1、方 差 分 析洪金益中南大学地学院地质数据处理基础8第八章 方差分析第一节第一节 方差分析的基本问题方差分析的基本问题 第二节第二节 单因素方差分析单因素方差分析第三节第三节 双因素方差分析双因素方差分析学习目标1. 解释方差分析的概念解释方差分析的概念2. 解释方差分析的基本思想和原理解释方差分析的基本思想和原理3. 掌握单因素方差分析的方法及应用掌握单因素方差分析的方法及应用4. 掌握双因素方差分析的方法及应用掌握双因素方差分析的方法及应用第一节 方差分析的基本问题一一. 方差分析的内容方差分析的内容二二. 方差分析的原理方差分析的原理三三. F 分布分布什么是方差分析？什么是方差分析?(
2、概念要点)1. 检验多个总体均值是否相等通过对各观察数据误差来源的分析来判断多个总体均值是否相等2. 变量一个定类尺度的自变量2个或多个 (k 个) 处理水平或分类一个定距或比例尺度的因变量3. 用于分析完全随机化试验设计什么是方差分析? （一个例子）某矿物颜色对矿石品位的影响某矿物颜色对矿石品位的影响矿体矿体无色无色粉色粉色橘黄橘黄绿色绿色1234526.528.725.129.127.231.228.330.827.929.627.925.128.524.226.530.829.632.431.732.8【例【例】某矿物由于含有不同的杂质而呈现不同的颜色，而颜色不同可以直观地判断成矿环境的
3、差异。矿物的颜色共有四种，分别为橘黄色、粉色、绿色和无色透明。现根据同一个矿床中不同矿体的品位情况，分析矿物的颜色是否对矿石品位产生影响。什么是方差分析? （例子的进一步分析）1. 检验矿石的颜色对品位是否有影响，也就是检验四种颜色矿石的平均品位是否相同2. 设 1、 2、 3、 4分别为无色、粉色、橘黄色、绿色矿物的平均品位，检验下面的假设H0: 1 1 2 2 3 3 4 4 H1: 1 1 , 2 2 , 3 3 , 4 4 不全相等不全相等3. 检验上述假设所采用的方法就是方差分析方差分析的基本思想和原理方差分析的基本思想和原理（几个基本概念）1. 因素或因子所要检验的对象称为因子要分
4、析矿物的颜色对品位是否有影响，颜色颜色是要检验的因素或因子2.水平因素的具体表现称为水平A1、A2、A3、 A4四种颜色就是因素的水平3.观察值在每个因素水平下得到的样本值每种颜色矿物的品位就是观察值方差分析的基本思想和原理（几个基本概念）1.试验这里只涉及一个因素，因此称为单因素四水平的试验2.总体因素的每一个水平可以看作是一个总体比如A1、A2、A3、 A4四种颜色可以看作是四个总体3.样本数据上面数据可以看作是从这四个总体中抽取的样本数据1. 比较两类误差，以检验均值是否相等2. 比较的基础是方差比3. 如果系统(处理)误差显著地不同于随机误差，则均值就是不相等的；反之，均值就是相等的4
5、. 误差是由各部分的误差占总误差的比例来测度的方差分析的基本思想和原理方差分析的基本思想和原理（两类误差）1.随机误差随机误差在因素的同一水平(同一个总体)下，样本的各观察值之间的差异比如，同一种颜色的矿物在不同采点上的品位是不同的不同采点的品位的差异可以看成是随机因素的影响，或者说是由于抽样的随机性所造成的，称为随机误差随机误差 2.系统误差系统误差在因素的不同水平(不同总体)下，各观察值之间的差异比如，同一采点，不同颜色矿物的品位也是不同的这种差异可能是由于抽样的随机性所造成的，也可能是由于颜色本身所造成的，后者所形成的误差是由系统性因素造成的，称为系统误差系统误差方差分析的基本思想和原理
6、（两类方差）1. 组内方差组内方差因素的同一水平(同一个总体)下样本数据的方差比如，无色矿物A1在5个采点的品位的方差组内方差只包含随机误差随机误差2. 组间方差组间方差因素的不同水平(不同总体)下各样本之间的方差比如，A1、A2、A3、A4四种颜色矿物的品位之间的方差组间方差既包括随机误差随机误差，也包括系统误差系统误差方差分析的基本思想和原理（方差的比较）1.如果不同颜色(水平)对品位(结果)没有影响，那么在组间方差中只包含有随机误差，而没有系统误差。这时，组间方差与组内方差就应该很接近，两个方差的比值就会接近12.如果不同的水平对结果有影响，在组间方差中除了包含随机误差外，还会包含有系统
