1、第三章第三章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 随机变量的引入，使我们有了一个描述随机试验的有力工随机变量的引入，使我们有了一个描述随机试验的有力工具在生产实际与理论研究中，常常遇到这种情况：需要同时具在生产实际与理论研究中，常常遇到这种情况：需要同时用几个随机变量才能较好地描述某一试验例如打靶，弹着点用几个随机变量才能较好地描述某一试验例如打靶，弹着点位置需由横坐标位置需由横坐标X、纵坐标、纵坐标Y 两个随机变量来描述又如考察人两个随机变量来描述又如考察人的体质，要同时考虑身高、的体质，要同时考虑身高、 体重、血压、肺活量等，这些指标体重、血压、肺活量等，这些指标都是随机变量值得强调
2、的是这些随机变量之间一般说来又有都是随机变量值得强调的是这些随机变量之间一般说来又有某种联系，因而需把这些随机变量作为一个整体（即向量）来某种联系，因而需把这些随机变量作为一个整体（即向量）来研究研究 定义定义 若若X1，X2，Xn 是样本空间是样本空间上的上的n个随机变量，个随机变量，则由它们构成的向量则由它们构成的向量X=(X1，X2，Xn)叫叫n维随机变量维随机变量 对任意实数对任意实数x1、x1、xn，n元函数元函数 由于二维与由于二维与n 维类似，故着重讨论二维随机变量维类似，故着重讨论二维随机变量,),(221121nnnxXxXxXPxxxF 称为称为n维随机变量维随机变量X=(
3、X1，X2，Xn)的的分布函数分布函数，或随机变量，或随机变量X1，X2，Xn的的联合分布函数联合分布函数。 实际上，它是实际上，它是n个事件个事件、11xX 、 22xX nnxX 同时发生的概率。同时发生的概率。3.1 二维随机变量二维随机变量 一、二维随机变量概念一、二维随机变量概念 定义定义 设设E 是一个随机试验，是一个随机试验，X和和Y 是定义在其样本空间是定义在其样本空间上的两个随机变量，则称上的两个随机变量，则称(X，Y)为为二维随机变量二维随机变量. 对任意实数对任意实数x、y，二元函数，二元函数 F(x，y)=PX x，Y y称为称为二维随机变量二维随机变量(X，Y)的分布
4、函数的分布函数，或称为，或称为随机变量随机变量X 和和Y的联合分布函数的联合分布函数 F(x，y)可以看作随机点可以看作随机点(X，Y)落在如图所示的以落在如图所示的以(x，y)为为顶点的无限矩形域上的概率顶点的无限矩形域上的概率 依这种直观解释，依这种直观解释，容易看出容易看出F(x,y)具有如下具有如下性质：性质： (1) F(x, y) 是关于是关于x 或或y 的非减函数。即对于固定的的非减函数。即对于固定的y ，若，若x1x2，则，则F(x1, y) F(x2, y)；对于固定的对于固定的 x，若，若y1y2，则，则F(x, y1）F(x, y2) (2) 0F(x, y) 1且且1)
5、,(lim),( yxFFyx0),(lim),( yxFyFx0),(lim),( yxFxFy0),(lim),( yxFFyx(3) F(x, y) 对每个变量右连续，即对每个变量右连续，即 F(x, y) = F(x0, y)，F(x, y) = F(x, y0) 由概率的可加性，借助右图，由概率的可加性，借助右图，可用分布函数来表示随机变量可用分布函数来表示随机变量(X, Y) 落在长方形区域的概率落在长方形区域的概率:P x1X x2, y1Y y2 = PX x2, Y y2P X x1, Y y2 PX x2, Y y1 PX x1, Y y1 =F(x2, y2) F(x1,
6、y2) F(x2, y1) F(x1, y1) 下面对两种类型的二维随机变量分别进行讨论下面对两种类型的二维随机变量分别进行讨论:二、二维离散型随机变量及其分布二、二维离散型随机变量及其分布 如果二维随机变量如果二维随机变量(X, Y) 的所有可能取值是有限对，或的所有可能取值是有限对，或可列无穷多对，则称可列无穷多对，则称 (X, Y) 为为二维离散型随机变量二维离散型随机变量 设二维离散型随机变量（设二维离散型随机变量（X，Y）所有可能取的值为）所有可能取的值为(xi, yj) (i、j=1,2,)，并记，并记PX=xi, Y=yj= pij，(i、j=1,2,)，称为称为二维离散型随机变
