1、二、二、 连续与间断连续与间断 一、一、 函数函数 三、三、 极限极限 习题课习题课机动 目录 上页 下页 返回 结束 函数与极限函数与极限 第一章 )(xfy yxoD一、一、 函数函数1. 函数的概念定义定义:Df :R)(DfDxxfyyDf, )()( 定义域 值域图形图形:DxxfyyxC, )(),( 一般为曲线 )设,RD函数为特殊的映射:其中机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 函数的特性有界性 , 单调性 , 奇偶性 , 周期性3. 反函数)(:DfDf设函数为单射, 反函数为其逆映射DDff)(:14. 复合函数给定函数链)(:11DfDf1)(:DDgDg则复合函数为
2、 )(:DgfDgf5. 初等函数有限个常数及基本初等函数经有限次四则运算与复复合而成的一个表达式的函数.机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例1. 设函数,1,1,13)(xxxxxf)(xff1)(,1)(3xfxf1)(, )(xfxf0 x0,49xx1) 13(3x10 x1,xx求.)(xff解解:,13 x机动 目录 上页 下页 返回 结束 xxxff1211)()(,2)()(1xfxfxx解解: 利用函数表示与变量字母的无关的特性 .,1xxt,11tx代入原方程得,)()(1211tttff,111uux,11ux代入上式得,)()() 1(2111uuuuuff1,0
3、xx设其中).(xf求令即即令即画线三式联立1111)(xxxxf即xxxxxff) 1(2111)()(例例2.机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习1. 下列各组函数是否相同 ? 为什么? )arccos2cos()() 1 (xxf 1 , 1, 12)(2xxx与axaaxxxf,)()2(2)(21)(xaxax与0,0,0)()3(xxxxf)()(xffx 与相同相同相同相同相同相同机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 下列各种关系式表示的 y 是否为 x 的函数? 为什么?1sin1) 1 (xy, 0,cos,sinmax)2(2xxxy22,arcsi
4、n)3(xuuy不是不是40 x,cosx24 x,sin x是是不是不是提示提示: (2)y机动 目录 上页 下页 返回 结束 0,10,1)()4(33xxxxxf0, 10, 1)()2(xxxf1,41,2)()3(xxxf,2xxxyo4211, 11, 13xx1) 1(32xx,16xoxy110 x1xRx3. 下列函数是否为初等函数 ? 为什么 ?0,0,)() 1 (xxxxxf2xxy1以上各函数都是初等函数 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 4. 设,0)(,1)(,)(2xxxfexfx且求)(x及其定义域 .5. 已知8,)5(8,3)(xxffxxxf, 求.
5、 )5(f6. 设,coscsc)sin1(sin22xxxxf求. )(xf由)(2xex1得,)1ln()(xx0,(x,e)(fx2xf)(x4. 解解:e)(x2机动 目录 上页 下页 返回 结束 f5. 已知8,)5(8,3)(xxffxxxf, 求. )5(f解解:)5(f) (f310)10(f)7(f f)12(f) (f312)9(f66. 设,coscsc)sin1(sin22xxxxf求. )(xf解解:1sin)(sin2sin1sin12xxfxx3)(sin2sin1xx3)(2xxf机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、二、 连续与间断连续与间断1. 函数连续的
6、等价形式)()(lim00 xfxfxx)()(,000 xfxxfyxxx0lim0yx)()()(000 xfxfxf,0,0,0时当 xx有)()(0 xfxf2. 函数间断点第一类间断点第二类间断点可去间断点跳跃间断点无穷间断点振荡间断点机动 目录 上页 下页 返回 结束 有界定理 ; 最值定理 ; 零点定理 ; 介值定理 .3. 闭区间上连续函数的性质例例3. 设函数)(xf,2)cos1 (xxa0 x,10 x, )(ln2xb0 x在 x = 0 连续 , 则 a = , b = .提示提示:20)cos1 (lim)0(xxafx2a221cos1xx)(lnlim)0(20