7、误差，这时组间方差就会大于组内方差，组间方差与组内方差的比值就会大于13.当这个比值大到某种程度时，就可以说不同水平之间存在着显著差异方差分析中的基本假定方差分析中的基本假定1. 每个总体都应服从正态分布对于因素的每一个水平，其观察值是来自服从正态分布总体的简单随机样本比如，每种颜色矿物的品位必需服从正态分布2. 各个总体的方差必须相同对于各组观察数据，是从具有相同方差的总体中抽取的比如，四种颜色矿物的品位的方差都相同3. 观察值是独立的比如，每个采点的品位都与其他采点的品位独立方差分析中的基本假定1. 在上述假定条件下，判断颜色对品位是否有显著影响，实际上也就是检验具有同方差的四个正态总体的
8、均值是否相等的问题 2. 如果四个总体的均值相等，可以期望四个样本的均值也会很接近四个样本的均值越接近，我们推断四个总体均值相等的证据也就越充分样本均值越不同，我们推断总体均值不同的证据就越充分 方差分析中基本假定 如果原假设成立，即H0: 1 = 2 = 3 = 4四种颜色矿石品位的均值都相等没有系统误差 这意味着每个样本都来自均值为 、方差为2的同一正态总体 方差分析中基本假定 如果备择假设成立，即H1: i (i=1，2，3，4)不全相等 至少有一个总体的均值是不同的 有系统误差 这意味着四个样本分别来自均值不同的四个正态总体 第二节 单因素方差分析一一. 单因素方差分析的步骤单因素方差
9、分析的步骤二二. 方差分析中的多重比较方差分析中的多重比较三三. 单因素方差分析中的其他问题单因素方差分析中的其他问题单因素方差分析的数据结构 观察值观察值 ( j )因素因素(A) i 水平水平A1 水平水平A2 水平水平Ak12:n x11 x12 x1k x21 x22 x2k : : : : : : : : xn1 xn2 xnk单因素方差分析的步骤单因素方差分析的步骤提出假设1. 一般提法H0: 1 = 2 = k (因素有k个水平）H1: 1 ，2 ， ，k不全相等2. 对前面的例子H0: 1 = 2 = 3 = 4颜色对品位没有影响H0: 1 ，2 ，3， 4不全相等颜色对品位有
10、影响构造检验的统计量1. 为检验H0是否成立，需确定检验的统计量 2. 构造统计量需要计算水平的均值全部观察值的总均值离差平方和均方(MS) 构造检验的统计量(计算水平的均值 )1.假定从第i个总体中抽取一个容量为ni的简单随机样本，第i个总体的样本均值为该样本的全部观察值总和除以观察值的个数2.计算公式为 构造检验的统计量(计算全部观察值的总均值 )1.全部观察值的总和除以观察值的总个数2.计算公式为 构造检验的统计量(前例计算结果 )四种颜色矿石的品位及均值四种颜色矿石的品位及均值采点采点( j )水平水平A ( i )无色无色(A1)粉色粉色(A2)橘黄色橘黄色(A3)绿色绿色(A4)1
11、234526.528.725.129.127.231.228.330.827.929.627.925.128.524.226.530.829.632.431.732.8合计合计136.6147.8132.2157.3573.9水平均值水平均值观察值个数观察值个数 x1 =27.32n1=5x2=29.56n2=5x3=26.44n3=5x4=31.46n4=5总均值总均值x =28.695构造检验的统计量(计算总离差平方和 SST)1.全部观察值 与总平均值 的离差平方和2.反映全部观察值的离散状况3.其计算公式为构造检验的统计量(计算误差项平方和 SSE)1.每个水平或组的各样本数据与其组平
