1、第一章第一章 函数、极限与连续函数、极限与连续机动 目录 上页 下页 返回 结束 (一一) 函数函数-定义域、复合函数定义域、复合函数 (略略)机动 目录 上页 下页 返回 结束 (2) 涉及无穷小与无穷小比较涉及无穷小与无穷小比较 (参见参见P43页无穷小定义与页无穷小定义与P57页无穷小比较页无穷小比较)(二二) 极限极限-以函数极限为主以函数极限为主(1) 涉及数列与函数极限的定义：涉及数列与函数极限的定义： (参见参见P23页起，此部分略页起，此部分略)N,0limCk定义定义.,0lim若则称 是比 高阶高阶的无穷小,)(o,lim若若若, 1lim若,0limC或,设是自变量同一变
2、化过程中的无穷小,记作则称 是比 低阶低阶的无穷小;则称 是 的同阶同阶无穷小;则称 是关于 的 k 阶阶无穷小;则称 是 的等价等价无穷小, 记作机动 目录 上页 下页 返回 结束 ,0时当 xxsinxtanxarcsin,x,x,xxcos1,221x11nxxn1常用等价无穷小 :第八节 目录 上页 下页 返回 结束 例例 P59页习题页习题 221(sincos)xxx(1 cos )ln(1)xx与与当当 x 趋于零时比较阶数？趋于零时比较阶数？ln(1) x1xe ,x,x机动 目录 上页 下页 返回 结束 (3) 重要极限重要极限 (参见参见P50页页)1sinlim. 10
3、xxx2.exxx)1(lim1相对简单，可用洛必达相对简单，可用洛必达法则法则导导之之注意注意“凑凑”标准模式标准模式注意两个重要极限的变化注意两个重要极限的变化1sinlim) 1 (0e)11(lim)2(或e1)1(lim0注注: 代表相同的表达式机动 目录 上页 下页 返回 结束 11limsin或例例. 求.)1 (lim1xxx解解: 令,xt则xxx)1 (lim1ttt )1 (lim1 1limttt)1 (1e1更快速的方法是直接凑标准模式更快速的方法是直接凑标准模式机动 目录 上页 下页 返回 结束 原式 1()11()()= lim (1+)=xxxe机动 目录 上页
4、 下页 返回 结束 (4) 关于不定式的极限关于不定式的极限 (主要是参见主要是参见P134页洛必达法则页洛必达法则)主要是熟悉主要是熟悉 两种情况的计算方法两种情况的计算方法型00型0)(lim)(lim) 1xFxfaxax)()(lim)3xFxfax存在 (或为 )()(lim)()(limxFxfxFxfaxax,)()()()2内可导在与axFxf0)( xF且定理定理 1.型未定式型未定式00(洛必达法则) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 )sin(2cosxex例例. 求0limxtextd1cos22x解解:原式0limx00 x2e21说明 目录 上页 下页 返回 结束
5、 特别要注意与变上限积分的导数相结合的计算特别要注意与变上限积分的导数相结合的计算注意简化极限中的各个因子注意简化极限中的各个因子机动 目录 上页 下页 返回 结束 (5) 关于连续问题关于连续问题 (主要是参见主要是参见P59页连续与间断页连续与间断)()(lim00 xfxfxx0)()(lim000 xfxxfx)()()(000 xfxfxf左连续右连续)(. 1xf0 x在点连续的等价形式2. 讨论函数231)(22xxxxfx = 2 是第二类无穷间断点 .间断点的类型. 3. 设0,0,sin)(21xxaxxxfx_,a时提示提示:,0)0(f)0(f)0(fa0)(xf为连续
6、函数.机动 目录 上页 下页 返回 结束 答案答案: x = 1 是第一类可去间断点 ,(6) 特殊的极限特殊的极限-水平与铅直渐近线水平与铅直渐近线若,)(limbxfx则曲线)(xfy 有水平渐近线.by )(x或若,)(lim0 xfxx则曲线)(xfy 有垂直渐近线.0 xx )(0 xx或例例. 求曲线211xy的渐近线 .解解:2)211(limxx2 y为水平渐近线;,)211(lim1xx1 x为垂直渐近线.21机动 目录 上页 下页 返回 结束 (一一)导数的定义导数的定义定义定义1 . 设函数)(xfy 在点0 x0limxx00)()(xxxfxfxyx0lim存在,)(