7、量二维离散型随机变量(X, Y) 的概率分布或分布律的概率分布或分布律，或称为，或称为随机变量随机变量X 和和Y 的联合分布律的联合分布律 由概率的定义有由概率的定义有 pij 0，111 ijijp xxyyjiijyYxXP, 由定义可看到离散型随机变量由定义可看到离散型随机变量(X, Y) 的分布函数：的分布函数： F(x, y) = P X x, Y y = 例例1 设有设有5件产品，其中件产品，其中2件次品件次品3件正品从中依次任取件正品从中依次任取2 件件(不放回不放回)，X、Y 分别表示每次取得次品数，求分别表示每次取得次品数，求(X, Y)的分布的分布 解解 X、Y只可能取只可
8、能取0，1两个值，故两个值，故(X, Y) 可能取值为可能取值为(0, 0)，(0, 1)，(1, 0)，(1, 1)，由古典概率计算公式可得，由古典概率计算公式可得3 . 00, 02523 AAYXP3 . 01, 0251213 ACCYXP3 . 00, 1251312 ACCYXP1 . 01, 12522 AAYXP上述分布律可以用下表表示上述分布律可以用下表表示 X Y 0 1 0 0.3 0.3 1 0.3 0.1 例例2：将一枚硬币连掷：将一枚硬币连掷3次，次，X 表示正面出现的次数，表示正面出现的次数，Y 表示表示 正面出现的次数与反面出现的次数之差的绝对值，求正面出现的次
9、数与反面出现的次数之差的绝对值，求X 和和Y 的联的联 合分布律。合分布律。0)1, 0 PYXP81)21(3, 03 YXP83)21(1, 1313 CYXP03, 1 PYXP83)21(1, 2323 CYXP03, 2 PYXP01, 3 PYXP81)21(3, 33 YXP解：解：X 的可能取值为的可能取值为0，1，2，3； Y 的可能取值为的可能取值为1,3. X Y 0 1 2 3 1 0 3/8 3/8 0 3 1/8 0 0 1/8 三、二维连续型随机变量的概率分布三、二维连续型随机变量的概率分布 与一维随机变量相似，对于二维随机变量与一维随机变量相似，对于二维随机变量
10、(X, Y) 的分布函数的分布函数F(x, y)，如果有非负可积函数，如果有非负可积函数 f(x, y)，对于任意实数，对于任意实数x、y，有，有 则称则称(X, Y) 为二维连续型的随机变量，函数为二维连续型的随机变量，函数 f(x, y) 称为称为二维随机二维随机 变量变量(X, Y) 的概率密度的概率密度，或称为，或称为X 和和Y 的联合概率密度的联合概率密度 按定义概率密度按定义概率密度f(x, y) 有以下性质：有以下性质： (1) f(x, y) 0； xydudvvufyxF),(),( 1),()2(dxdyyxf 反之，若一个二元函数具有以上两条性质，则此二元函数必反之，若一
11、个二元函数具有以上两条性质，则此二元函数必为某二维随机变量的密度函数此外，二维密度函数还具有下面为某二维随机变量的密度函数此外，二维密度函数还具有下面的性质：的性质： (3) 若若f(x, y) 在点在点(x, y) 连续连续, 则则),(),(2yxfyxyxF DdxdyyxfDYXP),(),( (4) 设设D为为xoy平面一个区域，点平面一个区域，点(X, Y) 落在落在D内的概率为内的概率为 上式表明上式表明(X, Y) 落在落在D内的概率等于以内的概率等于以D为底、以为底、以z = f(x, y)为顶的曲顶柱体的体积为顶的曲顶柱体的体积 例例3 设设D为平面上面积为为平面上面积为A
