1、14.1 向量组及其线性组合向量组及其线性组合n 定义定义1: n 个有次序的数个有次序的数a1, a2, , an所组成的数组所组成的数组称为称为n维向量维向量, 这这n个数称为该向量的个数称为该向量的n个个分量分量, 第第 i 个个数数ai 称为第称为第 i 个分量个分量. 分量分量全全为实数的向量称为为实数的向量称为实向量实向量, 分量为复数的分量为复数的向量称为向量称为复向量复向量.例如例如: (1, 2, , n)为为 n 维实向量维实向量.(1+2i, 2+3i, , n+(n+1)i )为为 n 维复向量维复向量.第第2个分量个分量第第n个分量个分量第第1个分量个分量2).,(2
2、1nTaaa . 21 naaa 写成一行的写成一行的 n 维向量维向量, 称为称为行向量行向量, 也就是行矩阵也就是行矩阵,通常用通常用aT, bT, T, T 等表示等表示, 如如: 写成一列的写成一列的 n 维向量维向量, 称为称为列向量列向量, 也就是列矩阵也就是列矩阵,通常用通常用a, b, , 等表示等表示, 如如:注意注意: 1. 行向量和列向量总被看作是行向量和列向量总被看作是不同的向量不同的向量; 2. 行向量和列向量都按照行向量和列向量都按照矩阵运算法则矩阵运算法则进行运算进行运算; 3. 当没有明确说明是行向量还是列向量时当没有明确说明是行向量还是列向量时, 都当都当作作
3、列向量列向量.3 向量向量 解析几何解析几何线性代数线性代数既有大小又有方向的量既有大小又有方向的量有次序的实数组成的数组有次序的实数组成的数组几何形象几何形象:可随意平可随意平行移动的有向线段行移动的有向线段代数形象代数形象:向量向量的坐标表示式的坐标表示式当当 n 3 时时,Tzyxr),( 4 空间空间 解析几何解析几何线性代数线性代数点空间点空间:点的集合点的集合向量空间向量空间:向量的集合向量的集合代数形象代数形象:向量向量空间中的平面空间中的平面),(dczbyaxrzyxT 几何形象几何形象:空间空间曲线、空间曲面曲线、空间曲面),(dczbyaxzyx ),(zyxPTzyxr
4、),( 一一对应一一对应点点(x, y, z)的集合的集合平面平面向量向量(x, y, z)T的集合的集合5 若干个同维数的列向量若干个同维数的列向量(或同维数的行向量或同维数的行向量)所组所组成的集合叫做成的集合叫做向量组向量组.例如例如: 矩阵矩阵A=(aij)m n有有n个个m维列向量维列向量: aaaaaaaaaaaamnmjmmnjnjA21222221111211a1a2ajan向量组向量组a1, a2, an称为矩阵称为矩阵A的的列向量组列向量组. 当当 n 3 时时, 向量不再有向量不再有“几何几何”意义意义, 仍沿用几仍沿用几何空间的名词何空间的名词. 但其意义更为广泛但其意
5、义更为广泛.,|),(2121RxxxxxxxRnTnn 叫做叫做n 维向量空间维向量空间.6 aaaaaaaaaaaamnmminiinnA21212222111211T1 T2 Ti Tm 向量组向量组 1T, 2T, mT 称为矩阵称为矩阵A的的行向量组行向量组. 反之反之, 由有限个向量所组成的向量组可以构成一由有限个向量所组成的向量组可以构成一个矩阵个矩阵. n个个m维列向量所组成的向量组维列向量所组成的向量组a1, a2, an构成一构成一个个m n矩阵矩阵),( 21naaaA 类似地类似地, 矩阵矩阵A=(aij)m n有有m个个n 维行向量维行向量:7 TmTTA 21线性方
6、程组的向量表示线性方程组的向量表示方程组与增广矩阵的列向量组之间方程组与增广矩阵的列向量组之间一一对应一一对应. mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111bxaxaxann 2211 m个个n维行向量所组成的向量组维行向量所组成的向量组 1T, 2T, mT 构构成一个成一个m n矩阵矩阵8 定义定义: 给定向量组给定向量组A: 1, 2, , m, 对于任何一组对于任何一组实数实数k1, k2, ,km, 向量向量k1 1 + k2 2 + + km m称为称为向量组向量组A: 1, 2, m的一个的一个线性组合线性组合, k1,