7、xf并称此极限为)(xfy hxfhxfh)()(lim000则称函数若的某邻域内有定义 , 在点0 x处可导可导, 在点0 x的导数导数. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第二章第二章 导数与微分导数与微分1. 设)(0 xf 存在 , 则._)()(lim000hxfhxfh)(0 xf 机动 目录 上页 下页 返回 结束 导数的定义也是特殊的极限形式导数的定义也是特殊的极限形式 注意标准形式注意标准形式2. 设)(0 xf 存在 , 则()()lim_ .0002hf x + hf xhh()0fx二、复合函数求导法则二、复合函数求导法则 三、隐函数的求导问题三、隐函数的求导问题 一
8、、四则运算求导法则一、四则运算求导法则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 ( (二二) )函数的求导法则函数的求导法则 四、参数方程的求导问题四、参数方程的求导问题 五、求高阶导数问题五、求高阶导数问题 求导首先要熟悉求导公式求导首先要熟悉求导公式 (P87) )(C0 )(x1x )(sin xxcos )(cosxxsin )(tan xx2sec )(cot xx2csc )(secxxxtansec )(cscxxxcotcsc )(xaaaxln )(xexe )(log xaaxln1 )(ln xx1 )(arcsin x211x )(arccosx211x )(arctan
9、x211x )cot(arcx211x机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 有限次四则运算的求导法则 )(vuvu )( uCuC )( vuvuvuvu2vvuvu( C为常数 )0( v3. 复合函数求导法则)(, )(xuufyxydd)()(xufuyddxudd机动 目录 上页 下页 返回 结束 1. 微分概念 微分的定义及几何意义 可导可微2. 微分运算法则微分形式不变性 :uufufd)()(d( u 是自变量或中间变量 )机动 目录 上页 下页 返回 结束 ( (三三). ). 微分微分例例. 在下列括号中填入适当的函数使等式成立:xxd) d() 1 (tt dcos)
10、d()2(221xtsin1说明说明: 上述微分的反问题是不定积分要研究的内容.CC注意 目录 上页 下页 返回 结束 注意: 数学中的反问题往往出现多值性.1. 熟悉罗尔定理与拉格朗日定理机动 目录 上页 下页 返回 结束 第三章第三章 中值定理与导数应用中值定理与导数应用2. 会用定理证明某些中值问题等式与不等式( (一一) )关于中值定理关于中值定理 罗尔（罗尔（ Rolle ）中值定理）中值定理)(xfy 满足:(1) 在区间 a , b 上连续(2) 在区间 (a , b) 内可导(3) f ( a ) = f ( b ),使. 0)(fxyoab)(xfy 在( a , b ) 内
11、至少存在一点机动 目录 上页 下页 返回 结束 拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理(1) 在区间 a , b 上连续)(xfy 满足:(2) 在区间 ( a , b ) 内可导至少存在一点, ),(ba使.)()()(abafbffxyoab)(xfy 拉氏 目录 上页 下页 返回 结束 1. 设,0)(Cxf且在),0(内可导, 证明至少存在一点, ),0(使.cot)()(ff提示提示: 由结论可知, 只需证0cos)(sin)(ff即0sin)(xxxf验证)(xF在,0上满足罗尔定理条件.设xxfxFsin)()(机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 若)(xf可导, 试证在其两个零