12、的有界区域，若的有界区域，若(X, Y)具有密度具有密度 函数函数 其其它它0),(1),(DyxAyxf则称则称(X, Y) 在在D上服从上服从均匀分布均匀分布又如又如D为矩形域：为矩形域：a x b，c y d，则密度函数为，则密度函数为 其其它它）（0,)(1),(dycbxacdabyxf 其其它它0)()(1),(2222RbyaxRyxf 例如，例如，D为圆域：为圆域：(xa)2(yb)2 R2，则密度函数为，则密度函数为 解解 (1)由密度函数性质有由密度函数性质有 00)(),(1dxdyeKdxdyyxfyxKeeKyx 001 K 例例4 设二维随机变量设二维随机变量(X,
13、 Y) 的密度函数的密度函数 其其它它00, 0),()(yxKeyxfyx(1)确定常数确定常数K； (2)求分布函数求分布函数F(x, y)；(3)求求(X, Y) 落在如图所示的三角形域落在如图所示的三角形域D内的概率内的概率(3) P(X, Y)D = dyedxdxdyyxfyxxD)(22010),( 3996. 02121 eedudvvufyxFxy ),(),()2(当当x0，y0时时, 有有yvxuxyvueedudveyxF0000)(),( 其其它它故故00, 0)1)(1 (),(yxeeyxFyx3.2 边缘分布边缘分布 对于二维随机变量对于二维随机变量(X, Y)
14、，分量，分量X 的分布函数称为的分布函数称为(X, Y)关于关于 X 的边缘分布函数的边缘分布函数，记为，记为FX(x)；分量；分量Y 的分布函数称为的分布函数称为(X, Y) 的的 关于关于Y 的边缘分布函数的边缘分布函数，记为，记为FY(y) 由于由于(X, Y) 的联合分布函数全面反映了的联合分布函数全面反映了(X, Y) 的取值情况，因的取值情况，因 此此(X, Y) 的边缘分布函数可以由的边缘分布函数可以由(X, Y) 的分布函数的分布函数F(x, y)来确定来确定 FX(x) =PX x = PX x, y = F(x, ) 同理同理 FY(y) =F(, y)一、二维离散型随机变
15、量的边缘分布一、二维离散型随机变量的边缘分布 设设PX= xi Y= yj= pij(i、j =1, 2, )，于是，于是 FX(x)= F(x, ) = xxjijip1 xxiixXP), 2 , 1(1 ippijij), 2 , 1(1 jppyYPjiijj同理同理对比一维随机变量分布函数的式子有对比一维随机变量分布函数的式子有 F(x)=PX x = 故有故有 PX xi = 二维离散型随机变量的联合分布的边缘分布常被列二维离散型随机变量的联合分布的边缘分布常被列成表格的形式（见下表）成表格的形式（见下表） 显然显然(X, Y) 关于关于X 的边缘分布可由表的边缘分布可由表依列累加
16、依列累加求得，求得， 而而(X, Y) 关于关于Y 的边缘分布可由表的边缘分布可由表依行累加依行累加求得分别称求得分别称 p i.、p.j(i、j =1,2,)为为(X, Y) 关于关于X 和和Y 的的边缘分布律边缘分布律 1 p1. p2. pi. pi.p.1p.2p.j p11 p21 pi1 p12 p22 pi2 p1j p2j pij y1 y2 yjp.j x1 x2 xi X Y 例例1 设二维随机变量设二维随机变量(X, Y)的概率分布为的概率分布为0123010/506/504/501/5019/5010/50 3/50025/502/5000XY求求1| YXP及及X 和
17、和Y 的边缘分布律的边缘分布律解解1| YXP表中红色部分相加表中红色部分相加0123pi.010/506/504/501/5021/5019/5010/503/50022/5025/502/50007/50 p.j 24/5018/507/501/501XY 二、二维连续型随机变量的边缘分布二、二维连续型随机变量的边缘分布 设连续型随机变量设连续型随机变量(X, Y) 的概率密度为的概率密度为f(x, y)，由，由 FX(x)=F(x, )dxdyyxfx),( 对比一维连续型随机变量的分布函数式子：对比一维连续型随机变量的分布函数式子： 分别称分别称 fX(x)、fY(y)为为(X, Y)