7、 k2, , km称为这个称为这个线性组合的线性组合的系数系数. 给定向量组给定向量组A: 1, 2, , m和和向量向量b, 如果存在一如果存在一组数组数 1, 2, , m, 使使b = 1 1 + 2 2 + + m m则向量则向量b是向量组是向量组A的线性组合的线性组合, 这时称这时称向量向量b能由向能由向量组量组A线性表示线性表示. 即线性方程组即线性方程组x1 1 + x2 2 + + xm m = b有解有解. 定理定理1: 向量向量b能由向量组能由向量组A: 1, 2, , m线性表线性表示的充分必要条件是矩阵示的充分必要条件是矩阵A=( 1, 2, , m)与矩阵与矩阵B=(
8、 1, 2, , m, b)的秩相等的秩相等.9 定义定义: 设有两设有两向量组向量组A: 1, 2, , m 与与 B: 1, 2, , s .若若B组中的每一个向量都能由组中的每一个向量都能由A组线性表示组线性表示, 则称则称向量向量组组B能由向量组能由向量组A线性表示线性表示; 若向量组若向量组B与向量组与向量组A可可以相互线性表示以相互线性表示, 则称这则称这两个向量组等价两个向量组等价. 若若记记A=( 1, 2, , m)和和B=( 1, 2, , s), 向量组向量组B能由向量组能由向量组A线性表示线性表示, 即对每一个向量即对每一个向量 j ( j =1, 2, s ), 存在
9、数存在数k1j, k2j, , kmj , 使使 j = k1j 1+ k2j 2 + + kmj m,),2121 mjjjmjkkk （即即10 ),(21s 从而从而 msmmssmkkkkkkkkk21222211121121), （矩阵矩阵K=(kij)m s称为这一称为这一线性表示的线性表示的系数矩阵系数矩阵. 若若Cm n=Am sBs n , 则矩阵则矩阵C的列向量组能由矩阵的列向量组能由矩阵A的列向量组线性表示的列向量组线性表示, B为这一表示的系数矩阵为这一表示的系数矩阵: snssnnsnkkbbbbbbbaaaccc2122221112112121),(),( 同时同时
10、, C的行向量组能由的行向量组能由B的行向量组线性表示的行向量组线性表示, A为这一表示的系数矩阵为这一表示的系数矩阵:11 TsTTmsmmssTmTTaaaaaaaaa 2121222211121121 设矩阵设矩阵A经初等行变换变成经初等行变换变成B, 则则B的每个行向量的每个行向量都是都是A的行向量组的线性组合的行向量组的线性组合, 即即B的行向量组能由的行向量组能由A的行向量组线性表示的行向量组线性表示. 由初等变换可逆性可知由初等变换可逆性可知: A的行的行向量组也能由向量组也能由B的行向量组线性表示的行向量组线性表示. 于是于是, A的行向的行向量组与量组与B的行向量组等价的行向
11、量组等价. 类似地类似地, 若矩阵若矩阵A经初等列变换变成经初等列变换变成B, 则则A的列向的列向量组与量组与B的列向量组等价的列向量组等价. 若若向量组向量组B: 1, 2, , s能由向量组能由向量组A: 1, 2, , m线性表示线性表示, 即存在矩阵即存在矩阵K, 使使( 1, 2, , s)=( 1, 2, , m)K12也就是说矩阵方程也就是说矩阵方程( 1, 2, , m)X=( 1, 2, , s)有解有解. 则由上一章的结论可得则由上一章的结论可得: 定理定理2: 向量组向量组B: 1, 2, , s能由向量组能由向量组A: 1, 2, m线性表示的充分必要条件是线性表示的充
12、分必要条件是矩阵矩阵A=( 1, 2, , m)的秩与矩阵的秩与矩阵(A|B)=( 1, 2, , m, 1, , s)的秩相的秩相等等, 即即R(A)=R(A|B). 推论推论: 向量组向量组A: 1, 2, m与与向量组向量组B: 1, 2, , s等价的等价的充分必要条件是充分必要条件是R(A)=R(B)=R(A|B),其中其中A和和B是由向量组是由向量组A和和B所构成的矩阵所构成的矩阵.R(A)=R(A|B)事实上事实上,=R(B|A)=R(B)13 定理定理3: 若若向量组向量组B: 1, 2, , s能由向量组能由向量组A: 1, 2, , m线性表示线性表示, 则则R( 1, 2
13、, , s) R( 1, 2, , m),即即R(B) R(A). 以上内容建立的以上内容建立的基础基础是有限个向量的向量组与矩是有限个向量的向量组与矩阵的对应阵的对应, 从而有如下对应从而有如下对应: 若若向量组向量组B: 1, 2, , s能由向量组能由向量组A: 1, 2, , m线性表示线性表示 有矩阵有矩阵K, 使使( 1, 2, , s)=( 1, 2, , m)K 矩阵方程矩阵方程( 1, 2, , m)X=( 1, 2, , s)有解有解.一般地一般地, R(B) R(A|B), R(A) R(A|B),则有则有14 1. 对方程组对方程组A的各个方程作线性运算所得到的一的各个