12、均值的离差平方和2.反映每个样本各观察值的离散状况，又称组内离差平方和3.该平方和反映的是随机误差的大小4.计算公式为 构造检验的统计量(计算水平项平方和 SSA)1.各组平均值 与总平均值 的离差平方和2.反映各总体的样本均值之间的差异程度，又称组间平方和3.该平方和既包括随机误差，也包括系统误差4.计算公式为 构造检验的统计量(三个平方和的关系)总离差平方和(SST)、误差项离差平方和(SSE)、水平项离差平方和 (SSA) 之间的关系构造检验的统计量(三个平方和的作用)1. SST反映了全部数据总的误差程度；SSE反映了随机误差的大小；SSA反映了随机误差和系统误差的大小2.如果原假设成
13、立，即H1 H2 Hk为真，则表明没有系统误差，组间平方和SSA除以自由度后的均方均方与组内平方和SSE和除以自由度后的均方均方差异就不会太大；如果组间均方组间均方显著地大于组内均方组内均方，说明各水平(总体)之间的差异不仅有随机误差，还有系统误差3.判断因素的水平是否对其观察值有影响，实际上就是比较组间方差组间方差与组内方差组内方差之间差异的大小4.为检验这种差异，需要构造一个用于检验的统计量构造检验的统计量(计算均方 MS)1.各离差平方和的大小与观察值的多少有关，为了消除观察值多少对离差平方和大小的影响，需要将其平均，这就是均方，也称为方差；2.计算方法是用离差平方和除以相应的自由度；3
14、.三个平方和的自由度分别是：SST 的自由度为n-1，其中n为全部观察值的个数；SSA的自由度为k-1，其中k为因素水平(总体)的个数；SSE 的自由度为n-k。构造检验的统计量(计算均方 MS)1. SSA的均方也称组间方差组间方差，记为MSA，计算公式为构造检验的统计量(计算检验的统计量 F )1.将MSA和MSE进行对比，即得到所需要的检验统计量F2.当H0为真时，二者的比值服从分子自由度为k-1、分母自由度为 n-k 的 F 分布，即 构造检验的统计量(F分布与拒绝域)统计决策 将统计量的值F与给定的显著性水平的临界值F进行比较，作出接受或拒绝原假设H0的决策根据给定的显著性水平，在F
15、分布表中查找与第一自由度df1k-1、第二自由度df2=n-k 相应的临界值 F ；若FF ，则拒绝原假设H0 ，表明均值之间的差异是显著的，所检验的因素(A)对观察值有显著影响；若F F ，则不能拒绝原假设H0 ，表明所检验的因素(A)对观察值没有显著影响 。单因素方差分析表(基本结构)方差来源方差来源平方和平方和SS自由度自由度df均方均方MSF 值值组间组间(因素影响因素影响) 组内组内(误差误差) 总和总和SSASSESSTk-1n-kn-1MSAMSEMSA单因素方差分析（输出结果）方差分析：单因素方差分析方差分析：单因素方差分析SUMMARYSUMMARY组组计数计数求和求和平均平
16、均方差方差列 1列 15 5136.6136.627.3227.322.6722.672列 2列 25 5147.8147.829.5629.562.1432.143列 3列 35 5132.2132.226.4426.443.2983.298列 4列 45 5157.3157.331.4631.461.6581.658方差分析方差分析差异源差异源SSSSdfdfMSMSF FP-valueP-value F critF crit组间组间76.845576.84553 325.61525.615 10.48610.4860.00050.0005 3.23893.2389组内组内39.08439
17、.08416162.44282.4428总计总计115.93115.931919单因素方差分析（一个例子）对对D地层的四个组的含矿性分析地层的四个组的含矿性分析 样本样本含矿元素含量()D1D2D3D4123456757554645545347 624960545655 5149485547 7068636960 直观判断有没有差别？单因素方差分析（计算结果）解：设四个组的均值分别为，1、2 、3、4 ，则需要检验如下假设 H0: 1 = 2 = 3 = 4 (四个组的含矿性无显著差异) H1: 1 ，2 ，3， 4不全相等 (有显著差异)输出的结果如下差异源差异源SS自由度自由度MSFP-值