18、 关于关于X 和和Y 的的边缘概率密度边缘概率密度 xXdttfxF)()( dyyxfxfX),()(得：得：同理有：同理有： dxyxfyfY),()(fX(x)为为X、Y 的联合密度的联合密度f(x, y) 在整个在整个y 轴上对轴上对y积分积分fY(y) 为为X、Y 的联合密度的联合密度f(x, y) 在整个在整个x 轴上对轴上对x积分积分 例例2 设二维随机变量在区域设二维随机变量在区域D：0 x1，0y22x上服上服 从均匀分布，试求从均匀分布，试求X 和和Y 的边缘分布密度的边缘分布密度 解解 由定义知联合密度为由定义知联合密度为 DyxDyxyxf),(0),(1),( dyy
19、xfxfX),()( 其其它它01022xx 其其它它0101220 xdyx 其其它它0201210ydxy dxyxfyfY),()( 其他其他02021yy 例例3 设二维随机变量设二维随机变量(X, Y) 的概率密度为的概率密度为)()(2)()1(212212222212121212121),( yyxxeyxf(x, y)其中其中1,2,1,2 ,都是都是常数，且常数，且1 0，2 0，11，称，称(X, Y)为服从参数为服从参数1,2,1,2 ,的的二维正态分布二维正态分布试求试求(X, Y) 的边缘分布的边缘分布 解解211221122 xxy dyyxfxfX),()( 22
20、112222 yxy由由于于dyeexfxyxX 2112222121)()()1(212)(221121)( )()(1111222 xyt令令dteexftxX22)(12212121)( )(21)(22222)(2 yeyfyY 同理同理)(21)(21212)(1 xexfxX 即即可见：可见：二维正态分布的边缘分布都是一维正态分布二维正态分布的边缘分布都是一维正态分布二维正态分布二维正态分布的概率密度随着的概率密度随着值不同而变化，但其边缘概率密度却与值不同而变化，但其边缘概率密度却与无关无关3.3 条件分布条件分布 一般情况下，一般情况下，X、Y 联合分布可以唯一确定边缘分布，然
21、联合分布可以唯一确定边缘分布，然而若已知两个边缘分布，则不一定能确定它们的联合分布这而若已知两个边缘分布，则不一定能确定它们的联合分布这就象由就象由P(A)、P(B)不能确定不能确定P(AB)一样，但是，由一样，但是，由P(A)和和P(B|A)可以确定可以确定P(AB)，于是引进了与条件概率对应的条件分布。，于是引进了与条件概率对应的条件分布。 有时须考虑二维离散型随机变量有时须考虑二维离散型随机变量(X, Y) 中某分量取某定值中某分量取某定值的条件下的条件下,另一分量的概率分布借助条件概率定义，我们有另一分量的概率分布借助条件概率定义，我们有 若若PX xi0，则称，则称|iji jxXy
22、YPp 为在为在X xi的条件下的条件下Y 的条件分布律的条件分布律，简称，简称条件分布条件分布,ijixXPyYxXP )3 , 2 , 1( jppiij|jijiyYxXPp 同样，若同样，若P Y = yj 0，则称，则称为在为在Y yi条件下条件下X 的条件分布律的条件分布律 显然，条件分布亦满足一般概率分布（亦称显然，条件分布亦满足一般概率分布（亦称无条件概率分无条件概率分布布）的基本性质：）的基本性质：(1) P Y = yj X xi 0 (j =1，2，) 1)2(jPY = yj X xi =1 条件分布的定义表明，条件分布的定义表明，二维离散随机变量二维离散随机变量(X,