14、方程作线性运算所得到的一个方程称为个方程称为方程组方程组A的一个线性组合的一个线性组合; 2. 若方程组若方程组B的每一个方程都是方程组的每一个方程都是方程组A的线性的线性组合组合, 则称则称方程组方程组B能由方程组能由方程组A线性表示线性表示, 此时方程此时方程组组A的解一定是方程组的解一定是方程组B的解的解; 3. 若方程组若方程组A与方程组与方程组B能相互能相互线性表示线性表示, 则称则称方方程组程组A与方程组与方程组B等价等价, 等价方程组是同解的等价方程组是同解的. 向量组的向量组的线性组合线性组合, 线性表示线性表示, 等价等价等概念的一个等概念的一个重要应用是用来描述重要应用是用
15、来描述线性方程组线性方程组:例例1: 设设证明向量证明向量b能由向量组能由向量组a1, a2, a3线性表示线性表示, 并求表示式并求表示式.,1301,0411,3121,2211321 baaa15 证明证明: 要证向量要证向量b能由向量组能由向量组a1, a2, a3线性表示线性表示, 需需要证明要证明: 矩阵矩阵A=(a1, a2, a3)与与B=(a1, a2, a3, b)的秩相等的秩相等. B = 1032341201211111 0000000012102301行变换行变换可知可知, R(A)=R(B),因此因此, 向量向量b能由向量组能由向量组a1, a2, a3线性表示线性
16、表示.由由B的行最简形可得方程组的行最简形可得方程组Ax=b通解为通解为: ccccx1223012123故表示式为故表示式为: b=(a1, a2, a3)x=(3c+2)a1+(2c1)a2+ca3,其中其中c为任意常数为任意常数. b=2a1a2.为此将为此将B化为行最简形化为行最简形:特别地特别地, 取取c =0, 得表示式为得表示式为:16例例2: 设设证明向量组证明向量组a1, a2与向量组与向量组b1, b2, b3等价等价.,0213,2011,1102,3113,111132121 bbbaa证明证明: 记记A=(a1, a2), B=(b1, b2, b3). 论论, 只需
17、证只需证R(A)=R(B)=R(A|B). 将将(A|B)化为行阶梯形化为行阶梯形:根据定理根据定理2的推的推行变换行变换(A|B) = 02131201111101131231 00000000001112031231得得R(A) =R(A|B)=2.又容易看出又容易看出B中有中有2阶非零子式阶非零子式,则则 2 R(B)R(A)=R(B)=R(A|B).因此因此故故 R(B)=2. R(A|B)=2.17 例例3: n 阶单位矩阵阶单位矩阵E=(e1, e2, , en)的列向量称为的列向量称为n维单位坐标向量维单位坐标向量. 证明证明: n维单位坐标向量组维单位坐标向量组E: e1, e
18、2, , en能由能由n m矩阵矩阵A=(a1, a2, , am)的列向量组的列向量组A: a1, a2, , am线性表示的充分必要条件是线性表示的充分必要条件是R(A)=n. 证明证明: 根据定理根据定理2, 向量组向量组E: e1, e2, , en能由向量能由向量组组A线性表示的充分必要条件是线性表示的充分必要条件是R(A)=R(A|E).因此因此R(A)=R(A|E)=n.故故R(A|E) n,而而 R(A|E) R(E)=n,又因矩阵又因矩阵(A|E)仅有仅有n行行,本例的结论本例的结论用矩阵方程的方式可描述为用矩阵方程的方式可描述为:矩阵方程矩阵方程An mX=E有解的充分必要
19、条件是有解的充分必要条件是R(A)=n.18 1. n维向量的概念维向量的概念, 实向量实向量, 复向量复向量; 2. 向量的表示方法向量的表示方法, 行向量与列向量行向量与列向量; 3. 向量向量, 向量组及线性组合与线性表示的概念向量组及线性组合与线性表示的概念, 由矩阵的秩给出判定的结论由矩阵的秩给出判定的结论; 4. 有限个向量的向量组与矩阵和线性方程组之有限个向量的向量组与矩阵和线性方程组之间的联系间的联系.用矩阵的方式可描述为用矩阵的方式可描述为: 对矩阵对矩阵Am n, 存在存在Qn m使使AQ=Em的充分必要条件是的充分必要条件是R(A)=m.存在存在Pn m使使PA=En的充