12、点间一定有)()(xfxf的零点. 提示提示: 设,0)()(2121xxxfxf欲证:, ),(21xx使0)()(ff只要证0)()(ffee亦即0 )(xxxfe作辅助函数, )()(xfexFx验证)(xF在,21xx上满足罗尔定理条件.机动 目录 上页 下页 返回 结束 证明： lnabaababb3. 设 0,a b证明证明：,b x 0,0 = 00 = 20fxx xxfffxxxf所以所以1是极小值，零是拐点是极小值，零是拐点 例例. 10( )= ( )( ), ( )= ( )d0，F xf xf tt Fxfx则则 ( )( )= ( )=010F xFF( )0,1f
13、 x设设在在上上连连续续且且单单调调减减少少, , (0,1),a试试证证：对对任任何何有有100( )( )ddaf xxaf xx证证:机动 目录 上页 下页 返回 结束 (), ( )= ( )= 0,1010，xFF且且，所所以以是是凸凸函函数数中中间间极极大大，两两头头极极小小即即100( )=( )( ),ddxF xf ttxf tt设设 (四四) 广义定积分广义定积分-收敛与发散收敛与发散机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、无界函数的反常积分二、无界函数的反常积分一、无穷限的反常积分一、无穷限的反常积分与定积分求法一样，仍用与定积分求法一样，仍用牛牛 莱公式莱公式带入带入,
14、)()(的原函数是若xfxF引入记号; )(lim)(xFFx)(lim)(xFFx则有类似牛 莱公式的计算表达式 :xxfad)()(xFa)()(aFFxxfbd)()(xFb)()(FbFxxfd)()(xF)()(FF机动 目录 上页 下页 返回 结束 注意注意 两个重要的反常积分apxxdbaqaxx)(d1p1p)0( abaqxbx)(d1q,1)(1qabq1q,) 1(11pap机动 目录 上页 下页 返回 结束 机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考思考: ?01d2对吗xxx分析分析:)1ln(211d22xxxx原积分发散 !注意注意: 对反常积分, 只有在收敛的条件
15、下才能使用“偶倍奇零” 的性质, 否则会出现错误 .更要注意定积分更要注意定积分偶倍奇零性质在广义积分里的偶倍奇零性质在广义积分里的112dxx211111x下述解法是否正确: , 积分收敛机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例. 讨论反常积分112dxx的收敛性 . 解解:112dxx012dxx102dxx101x011x所以反常积分112dxx发散 .(四四) 定积分应用定积分应用-主要是求面积、求旋转体的主要是求面积、求旋转体的 体积、以及求弧长体积、以及求弧长机动 目录 上页 下页 返回 结束 1. 画草图；画草图； 2. 求交点；求交点；3. 选择变量；选择变量； 4. 写出定积
16、分并求之写出定积分并求之注意解题时的步骤：注意解题时的步骤：xxy22oy4 xy例例. 计算抛物线xy22与直线的面积 . 解解: 由xy224 xy得交点)4,8( , )2,2()4,8(yyyAd)4(d221184 xy所围图形)2,2(221yy442361y为简便计算, 选取 y 作积分变量,则有yyyd42A机动 目录 上页 下页 返回 结束 xyoabxyoab)(xfy 特别 , 当考虑连续曲线段2)(xf轴旋转一周围成的立体体积时, 有轴绕xbxaxfy)()(xdbaV当考虑连续曲线段)()(dycyx绕 y 轴旋转一周围成的立体体积时,有2)(yyddcVxxoy)(yxcdy机动 目录 上页 下页 返回 结束 sdyxabo(1) 曲线弧由直角坐标方程给出:)()(bxaxfy)(xfy xxxdxysbad12xxfbad)(12机动 目录 上页 下页 返回 结束 曲线的弧长-见P282页(2) 曲线弧由参数方程给出:)()()(ttytx所求弧长tttsd)()(22机动 目录 上页 下页 返回 结束 (3) 曲线弧由极坐标方程给出:)()( rr所求弧长d)()(22rrs掌握基本概念掌握基本概念机动 目录 上页 下页 返回 结束 复习注意复习注意完成基本练习完成基本练习熟悉基本方法熟悉基本方法