7、 xbfxblnbaln122e机动 目录 上页 下页 返回 结束 ) 1)()(xaxbexfx有无穷间断点0 x及可去间断点, 1x解解:为无穷间断点,0 x) 1)(lim0 xaxbexx所以bexaxxx) 1)(lim0ba101,0ba为可去间断点 ,1x) 1(lim1xxbexx极限存在0)(lim1bexxeebxx1lim例例4. 设函数试确定常数 a 及 b .机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例5. 设 f (x) 定义在区间),(上 ,有yx,)()()(yfxfyxf, 若 f (x) 在连续,0 x提示提示:)(lim0 xxfx)()(lim0 xfxfx
8、)0()(fxf)0( xf)(xf阅读与练习阅读与练习且对任意实数证明 f (x) 对一切 x 都连续 .P64 题2(2), 4; P73 题5机动 目录 上页 下页 返回 结束 证证:P73 题题5. 证明: 若 令,)(limAxfx则给定,0,0X当Xx 时, 有AxfA)(又, ,)(XXCxf根据有界性定理,01M, 使,)(1XXxMxf取1,maxMAAM则),(,)(xMxf)(xf在),(内连续,)(limxfx存在, 则)(xf必在),(内有界.)(xfXXA1Myox机动 目录 上页 下页 返回 结束 三、三、 极限极限1. 极限定义的等价形式 (以 为例 )0 xx
9、 Axfxx)(lim00)(lim0Axfxx(即 为无穷小)Axf)(, )(0 xxxnnn有Axfnn)(limnx,0 xAxfxf)()(00机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 极限存在准则及极限运算法则3. 无穷小无穷小的性质 ; 无穷小的比较 ;常用等价无穷小: 4. 两个重要极限 6. 判断极限不存在的方法 xsin;xxtan;xxcos1;221xxarctan;xxarcsin;x)1ln(x;x1xe;x1xa;lnax1)1 (x;x机动 目录 上页 下页 返回 结束 5. 求极限的基本方法 例例6. 求下列极限：)sin1(sinlim) 1 (xxxxxx
10、sin112lim)2(xxxxcot110lim)3(提示提示: xxsin1sin) 1 (21cos21sin2xxxx21cos)1(21sin2xxxx无穷小有界机动 目录 上页 下页 返回 结束 令1lim)2(x1 xt0limt) 1(sin)2(ttt0limttttsin)2( 0limtttt)2( 2xxsin12机动 目录 上页 下页 返回 结束 0lim)3(xxxxcot110limxxxxcot)121(e)1(ln12xxxx122e则有)()(1lim0 xvxxxu复习复习: 若,0)(lim0 xuxx,)(lim0 xvxxe)(1ln)(lim0 x
11、uxvxxe)()(lim0 xuxvxx)(lim12sincos0 xxxxx1机动 目录 上页 下页 返回 结束 331xy例例7. 确定常数 a , b , 使0)1(lim33bxaxx解解: 原式0)1(lim313xbxxax0)1(lim313xbxxa故,01a于是,1a而)1(lim33xxbx2333231)1 (1limxxxxx0 xy机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例8. 当0 x时,32xx 是x的几阶无穷小?解解: 设其为x的k阶无穷小,则kxxxx320lim0 C因kxxxx320lim3320limkxxxx 330)1 (lim2321xxkx故6
12、1k机动 目录 上页 下页 返回 结束 阅读与练习阅读与练习1. 求的间断点, 并判别其类型.解解:) 1)(1(sin)1 ()(xxxxxxf) 1)(1(sin)1 (lim1xxxxxx1sin21 x = 1 为第一类可去间断点)(lim1xfx x = 1 为第二类无穷间断点, 1)(lim0 xfx, 1)(lim0 xfx x = 0 为第一类跳跃间断点机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 求.sin12lim410 xxeexxx解:xxeexxxsin12lim410 xxeeexxxxsin12lim43401xxeexxxsin12lim410 xxeexxxsin12lim4101原式 = 1 (2000考研)机动 目录 上页 下页 返回 结束 作业作业 P74 3 (1) , (4) ; 4 ; 7 ; 8 (2) , (3) , (6) ; 9; 10 ; 11 ; 12机动 目录 上页 下页 返回 结束 3. 求.)321 (lim1xxxx解解: 令xxxxf1)321 ()(xxx11)()(33231则)(xf3x133利用夹逼准则可知.3)(limxfx
