1、第七节第七节一、方向导数一、方向导数 二、梯度二、梯度 三、物理意义三、物理意义 方向导数与梯度方向导数与梯度一、方向导数一、方向导数定义定义: 若函数),(zyxff0lim则称lflf,)()()(222zyx,cosx,cosycosz为函数在点 P 处沿方向 l 的方向导数方向导数.),(),(lim0zyxfzzyyxxf在点 ),(zyxP处沿方向 l (方向角为, ) 存在下列极限: 记作记作 ,),(),(处可微在点若函数zyxPzyxf定理定理:则函数在该点沿任意方向沿任意方向 l 的方向导数存在 ,coscoscoszfyfxflf.,的方向角为其中l且有对于二元函数, )
2、,(yxf为, ) 的方向导数为方处沿方向在点(),(lyxP),(),(lim0yxfyyxxflfcos),(cos),(yxfyxfyx,)()(22yx)cos.,cosyxPlxyoxflf特别特别: : 当 l 与 x 轴同向有时,2,0 当 l 与 x 轴反向有时,2,xflfl向角例例2. 求函数 在点P(2, 3)沿曲线223yyxz12 xy朝 x 增大方向的方向导数.1760例例3. 设是曲面n在点 P(1, 1, 1 )处指向外侧的法向量,632222zyx方向的方向导数.711zyxu2286在点P 处沿求函数n例例1. 求函数 在点 P(1, 1, 1) 沿向量zy
3、xu2)3 , 1,2(l的方向导数 .146二、梯度二、梯度 方向导数公式coscoscoszfyfxflf令这说明方向：f 变化率最大的方向模 : f 的最大变化率之值zfyfxfG,:GGlfmax)cos,cos,(cosleleGlf),cos(leGG,方向一致时与当Gel1. 定义定义, fadrg即fadrg同样可定义二元函数),(yxf),(yxPyfxfjyfixff,grad称为函数 f (P) 在点 P 处的梯度kzfjyfixfzfyfxf,记作(gradient),在点处的梯度 G向量2. 梯度的几何意义梯度的几何意义说明说明: 函数的方向导数为梯度在该方向上的投影
4、.面上的投在曲线xoyCzyxfz),(CyxfL),(:*影称为函数 f 的等值线等值线 . ,不同时为零设yxff则L*上点P 处的法向量为 Pyxff),(Pfgradoyx1cf 2cf 3cf )(321ccc设P, ),(yxfz 对函数例例5.,)(可导设rf),(222zyxPzyxr为点其中试证处矢径 r 的模 ,.)()(radgrerfrf例例4. 设函数zyxzyxf2),(1) 求函数在点 M ( 1, 1, 1 ) 处沿曲线 12 32tztytx在该点切线方向的方向导数;(2) 求函数在 M( 1, 1, 1 ) 处的梯度梯度与(1)中切线方向切线方向 的夹角 .
5、1306arccos266三、物理意义三、物理意义函数(物理量的分布)数量场数量场 (数性函数)场向量场向量场(矢性函数)可微函数)(Pf梯度场梯度场)(gradPf( 势 )如: 温度场, 密度场等如: 力场,速度场等(向量场、势场) 注意注意: 任意一个向量场不一定是梯度场.内容小结内容小结1. 方向导数方向导数 三元函数 ),(zyxf在点),(zyxP沿方向 l (方向角),为的方向导数为coscoscoszfyfxflf 二元函数 ),(yxf在点),(yxP),的方向导数为coscosyfxflf沿方向 l (方向角为yfxfcossin2. 梯度梯度 三元函数 ),(zyxf在点),(zyxP处的梯度为zfyfxff,grad 二元函数 ),(yxf在点),(yxP处的梯度为),(, ),(gradyxfyxffyx3. 关系关系方向导数存在偏导数存在 可微梯度在方向 l 上的投影.leflfgrad作业作业 P108 2， 6， 7， 8， 10