20、分必要条件是的充分必要条件是R(A)=n. 当当A为为n阶方阵时阶方阵时, P, Q就是就是A的逆矩阵的逆矩阵. 因此因此, 上上述结论可以看作逆矩阵概念的推广述结论可以看作逆矩阵概念的推广.19 定义定义: 给定向量组给定向量组A: 1, 2, , m , 如果存在不全如果存在不全为零的数为零的数 k1, k2, ,km , 使使k1 1 + k2 2 + + km m = O则称向量组则称向量组A是是线性相关线性相关的的, 否则称它是否则称它是线性无关线性无关. 注注1: 对于任一向量组而言对于任一向量组而言, 不是线性无关的就是不是线性无关的就是线性相关的线性相关的. 注注2: 若若 1
21、, 2, , m线性无关线性无关, 则只有当则只有当 1= 2 = = m=0时时, 才有才有 1 1 + 2 2 + + m m = O成立成立. 注注3: 向量组只包含一个向量向量组只包含一个向量 时时,若若 =O则说则说 线线性相关性相关; 若若 O, 则说则说 线性无关线性无关. 注注4: 包含零向量的任何向量组是线性相关的包含零向量的任何向量组是线性相关的.4.2 向量组的线性相关性向量组的线性相关性20 证明证明: 充分性充分性. 设设 1, 2, , m中有一个向量中有一个向量(比比如如 m )能由其余向量线性表示能由其余向量线性表示, 注注5: 对于含有两个向量的向量组对于含有
22、两个向量的向量组, 它线性相关的它线性相关的充要条件是两向量的分量对应成比例充要条件是两向量的分量对应成比例, 几何意义是两几何意义是两向量共线向量共线; 三个向量线性相关的几何意义是三向量共三个向量线性相关的几何意义是三向量共面面. 结论结论: 向量组向量组 1, 2, , m (当当 m 2 时时)线性相关线性相关的充分必要条件是的充分必要条件是 1, 2, , m中至少有一个向量可中至少有一个向量可由其余由其余 m1个向量线性表示个向量线性表示.即有即有也就是也就是 m = 1 1 + 2 2 + + m1 m1 1 1 + 2 2 + + m1 m1 + (-1) m =O因因 1,
23、2, , m1, (-1)这这m个数不全为个数不全为0,故故 1, 2, , m线性相关线性相关.21必要性必要性. 设设 1, 2, , m线性相关线性相关.则有不全为则有不全为0的的数数k1, k2, ,km, 使使k1 1 + k2 2 + + km m =O.)()()(13132121mmkkkkkk 不妨设不妨设k1 0,即即 1能由其余向量线性表示能由其余向量线性表示.线性相关性在线性方程组中的应用线性相关性在线性方程组中的应用 若方程组中有某个方程是其余方程的线性组合时若方程组中有某个方程是其余方程的线性组合时,这个方程就是多余的这个方程就是多余的, 这时称方程组这时称方程组(
24、各个方程各个方程)是是线线性相关的性相关的; 当方程组中没有多余方程当方程组中没有多余方程, 就称该就称该方程组方程组(各个方程各个方程)线性无关线性无关或或线性独立的线性独立的.证毕证毕 则有则有22 结论结论: 向量组向量组A线性相关等价于齐次线性方程组线性相关等价于齐次线性方程组x1 1 + x2 2 + + xm m=O即即Ax=O有非零解有非零解, 其中其中A=( 1, 2, , m). 定理定理4: 向量组向量组 1, 2, , m线性相关的充分必要线性相关的充分必要条件是它所构成的矩阵条件是它所构成的矩阵A=( 1, 2, , m)的秩小于向的秩小于向量个数量个数m; 向量组线性
25、无关的充分必要条件是向量组线性无关的充分必要条件是R(A)=m.由此可得由此可得:下面举例说明定理下面举例说明定理4的应用的应用.例例1: 讨论讨论n维单位坐标向量组维单位坐标向量组的线性相关性的线性相关性.解解: n维单位坐标向量组构成的矩阵为维单位坐标向量组构成的矩阵为n阶单位矩阶单位矩由由| E |=1 0 知知, R(E)=n.阵阵.故由定理故由定理4知知: n维单位坐标维单位坐标向量组是线性无关的向量组是线性无关的.即即R(E)等于组中向量个数等于组中向量个数.23,742,520,111321 例例2: 已知已知 试讨论向量组试讨论向量组 1, 2, 3及及 1, 2的线性相关性的
