1、 江苏省连云港市灌南华侨高级中学 2017-2018 学年 高二下学期期中考试（文） 一填空题： （70 分） 1.复数 2. 计算 | 1 3 | i i _ 3. 给出下列演绎推理：“整数是有理数， ，所以-3 是有理数”，如果这个推理 是正确的，则其中横线部分应填写 4. 观察下列等式： 1= 1+ =+ 1+ +=+ 据此规律，第 n 个等式可为 += 5. 观察新生婴儿的体重，其频率分布直方图如图所示，则新生婴儿体重在(2700,3000的频 率为 6. 从编号为80,79, 3 , 2 , 1的 80 件产品中，采用系统抽样的方法抽取容量为 4 的样 本，若编号为 28 的产品在此
2、样本中，则这样的样本中产品的最大编号为 7. 已知一组数据 4.7，4.8，5.1，5.4，5.5，则该组数据的方差为 8.已知 ，y=tanx 的周期 T=，函数 y=f（x）满足， xR， （a 是大于零常数） ，则函数 y=f（x）的周期是 9. 从 1，2，3，4 这四个数中一次随机地取两个数，则其中一个数是另一个数的两倍的概率 是 10. 用反证法证明命题:“三角形的内角中至少有一个不大于”时，结论的否定是 11. 一只蚂蚁在一边长为 6 的正方形区域内随机地爬行,则其恰在离四个顶点距离都大于 3 的地方的概率 . 12. 从装有两个红球和两个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立
3、的两个事件是 (填序号) “至少有一个黑球”与“都是黑球”； “至少有一个黑球”与“至少有一个红球”； “恰有一个黑球”与“恰有两个黑球”； “至少有一个黑球”与“都是红球” 13.已知结论：“在三边长都相等的ABC 中，若 D 是 BC 和中点，G 是ABC 的外心，则 2 GD AG ，”若把此结论推广到空间，则有结论：“在六条棱长都相等的四面体中，若 M 是 BCD 的三边中线的交点，O 为四面体的外接球的球心，则 OM AO ” 14.36 的所有正约数之和可按如下方法得到： 因为 22 36=23， 所以 36 的所有正约数之和为 22222222 (1 3 3 )(22 32 3
4、)(22323 )(1 22 ) 1 3 3 )91 （ 参照上述方法，可求得 200 的所有正约数之和为 . 二填空题： （14+14+14+16+16+16） 15. 设复数（， 是虚数单位），且复数 满足，复 数在复平面上对应的点在第一、三象限的角平分线上. 求复数 ； (2)若为纯虚数(其中）,求实数的值. 16.某高校从参加今年自主招生考试的学生中随机抽取容量为 50 的学生成绩样本， 得频率分 布表如下： 组号 分组 频数 频率 第一组 230，235） 8 0.16 第二组 235，240） 0.24 第三组 240，245） 15 第四组 245，250） 10 0.20 第五
5、组 250，255 5 0.10 合 计 50 1.00 （1）写出表中位置的数据； （2）为了选拔出更优秀的学生，高校决定在第三、四、五组中用分层抽样法抽取 6 名学生 进行第二轮考核，分别求第三、四、五各组参加考核人数； （3）在（2）的前提下，高校决定在这 6 名学生中录取 2 名学生，求 2 人中至少有 1 名是第 四组的概率 17. （本小题满分 14 分） （）求证：当2a时，222aaa； （）证明：532， 不可能是同一个等差数列中的三项. 18. 有两颗正四面体的玩具，其四个面上分别标有数字 1，2，3，4，下面做投掷这两个正四 面体玩具的试验：用yx,表示结果，其中x表示第
6、 1 颗出现的点数（面朝下的数字） ，y表 示第 2 颗出现的点数（面朝下的数字）. （1）求事件“点数之和不小于 4”的概率； （2）求事件“点数之积能被 2 或 3 整除”的概率. 19. 如图是华侨高级中学 2018 年校园“十佳歌手”大奖赛上，七位评委为甲、乙两位选手打 出的分数的茎叶图. （1）写出评委为乙选手打出分数数据的众数，中位数； （2）求去掉一个最高分和一个最低分后，两位选手所剩数据的平均数和方差，根据结果比 较，哪位选手的数据波动小？ 20. 问题 1：ABC 的内心为 O，连结 OA，OB，OC，将ABC 分割为三个小三角形， 则这三个小三角形的高都是 r，底边长分别为
