谱主要是由系统的幅频特性)(H决定；系统只允许与其频率特性一致的频率分量通过，具有一定的选择性。输出自相关函数为：deHNdeNHRjjY2002)(42)(21)(输出平均功率为：dHNRtYEY202)(4) 0()(（1）对于低通系统，用等效噪声带宽e表示的等效功率传输函数为：eeIHH0) 0 ()(22等效后系统输出的平均功率为：2020)0(2)(221)0(HNdHNReeY已知dHNRY20)(4)0(可得dHHdHNHNee222020)0()(21)(4)0(2又2)(H是偶函数，有dHHe022) 0()
11、(（2）若系统是以0为中心频率的带通系统，且功率传输函数单峰的峰值发生在20)(H处。用等效噪声带宽e表示的等效功率传输函数为：其它022)()(00202eeIHH等效后系统输出的平均功率为：20020)(2)(221)0(HNdHNReeY已知等效前系统输出的平均功率为：dHNdHNRY02020)(2)(4) 0(则有dHHHNdHNee0202200020)()()(2)(2结论：等效噪声带宽是用来描述系统对信号频率的选择性，并且只与系统参量有关。在一般的线性系统中，通常用 3dB 带宽来表示系统对输入确定信号频谱的选择性；而等效噪声带宽e则用来描述系统对输入白噪声功率谱的选择性。它们
12、都仅由系统本身的参数决定。5.3.2 白噪声通过理想线性系统白噪声通过理想线性系统1.白噪声通过理想低通系统1）功率谱宽度变窄2）平均功率由无限变为有限3）相关性由不相关变为相关，相关时间与系统带宽成反比2.白噪声通过理想带通系统理想带通系统的单边幅频特性为其它02)(00KH输出随机过程 Y(t)的单边功率谱为2)()()(02002KNHFFXY系统输出 Y(t)的自相关函数为00020cos)(cos2) 2sin(2)(aNKRY说明：(1)若0， 即理想带通系统的中心频率远大于系统的带宽， 则称这样的系统为窄带系统。此时，输出的随机信号也是窄带随机信号。(2)已知00020cos)(
13、cos2) 2sin(2)(aNKRY，其中)(a只包含的成分。当满足0时，)(a与0cos相比，)(a是的慢变化函数，而0cos则是的快变化函数。(3)当00时，则有)()(aRY，此式与前面推导出的低通系统输出相关函数是一样的。输出随机过程的平均功率2) 0(020NKRY相关系数02cos2)2sin()0()()()0()()()()(YYYYYYYYYRRRRRRCr相关时间（带通系统的相关时间是由相关系数的慢变部分定义的）fd212) 2sin(00结论：带通系统与低通系统的分析相似。5.3.3 白噪声通过具有高斯频率特性的线性系统白噪声通过具有高斯频率特性的线性系统高斯频率特性的表示式为2202)()( AeH式中是与系统带宽有关的量。当输入随机信号 N(t)是具有单边功率谱的白噪声时，输出随机信号的功率谱为220)(202)()()(eANHGGNY输出自相关函数0402cos2)(22eNARY输出随机过程的平均功率为2)0(02NARY相关系数04cos)(22 erY等效噪声带宽dHHe0202)()(相关时间de04022此处所得相关时间与带宽成反比，该结果与理想带通系统相同。不同之处是输出自相关函数的包络是高斯曲线，功率谱也是高斯曲线。