26、线性相关性. 解解: 分析分析 对矩阵对矩阵( 1, 2, 3)作初等行变换变成行作初等行变换变成行阶梯形矩阵阶梯形矩阵, 可同时看出矩阵可同时看出矩阵( 1, 2, 3)及及( 1, 2)的秩的秩, 利用定理利用定理4即可得出结论即可得出结论. 751421201),(321 2253rr ， 0002202011312rrrr 550220201可见可见, R( 1, 2, 3)=2, 故向量组故向量组 1, 2, 3线性相关线性相关, 而而R( 1, 2)=2, 故向量组故向量组 1, 2线性无关线性无关.24 000322131xxxxxx 例例3: 已知向量组已知向量组a1, a2,
27、 a3线性无关线性无关, 试证向量组试证向量组b1=a1+a2, b2=a2+a3, b3=a3+a1线性无关线性无关.证一证一: 设有设有x1, x2, x3, 使使x1 b1 + x2 b2 + x3b3 =O即即 x1(a1+a2) + x2(a2+a3) + x3(a3+a1) = O,亦即亦即 (x1+x3)a1 + (x1+x2)a2 + (x2+x3)a3 = O,因因向量组向量组a1, a2, a3线性无关线性无关, , 02110011101 由于此方程组的系数行列式由于此方程组的系数行列式故方程组只有零解故方程组只有零解, 即只有即只有x1=x2=x3=0, 因此由定义得因
28、此由定义得, 向量组向量组b1, b2, b3线性无关线性无关.所以所以25证二证二: 将将b1=a1+a2, b2=a2+a3, b3=a3+a1表示为矩阵表示为矩阵等式等式(b1, b2, b3) = (a1,a2, a3),110011101 记为记为B=AK, 并代入并代入3元齐次线性方程组元齐次线性方程组Bx=0, 得得(AK)x=0, 即即A(Kx)=0,由于由于a1,a2, a3线性无关线性无关, 即即R(A)=3, 从而从而Kx=0,又因为又因为| K |= 2 0知知, 齐次方程组齐次方程组Kx=0只有零解只有零解.因此因此, 齐次方程组齐次方程组Bx=0只有零解只有零解.
29、故故R(B)=3.因此由定理因此由定理4得得, 向量组向量组b1, b2, b3线性无关线性无关.证三证三: 由由证二得证二得B=AK, 因为因为| K |= 2 0知知K可逆可逆,由矩阵秩的性质由矩阵秩的性质4得得: R(B)=R(AK)=R(A)=3因此由定理因此由定理4得得, 向量组向量组b1, b2, b3线性无关线性无关.26 本例给出的三种证明方法都是证明向量组线性无本例给出的三种证明方法都是证明向量组线性无关性的常用方法关性的常用方法. 证一是依据定义的证明方法证一是依据定义的证明方法, 即向量组的线性组即向量组的线性组合为零的组合系数只能都为零合为零的组合系数只能都为零; 证二
30、的证明过程与证一相同，只是在叙述时改用证二的证明过程与证一相同，只是在叙述时改用矩阵形式矩阵形式; 证三是利用定理证三是利用定理4, 采用矩阵形式，过程利用了矩采用矩阵形式，过程利用了矩阵秩的性质阵秩的性质.线性相关性是向量组的重要性质线性相关性是向量组的重要性质, 给出如下结论给出如下结论: 定理定理5: (1)若向量组若向量组A: 1, 2, , m线性相关线性相关, 则则向量组向量组B: 1, 2, , m, m+1也线性相关也线性相关; 反言之反言之, 若若向量组向量组B线性无关线性无关, 则向量组则向量组A也线性无关也线性无关. (2) m个个n维向量组成的向量组维向量组成的向量组,
31、 当当nm时一定线性时一定线性相关相关.27), 2 , 1(, 12121mjaaaaaaajrrjjjjrjjjj (4)设设即即 j 添上一个分量后得向量添上一个分量后得向量 j . 若向量组若向量组A: 1, 2, , m线性无关线性无关, 则向量组则向量组B: 1, 2, , m也线性无关也线性无关; 反反言之言之, 若向量组若向量组B线性相关线性相关, 则向量组则向量组A也线性相关也线性相关. (3) 设向量组设向量组A: 1, 2, , m线性无关线性无关, 而向量组而向量组B: 1, 2, , m, 线性相关线性相关, 则向量则向量 必能由向量组必能由向量组A线性表示线性表示,