7、 a，b，c；则三角形的面积为 S1 2ar 1 2br+ 1 2cr= 1 2 (abc)r， 类比：设四面体 ABCD 的内切球球心为 O，连结 OA，OB，OC，OD，将四面体分割成 四个小三棱锥，其中 S1，S2，S3，S4为四个面的面积，r 为内切球的半径利用类比推理可以 得出四面体的体积并证明 甲 乙 7 8 9 9 4 4 4 6 7 3 9 7 6 6 4 3 2 问题 2：“求方程 xxx 543的解”有如下思路；方程 xxx 543可变为 xx 5 4 5 3 1， 考察函数)(xf xx 5 4 5 3 ， 由于1)2(f而)(xf在R上是减函数， 1)(xf 所以原方程
8、有唯一解2x 仿此解法求解不等式：) 32() 32( 326 xxxx 参考答案 一填空题： （70 分） 1.【答案】 【解析】 2.【答案】5 3. -3 是整数 4. + 5. 0.3 6.【答案】68 7.【答案】0.1 8. 4a 9.【答案】 3 1 10.三个角全大于 11. 4 4 12. (3) 13.3 14.465 二填空题： （14+14+14+16+16+16） 15.试题解析： 设，由得：. 又复数在复平面上对应的点在 第一、三象限的角平分线上，则即. 由联立方程组,解得,或， ，. . 由,可得 , 为纯虚数， 解得. 16.解： （1）由频率分布表，可得位置的
9、数据为 50815105=12， 位置的数据为 10.160.240.200.1=0.3， 故位置的数据分别为 12、0.3； （2）读表可得，第三、四、五组分别有 15、10、5 人，共 15+10+5=30 人， 要求从中用分层抽样法抽取 6 名学生， 则第三组参加考核人数为 15=3， 第四组参加考核人数为 10=2， 第五组参加考核人数为 5=1， 故第三、四、五组参加考核人数分别为 3、2、1； （3）设（2）中选取的 6 人为 a、b、c、d、e、f（其中第四组的两人分别为 d，e） ， 则从 6 人中任取 2 人的所有情形为：ab，ac，ad，ae，af，bc，bd，be，bf，
10、cd，ce，cf， de，df，ef共有 15 种； 记“2 人中至少有一名是第四组”为事件 A，则事件 A 所含的基本事件的种数有 9 种 所以， 故 2 人中至少有一名是第四组的概率为 17. 解：（） 2 (22)2222aaaaa 又，0202aa且22aa， aaaaaaa4222222， aaa222. （其他证法，如分析法，酌情给分）-7 分 （）假设2, 3,5是同一个等差数列中的三项，分别设为, mnp aa a， 则 23 mn aa d mnmn 为无理数，又 253 mp aa d mpmpmp 为有理数，矛盾. 所以，假设不成立，即2, 3,5不可能是同一个等差数列中
11、的三项. -14 分 18. 答：略 19. 答案： （1）众数为 84，中位数 84； （2） 22 88,85,5.2,1.6xxSS 甲乙甲乙 ，所以 22 SS 甲乙 ，所以乙的数据波动小. 20. 问题 1：ABC 的内心为 O，连结 OA，OB，OC，将ABC 分割为三个小三角形， 则这三个小三角形的高都是 r，底边长分别为 a，b，c；则三角形的面积为 S1 2ar 1 2br+ 1 2cr= 1 2 (abc)r， 类比：设四面体 ABCD 的内切球球心为 O，连结 OA，OB，OC，OD，将四面体分割成 四个小三棱锥，其中 S1，S2，S3，S4为四个面的面积，r 为内切球的半径利用类比推理可以 得出四面体的体积并证明 答案：1 3(S1S2S3S4)r 问题 2：“求方程 xxx 543的解”有如下思路；方程 xxx 543可变为 xx 5 4 5 3 1， 考察函数)(xf xx 5 4 5 3 ， 由于1)2(f而)(xf在R上是减函数， 1)(xf 所以原方程有唯一解2x 仿此解法求解不等式：) 32() 32( 326 xxxx 答案：xxxf 3 )(设，可证明为增函数)(xf 13 32)32()( )32()32()32(,)( 22 2262 xx xxxfxf xxxfxxxf 或解之得： 可得
