1、 福建省福州市八县（市）一中 2017-2018 学年 高二下学期期中联考试题（理） 一、选择题（本大题 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一 项符合题目要求 ） 1、复数 2 (2) 1 i z i （i 是虚数单位）在复平面上对应的点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 2用反证法证明某命题时,对某结论:“自然数中恰有一个偶数” 正确的假设为( ) A都是奇数 B都是偶数 C中至少有两个偶数 D中至少有两个偶数或都是奇数 3yloga(2x21)的导数是( ) A. 4x （2x21）ln a B. 4x 2x21 C. 1 （2x
2、21）ln a D. 2x21 ln a 4如图，阴影部分的面积是( ) A2 3 B2 3 C35 3 D32 3 5函数 f(x)x3ax23x9，已知 f(x)在 x3 处取得极值，则 a 等于( ) A2 B3 C4 D5 6函数 f(x)的图象如图所示，下列数值的排序正确的是( ) A0f(2)f(3)f(3)f(2) B0f(3)f(3)f(2)f(2) C0f(3)f(2)f(3)f(2) D0f(3)f(2)f(2)f(3) 7平面内有条直线，最多可将平面分成个区域，则的表达式为( ) A B C D ab c， ， ab c， ，ab c， ， ab c， ，ab c， ，
3、n)(nf( )f n 1nn2 2 2 2 nn 1 2 nn 8定义在0,上的函数 f x的导函数 fx满足 1 2 x fx，则下列不等式中， 一定成立的是（ ） A 91411fff B 11491fff C 52411fff D 11452fff 9.一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下，甲说：“罪 犯在乙、丙、丁三人之中”： 乙说：“我没有作案，是丙偷的”： 丙说：“甲、乙两人中有一人是小偷”： 丁说：“乙说的是事实”. 经过调查核实，四人中有两人说的是真话，另外两人说的是假话，且这四人中只有一人是罪 犯，由此可判断罪犯是（ ） A甲 B乙 C.丙 D
4、丁 10已知是定义在上的单调函数，且对任意的，都有 ，则方程的解所在的区间是（ ） A （0，） B （，1） C （1，2） D （2，3） 11如果A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于A2B2C2的三个内角的正弦值，则( ) AA1B1C1和A2B2C2都是锐角三角形 BA1B1C1和A2B2C2都是锐角三角形 CA1B1C1是钝角三角形，A2B2C2是锐角三角形 DA1B1C1是锐角三角形，A2B2C2是钝角三角形 12.已知, a bR,直线 2 yaxb 与函数( )tanf xx的图象在 4 x 处相切，设 2 ( ) x g xebxa,若在区间1,2上， 不等式 2 ( )2
5、mg xm恒成立， 则实数m有 （ ） A.最大值e B.最大值1e C.最小值e D.最小值e 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.） 13、 是虚数单位，若复数(3)()i m i-+ 是纯虚数，则实数m的值为 . ( )f x0 （ ，）0x（ ，） ( )ln1f f xxe( )f xfxe（ ） 1 2 1 2 14 15 若三角形内切圆的半径为， 三边长为， 则三角形的面积等于， 根据类比推理的方法，若一个四面体的内切球的半径为，四个面的面积分别是 ，则四面体的体积 16.若函数 32 0h xaxbxcxd a图象的对称中心为 00 ,M x h x，
6、记函数 h x的导函数为 g x，则有 0 0gx，设函数 32 32f xxx，则 1240324033 2017201720172017 ffff _ 三、解答题（本大题 6 小题，共 70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.已知定义在上的函数，求证：存在唯一的零点，且零 点属于 18. 已知函数( )ln a f xx x ，其中aR，且曲线( )yf x在点1, (1)f的切线垂直于 直线yx （）求a的值； （）求函数( )f x的单调区间和极值 19已知数列an的通项公式 an，数列bn的通项满足 bn(1a1)(1a2)(1 an)，试证明：bn2n1 12
7、n. 2 2 0 (3)10,xk dxk 则 ra b c， ， 1 () 2 Sr abc R 1234 SSSS， ， ，V 1, ln2f xxx f x 3,4 2 ) 12( 4 n 20设 f(x)ln x，g(x)f(x)f(x) (1)求 g(x)的单调区间和最小值 (2)求 a 的取值范围，使得 g(a)g(x)0 成立 21某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量 y（单位：千克）与销售价格 x （单位：元/千克）满足关系式，其中 3x6，a 为常数，已知销售价 格为 5 元/千克时，每日可售出该商品 11 千克。 (I）求 a 的值 (II）若该商品的成品为 3
8、 元/千克，试确定销售价格 x 的值，使商场每日销售该商品所获得 的利润最大。 22.已知函数 f（x）=ax+x2xlna（a0，a1） （1）求函数 f（x）在点（0，f（0）处的切线方程； （2）求函数 f（x）单调增区间； （3）若存在 x1，x21，1，使得|f（x1）f（x2）|e1（e 是自然对数的底数），求实 数 a 的取值范围 2 10(6) 3 a yx x 参考答案 一、选择题（每小题 5 分，共 60 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B D A D D B C A B C D B 二、填空题（每小题 5 分，共 20 分） 13、