32、 且表示式是唯一的且表示式是唯一的.28(1) 记记A=( 1, 2, , m), B= ( 1, 2, , m, m+1),则有则有: R(B) R(A)+1.若若向量组向量组A线性相关线性相关, 则则由定理由定理4知知R(A)m,从而从而R(B) R(A)+1m+1.因此因此, 根据定理根据定理4得得, 向量组向量组B线性相关线性相关. 结论结论(1)可推广为可推广为: 一个向量组若有线性相关的一个向量组若有线性相关的部部分组分组, 则该向量组必线性相关则该向量组必线性相关. 特别地含特别地含有有零向量零向量的向的向量组必线性相关量组必线性相关; 反之反之, 若一个向量组线性无关若一个向量
33、组线性无关, 则它则它的任何部分组都线性无关的任何部分组都线性无关.证明证明: 本定理的本定理的4个结论均由定理个结论均由定理4证明证明. (2) m个个n维向量维向量 1, 2, , m构成的矩阵构成的矩阵A=( 1, 2, , m)n m, 有有R(A) n, 因此因此, 当向量维数当向量维数n小于向量组向量个数小于向量组向量个数m时时, 由定由定理理4知知, 该向量组一定线性相关该向量组一定线性相关.若若nm, 则则R(A)m.29根据定理根据定理4, 由向量组由向量组A线性无关得线性无关得(4) 记记A=( 1, 2, , m)r m, B=( 1, 2, , m)(r+1) m,则有
34、则有R(A) R(B).从而有从而有R(B) m,R(A)=m,但但R(B) m (因因B只有只有m列列),故故R(B)=m. 因此因此, 根据定理根据定理4得得, 向量组向量组B线性无关线性无关. 结论结论(4)是对增加一个分量是对增加一个分量(即维数增加即维数增加1维维)而言而言的的, 增加多个分量时增加多个分量时, 结论也成立结论也成立.(3) 记记A=( 1, 2, , m), B= ( 1, 2, , m, ),则有则有R(A) R(B). 根据定理根据定理4, 由向量组由向量组A线性无关得线性无关得R(A)=m, 由向量组由向量组B线性相关得线性相关得, R(B)m+1,故故 m
35、R(B)m+1, 即有即有R(B)=m.再由再由R(A)=R(B)=m知知, 方程组方程组Ax= 有唯一解有唯一解,即即向量向量 能由向量组能由向量组A线性表示线性表示, 且表示式唯一且表示式唯一.30 例例3: 设向量组设向量组a1, a2, a3线性相关线性相关, 向量组向量组a2, a3, a4线性无关线性无关. 证明证明(1) a1能由能由a2, a3线性表示线性表示;(2) a4不能由不能由a1, a2, a3线性表示线性表示. 证明证明(1): 由于向量组由于向量组a2, a3, a4线性无关线性无关, 则由定理则由定理5之结论之结论(1)知向量组知向量组a2, a3线性无关线性无
36、关. 又由于向量组又由于向量组a1, a2, a3线性相关线性相关, 则由定理则由定理5之结之结论论(3)知知, 向量向量a1能由能由a2, a3线性表示线性表示, 且表示式唯一且表示式唯一.证明证明(2): 用反证法用反证法. 若若a4能由能由a1, a2, a3线性表示线性表示.而而a1能由能由a2, a3线性表示线性表示, 则则 a4能由能由a2, a3线性表示线性表示.但这与但这与a2, a3, a4线性无关线性无关矛盾矛盾,所以所以, a4不能由不能由a1, a2, a3线性表示线性表示.31 1. 线性相关与线性无关的概念线性相关与线性无关的概念; 线性相关性在线线性相关性在线性方
37、程组中的应用性方程组中的应用(重点重点); 2. 线性相关与线性无关的判定方法线性相关与线性无关的判定方法: 定义定义, 5个定个定理理(难点难点).324.3 向量组的秩向量组的秩 定义定义1: 设有向量组设有向量组A, 如果在如果在A中能选出中能选出r个向量个向量A0: 1, 2, r, 满足满足 (1)向量组向量组A0: 1, 2, r 线性无关线性无关; (2)向量组向量组A中任意中任意r+1个向量个向量(如果存在的话如果存在的话)都线都线性相关性相关. 则称向量组则称向量组A0是向量组是向量组A的一个的一个最大线性无最大线性无关向量组关向量组(简称简称最大无关组最大无关组). 最大无
38、关组所含向量的个数最大无关组所含向量的个数r 称为称为向量组的秩向量组的秩, 记记作作RA. 只含零向量的向量组没有最大无关组只含零向量的向量组没有最大无关组, 规定规定它的它的秩为秩为0.33说明说明(2): 向量组与它的最大无关组是等价的向量组与它的最大无关组是等价的.,742,520,111321 例如例如:知知R( 1, 2, 3)=2, 即即 1, 2, 3线性相关线性相关, 而而 1, 2 和和 2, 3都线性无关都线性无关, 所以所以 1, 2 和和 2, 3都是都是 1, 2, 3的最的最 大无关组大无关组.设设A0: 1, 2, , n是向量组是向量组A的一个的一个最大无关组