18、 值临界值临界值组间组间845.21743281.7391 14.78741 3.31E-05 3.127354组内组内3621919.05263总和总和1207.21722方差分析中的多重比较方差分析中的多重比较（作用）1.多重比较是通过对总体均值之间的配对比较来进一步检验到底哪些均值之间存在差异2.多重比较方法有多种，其中Fisher提出的最小最小显著差异显著差异方法，简写为LSD，该方法可用于判断到底哪些均值之间有差异3. LSD方法是对检验两个总体均值是否相等的t检验方法的总体方差估计加以修正(用MSE来代替)而得到的 方差分析中的多重比较（步骤）1.提出假设H0: i = j (第i
19、个总体的均值等于第j个总体的均值)H1: i j (第i个总体的均值不等于第j个总体的均值)2.检验的统计量为 方差分析中的多重比较（基于统计量xi-xj的LSD方法）1.通过判断样本均值之差的大小来检验 H02.检验的统计量为 ：xi xj3.检验的步骤为 提出假设H0: i = j (第i个总体的均值等于第j个总体的均值)H1: i j (第i个总体的均值不等于第j个总体的均值)计算LSD方差分析中的多重比较（实例 ）1.根据前面的计算结果: x1=27.3; x2=29.5; x3=26.4; x4=31.42.提出假设H0: i = j ；H1: i j3.计算LSD方差分析中的多重比
20、较（实例 ）|x1-x2|= |27.3-29.5| =2.22.096 颜色1与颜色2的品位有显著差异|x1-x3|= |27.3-26.4| =0.92.096 颜色1与颜色4的品位有显著差异|x2-x3|= |29.5-26.4| =3.12.096 颜色2与颜色3的品位有显著差异|x2-x4|= |29.5-31.4| =1.92.096 颜色3与颜色4的品位有显著差异第三节 双因素方差分析一一. 双因素方差分析的基本问题双因素方差分析的基本问题二二. 双因素方差分析的数据结构双因素方差分析的数据结构3双因素方差分析的步骤双因素方差分析的步骤4一个应用实例一个应用实例双因素方差分析的基
21、本问题双因素方差分析（概念要点）1.分析两个因素(因素A和因素B)对试验结果的影响；2.分别对两个因素进行检验，分析是一个因素在起作用，还是两个因素都起作用，还是两个因素都不起作用；3.如果A和B对试验结果的影响是相互独立的，分别判断因素A和因素B对试验指标的影响，这时的双因素方差分析称为无交互作用的双因素方差分析；4.如果除了A和B对试验结果的单独影响外，因素A和因素B的搭配还会对结果产生一种新的影响，这时的双因素方差分析称为有交互作用的双因素方差分析；5.对于无交互作用的双因素方差分析，其结果与对每个因素分别进行单因素方差分析的结果相同。双因素方差分析的基本假定1. 每个总体都服从正态分布
22、；对于因素的每一个水平，其观察值是来自正态分布总体的简单随机样本2. 各个总体的方差必须相同；对于各组观察数据，是从具有相同方差的总体中抽取的3. 观察值是独立的。双因素方差分析的数据结构 因素因素A(i) 因素因素(B) j 平均值平均值 B1 B2 BrA1A2:Ak x11 x12 x1k x21 x22 x2k : : : : : : : : xr1 xr2 xrk : :平均值平均值 双因素方差分析的数据结构 是因素A的第i个水平下各观察值的平均值 是因素B的第j个水平下的各观察值的均值 是全部 kr 个样本数据的总平均值双因素方差分析的步骤提出假设1. 对因素A提出的假设为H0:
23、1 = 2 = = i = = k (i为第i个水平的均值)H1: i (i =1,2, , k) 不全相等2. 对因素B提出的假设为H0: 1 = 2 = = j = = r (j为第j个水平的均值)H1: j (j =1,2,r) 不全相等构造检验的统计量1. 为检验H0是否成立，需确定检验的统计量 2. 构造统计量需要计算总离差平方和水平项平方和误差项平方和均方 构造检验的统计量(计算总离差平方和 SST)1.全部观察值 与总平均值 的离差平方和2.反映全部观察值的离散状况3.计算公式为构造检验的统计量(计算SSA、SSB和SSE)1.因素A的离差平方和SSA构造检验的统计量(各平方和的
24、关系) 总离差平方和(SST )、水平项离差平方和 (SSA和SSB) 、误差项离差平方和(SSE) 之间的关系构造检验的统计量(计算均方 MS)1.各离差平方和的大小与观察值的多少有关，为消除观察值多少对离差平方和大小的影响，需要将其平均，这就是均方，也称为方差2.计算方法是用离差平方和除以相应的自由度3.三个平方和的自由度分别是总离差平方和SST的自由度为 kr-1因素A的离差平方和SSA的自由度为 k-1因素B的离差平方和SSB的自由度为 r-1随机误差平方和SSE的自由度为 (k-1)(r-1) 构造检验的统计量(计算均方 MS)1.因素A的均方，记为MSA，计算公式为2. 因素B的均
25、方，记为MSB ，计算公式为3. 随机误差项的均方，记为MSE ，计算公式为构造检验的统计量(计算检验的统计量 F)1.为检验因素A的影响是否显著，采用下面的统计量 2.为检验因素B的影响是否显著，采用下面的统计量 统计决策 将统计量的值F与给定的显著性水平的临界值F进行比较，作出接受或拒绝原假设H0的决策：根据给定的显著性水平在F分布表中查找相应的临界值 F ；若FA F ，则拒绝原假设H0 ，表明均值之间的差异是显著的，即所检验的因素(A)对观察值有显著影响；若FB F ，则拒绝原假设H0 ，表明均值之间有显著差异，即所检验的因素(B)对观察值有显著影响 ；双因素方差分析表(基本结构)方差
26、来源方差来源平方和平方和SS自由度自由度df均方均方MSF值值 因素A 因素B误差总和SSASSBSSESSTk-1r-1(k-1)(r-1)kr-1MSAMSBMSEFAFB双因素方差分析 （一个例子）不同地层时代不同岩相中矿床(点)的统计数据 时代(因素A) 不同的岩相( 因素B )B1B2B3B4B5A1A2A3A4365345358288 350368323280 343363353298 340330343260 323333308298 【例【例】为分析地层时代(因素A)和岩相(因素B)对成矿的影响，在某成矿带对矿点、矿床进行统计，结果如下表。试分析地层时代和岩相对成矿作用是否有显
27、著影响？双因素方差分析（提出假设）1. 对因素A提出的假设为H0: 1=2=3=4 (时代对成矿作用没有影响)H1: i (i =1,2, , 4) 不全相等 (时代对成矿作用有影响)2. 对因素B提出的假设为H0: 1=2=3=4=5 (岩相对成矿作用没有影响)H1: j (j =1,2,5) 不全相等 (岩相对成矿作用有影响)双因素方差分析 结论：结论： FA18.10777F3.4903，拒绝原假设H0，说明时代对成矿作用有显著影响 FB2.100846 F3.2592，接受原假设H0，说明岩相对成矿作用没有显著影响差异源差异源SSdfMSFP-valueF crit 行行(因素因素A)13004.5534334.8518.10777 9.46E-053.4903 列列(因素因素B)2011.74502.9252.100846 0.1436653.2592 误差误差2872.712239.3917 总和总和17888.9519本章小结1. 方差分析方差分析(ANOVA)的概念的概念2. 方差分析的思想和原理方差分析的思想和原理3. 方差分析中的基本假设方差分析中的基本假设4. 进行方差分析进行方差分析结结 束束