9、-1/3 14、-2 15、(1/3) R(S1+S2+S3+S4) 16、0 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤） 17、解：，在单调 递增 5 分 ，使得 ， 9 分 存在唯一的零点，且零点属于10 分 18、 解：（） 2 1 ( ) a fx xx 曲线( )yf x在点1, (1)f处的切线垂直于直线yx， (1) 11fa ，2a 。4 分 （）由（）知 2 ( )lnf xx x ，则 22 122 ( ) x fx xxx 6 分 令 ( ) 0fx ，解得2x ， 又( )f x的定义域为0,， 当0,2x时， ( ) 0fx
10、 ( )f x在0,2内为减函数， 当2,x时， ( ) 0fx ( )f x在2,内为增函数， 故该函数的单调递增区间为2,，单调递减区间为0,2.9 分 由上面得如下表格： x （0,2） 2 （2，+） ( ) fx - 0 + ( )f x 减 ln21 增 由表格知函数( )f x在2x 处取得极小值(2)ln2 1f，无极大值。 12 分 19、证明：(1)当 n1 时，a14，b1143，b12 11 12 13，等式成立2 分 (2)假设当 nk(kN*)时等式成立， 11 1 x fx xx 1,x 0fx f x1,+ 31 ln30,42ln20ff 340ff 0 3,
11、4x 0 0f x f x3,4 即 bk2k1 12k， 4 分 那么当 nk1 时， 有 bk1(1a1)(1a2)(1ak)(1ak1) bk(1ak1)2k1 12k 1 4 (2k1)2 2(k1)1 12(k1). 所以 nk1 时，等式也成立10 分 由(1)(2)可知，等式对任何正整数 n 都成立12 分 20、解：(1)由题设知 f(x)1 x，g(x)ln x 1 x， 所以 g(x)x1 x2 .令 g(x)0，得 x1. 当 x(0,1)时，g(x)0，故(1，)是 g(x)的单调递增区间 因此 x1 是 g(x)在(0，)上的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点，
12、所以 最小值为 g(1)1. 6 分 (2)由(1)知 g(x)的最小值为 1， 所以 g(a)g(x)0 成立 g(a)11 a，即 ln a1，得 0ae， 所以实数 a 的取值范围为(0，e)12 分 21、 【答案】 （I）因为 x=5 时，y=11，所以 (II）由（I）可知，该商品每日的销售量 所以商场每日销售该商品所获得的利润 6分 从而， 于是，当 x 变化时，的变化情况如下表： 1011,2. 2 a a 2 2 10(6) , 3 yx x 22 2 ( )(3)10(6) 2 10(3)(6) ,36 3 f xxxxxx x 2 ( )10(6)2(3)(6)30(4)
13、(6)fxxxxxx ( ),( )fxf x 由上表可得，x=4 是函数在区间（3，6）内的极大值点，也是最大值点； 所以，当 x=4 时，函数取得最大值，且最大值等于 42。11 分 答：当销售价格为 4 元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大 12 分 22、解：（1）f（x）=ax+x2xlna， f（x）=axlna+2xlna， f（0）=0，f（0）=1 即函数 f（x）图象在点（0，1）处的切线斜率为 0， 图象在点（0，f（0）处的切线方程为 y=1； 3 分 （2）由于 f（x）=axlna+2xlna=2x+（ax1）lna 当 a1，y=2x 单调递增，lna0
14、，所以 y=（ax1）lna 单调递增，故 y=2x+（ax1）lna 单调递增， 2x+（ax1）lna2 0+（a01）lna=0，即 f（x）f（0），所以 x0 故函数 f（x）在（0，+）上单调递增； 当 0a1，y=2x 单调递增，lna0，所以 y=（ax1）lna 单调递增，故 y=2x+（ax1） lna 单调递增， 2x+（ax1）lna2 0+（a01）lna=0，即 f（x）f（0），所以 x0 故函数 f（x）在（0，+）上单调递增； 综上，函数 f（x）单调增区间（0，+）； 6 分 （3）因为存在 x1，x21，1，使得|f（x1）f（x2）|e1， 所以当 x1
15、，1时，|（f（x）max（f（x）min| =（f（x）max（f（x）mine1， 由（2）知，f（x）在1，0上递减，在0，1上递增， 所以当 x1，1时，（f（x）min=f（0）=1， （f（x）max=maxf（1），f（1）， ( )f x ( )f x 而 f（1）f（1）=（a+1lna）（+1+lna）=a2lna， 记 g（t）=t2lnt（t0）， 因为 g（t）=1+=（1）20（当 t=1 时取等号）， 所以 g（t）=t2lnt 在 t（0，+）上单调递增，而 g（1）=0， 所以当 t1 时，g（t）0；当 0t1 时，g（t）0， 也就是当 a1 时，f（1）f（1）； 当 0a1 时，f（1）f（1） 当 a1 时，由 f（1）f（0）e1alnae1ae， 当 0a1 时，由 f（1）f（0）e1+lnae10a， 综上知，所求 a 的取值范围为 a（0，e，+）12 分