39、最大无关组. 则显然则显然A0可由可由A线性表示线性表示. A0中得到向量组中得到向量组 1, 2, , n, 是是线性相关的线性相关的,对对A中任意向量中任意向量 将其加入将其加入 节定理节定理5的结论的结论(3)知知, 可可A0由线性表示由线性表示,则由上则由上可由它的可由它的最大无关组最大无关组A0线性表示线性表示.从而向量组从而向量组A所以所以, 向量组与它的最大无关组是等价的向量组与它的最大无关组是等价的.说明说明(1): 最大无关组不唯一最大无关组不唯一.34 定理定理6: 矩阵的秩等于它的列向量组的秩矩阵的秩等于它的列向量组的秩, 也等于也等于它的行向量组的秩它的行向量组的秩.证
40、明证明: 设设A=( 1, 2, , m), R(A)=r, 并设其并设其r 阶子式阶子式 Dr 0.线性无关线性无关, 根据上节的定理根据上节的定理4, 由由Dr 0知知, Dr所在的列向量组所在的列向量组又由于又由于A中所有中所有r+1阶子式均为零知阶子式均为零知, A中任中任类似可证类似可证A的行向量组的秩也等于的行向量组的秩也等于R(A).意意r+1个个列向量都线性相关列向量都线性相关.因此因此Dr所在的所在的r列是列是A的列的列向量组向量组 1, 2, , m的秩也记作的秩也记作R( 1, 2, , m). 结论结论: 若若Dr是矩阵是矩阵A的一个最高阶非零子式的一个最高阶非零子式,
41、 则则Dr所在的所在的r 列即是列即是A的列向量组的一个最大无关组的列向量组的一个最大无关组, Dr所所在的在的r 行即是行即是A的行向量组的一个最大无关组的行向量组的一个最大无关组.所以所以A的列向量组的秩等于的列向量组的秩等于r.向量的一个最大无关组向量的一个最大无关组,35 例例1: 全体全体n维实向量构成的向量组记作维实向量构成的向量组记作Rn, 求求Rn的一个最大无关组及的一个最大无关组及Rn的秩的秩.解解: 因为因为n维单位坐标向量维单位坐标向量构成的向量组构成的向量组 E: e1, e2, , en是线性无关的是线性无关的. . 又根据上节定理又根据上节定理5的结论的结论(3)知
42、知, Rn中的任意中的任意n+1个个向量都是线性相关的向量都是线性相关的, 因此向量组因此向量组E是是Rn的一个最大的一个最大无关组无关组, 且且Rn的秩等于的秩等于n. 推论推论(最大无关组的等价定义最大无关组的等价定义): 设有向量组设有向量组A0: 1, 2, r 是是向量组向量组A的一个部分组的一个部分组, 且满足且满足: (1)向量组向量组A0: 1, 2, r 线性无关线性无关; (2)向量组向量组A的任意向量都能由向量组的任意向量都能由向量组A0线性表示线性表示;则向量组则向量组A0是向量组是向量组A的一个的一个最大无关组最大无关组.36求求A矩阵的列向量组的一个最大无关组矩阵的
43、列向量组的一个最大无关组, 并把不属于并把不属于最大无关组的列向量用最大无关组线性表示最大无关组的列向量用最大无关组线性表示.,97963422644121121112 例例2: 设矩阵设矩阵A = 实际上实际上, 依定义只需证明向量组依定义只需证明向量组A中的任意中的任意r +1个个向量都线性相关即可向量都线性相关即可.设设b1, b2, , br+1为向量组为向量组A中的任意中的任意r +1个向量个向量,由条件由条件(2)知知, 这这r +1个向量可以由向量组个向量可以由向量组A0线性表示线性表示,则由定理则由定理4可知可知:R(b1, b2, , br+1) R( 1, 2, r )=r
44、,再由定理再由定理4可得可得: 向量组向量组b1, b2, , br+1线性相关线性相关,则由定义知则由定义知: 向量组向量组A0是向量组是向量组A的一个最大无关组的一个最大无关组.37,00000310000111041211 A 得得R(A)=3.故列向量组的最大无关组含故列向量组的最大无关组含3个向量个向量.个非零行的非零首元在个非零行的非零首元在1, 2, 4三列三列.量组的一个最大无关组量组的一个最大无关组.而三而三故故 1, 2, 4为列向为列向事实上事实上 763264111112 000100110111初等行变换初等行变换 ( 1, 2, 4) =知知R( 1, 2, 4)=
45、3, 故故 1, 2, 4线性无关线性无关. 要把要把 3, 5用用 1, 2, 4线性表示必须将线性表示必须将A再变成行再变成行最简形矩阵最简形矩阵.解解: 对对A施行初等施行初等行行变换变为行阶梯形矩阵变换变为行阶梯形矩阵:38.00000310003011040101 BA 初等行变换初等行变换.334 4215213 即得即得此式成立的理论依据此式成立的理论依据:由于齐次线性方程组由于齐次线性方程组Ax=0与与Bx=0同解同解,( 1, 2, 3, 4, 5)x=0与与( 1, 2, 3, 4, 5)x=0同解同解,即即设设B的列向量组为的列向量组为: 1, 2, 3, 4, 5.设其
46、解为设其解为: x1, x2, x3, x4, x5, x1 1+x2 2+x3 3+x4 4+x5 5=0与与x1 1 +x2 2 +x3 3 +x4 4 +x5 5=0同时成立同时成立.则有则有(2)(3)(1)39和和 x1=1, x2=1, x3=1, x4=0, x5=0.取其两个解取其两个解: x1=4, x2=3, x3=0, x4=3, x5=1; 这两个解由这两个解由(3)式也就是式也就是Bx=0求出求出, (3)式成立等价式成立等价于于(2)式成立式成立, 从而从而(1)式成立式成立. 以上讨论表明以上讨论表明: 如果矩阵如果矩阵Am n与与Bl n的行向量组等的行向量组等
47、价价, 则方程组则方程组Ax=0与与Bx=0同解同解, 因此因此A的列向量组各向的列向量组各向量之间与量之间与B的列向量组各向量之间有相同的线性关系的列向量组各向量之间有相同的线性关系. 如果如果B是行最简形矩阵是行最简形矩阵, 则容易看出则容易看出B的列向量组的列向量组各向量之间所具有的线性关系各向量之间所具有的线性关系, 从而也就得到从而也就得到A的列的列向量组各向量之间的线性关系向量组各向量之间的线性关系. 1+ 2+ 3=04 1+3 23 4 5=0得得.334 4215213 即即40 向量组向量组 1, 2, r 的秩为的秩为R( 1, 2, r ), 同时同时这个符号又可表示矩
48、阵这个符号又可表示矩阵A=( 1, 2, r )的秩的秩. 因此前因此前两节用矩阵的秩的方式叙述的向量组的有关结论都可两节用矩阵的秩的方式叙述的向量组的有关结论都可以用向量组的秩的方式叙述以用向量组的秩的方式叙述. 定理定理1: 向量向量b能由向量组能由向量组 1, 2, , m线性表示线性表示的充分必要条件是的充分必要条件是R=( 1, 2, , m)=R( 1, 2, , m, b). 定理定理2: 向量组向量组B: 1, 2, , s能由向量组能由向量组A: 1, 2, m线性表示的充分必要条件是线性表示的充分必要条件是R( 1, 2, , m)=R( 1, 2, , m, 1, , s
49、). 推论推论: 向量组向量组A: 1, 2, m与与向量组向量组B: 1, 2, , s等价的等价的充分必要条件是充分必要条件是R( 1, 2, m)=R( 1, 2, s)=R( 1, 2, m, 1, 2, s).41 定理定理3: 若若向量组向量组B: 1, 2, , s能由向量组能由向量组A: 1, 2, , m线性表示线性表示, 则则R( 1, 2, , s) R( 1, 2, , m). 定理定理4: 向量组向量组 1, 2, , m线性相关的充分必要线性相关的充分必要条件是条件是R( 1, 2, , m)m; 向量组线性无关的充分必向量组线性无关的充分必要条件是要条件是R( 1
50、, 2, , m)=m. 例例3: 设向量组设向量组B是向量组是向量组A的部分组的部分组, 若向量组若向量组B线性无关线性无关, 且向量组且向量组A能由向量组能由向量组B线性表示线性表示, 则向量则向量组组B是向量组是向量组A的一个最大无关组的一个最大无关组.证证: 设设向量组向量组B含含r个向量个向量, 则它的秩为则它的秩为r . 因因A组能由组能由B组线性表示组线性表示, 故故A组的秩组的秩 r . 从而从而A组中任意组中任意r +1个向量线性相关个向量线性相关,所以所以, 向量组向量组B满足最大无关组定义所规定的条件满足最大无关组定义所规定的条件.42,59354645),(,13112