23、 Y) 的联合分的联合分 布不但确定了其边缘分布，而且也确定了其条件分布；反过来布不但确定了其边缘分布，而且也确定了其条件分布；反过来 如果知道了如果知道了(X, Y) 关于关于X 的边缘分布及的边缘分布及X xi条件下条件下Y 的条件分的条件分 布布(i =1,2,), 则则 (X, Y) 的联合分布的联合分布pij (i、j =1,2,) 亦被确定下来亦被确定下来)3 , 2 , 1(, ippyYPyYxXPjijjji 同样地，同样地，pij(i、j =1,2,)亦可由亦可由 (X, Y) 关于关于Y 的边缘分布及的边缘分布及Y = yj条件下条件下X 的条件分布的条件分布(j =1,
24、2,)确定确定 例例1 一射手进行射击一射手进行射击, 击中目标的概率为击中目标的概率为p（0p 1)，射，射击到击中目标两次为止设以击到击中目标两次为止设以X 表示首次击中目标所进行的射表示首次击中目标所进行的射击次数，以击次数，以Y 表示总共进行的射击次数试求表示总共进行的射击次数试求X 和和Y 的联合分的联合分布律及条件分布律布律及条件分布律 解解 Y= n 表示第表示第n次射击击中目标，且在前次射击击中目标，且在前n-1次射击中恰有次射击中恰有一次击中目标而各次射击是相互独立的，所以不管一次击中目标而各次射击是相互独立的，所以不管()是多少，总有是多少，总有)1(,222pqqpqqq
25、ppnYmXPnn 个个即得即得X 和和Y 的联合分布律为的联合分布律为)1, 2 , 1;, 3 , 2(,22 nmnqpnYmXPn 1,mnnYmXPmXP又又212 nmnqp1121 mmpqqqp), 2 , 1( m 11,nmnYmXPnYP2112 nnmqp), 3 ,2()1(22 nqpnn于是于是 ,|nYPnYmXPnYmXP)1, 2 , 1(11 nmn ,|mXPnYmXPmXnYP), 2, 1(1 mmnpqmn给定给定Y yi 条件下条件下X 的条件分布函数的条件分布函数为为 xxjijiyYxXPyxF)|()|( xxjiip| yyijijxXy
26、YPxyF)|()|(给定给定X xi 条件下条件下Y 的条件分布函数的条件分布函数为为 yyi jjp| 若若(X , Y) 是二维连续型随机变量是二维连续型随机变量, 对任意对任意x, y 有有P Xx =0, PY =y=0, 因此不能直接用条件概率公式引入因此不能直接用条件概率公式引入“条件分布函数条件分布函数” 了下面我们用极限的方法来处理了下面我们用极限的方法来处理 给定给定y，设对于任意固定的正数，设对于任意固定的正数，Py-0， 则对于任意则对于任意x 有有,| yYyPyYyxXPyYyxXP 上式给出了在条件上式给出了在条件y-Yy+下下X 的条件分布函数现在的条件分布函数
27、现在 我们引入以下的定义：我们引入以下的定义： 给定给定y，设对于任意固定的正数，设对于任意固定的正数，Py-0， 若对于任意实数若对于任意实数x，,lim|lim00 yYyPyYyxXPyYyxXP存在，则称此极限为在条件存在，则称此极限为在条件Y = y下下X 的的条件分布函数条件分布函数，写作，写作PX xY = y 或记为或记为 F (x|y) 。 设设 (X, Y)的分布函数为的分布函数为F(x,y) ，概率密度为，概率密度为f(x,y)，若在点，若在点(x,y)处处f(x,y)和和fY(y)都连续，且都连续，且FY(y)0，则有，则有 )|(|yxFYX,lim0 yYyPyYy
28、xXP)()(),(),(lim0 yFyFyxFyxFYY2/)()(2/),(),(lim0 yFyFyxFyxFYY)(),(yFdydyyxFY 若记若记 f(x|y) 为在条件为在条件Y = y下下X 的条件概率密度的条件概率密度, 则则 )|(yxF亦亦即即)(),(yfduyufYx )|(yxF xYduyfyuf)(),( )|(yxf)(),(yfyxfY )|(xyF )|(xyf)(),(xfyxfX 类似地类似地 yXdvxfvxf)(),( ,0,10,8),(2其其他他yxxyyxf。和和求求条条件件密密度度)|()|(xyfyxf dyyxfxfX),()(解解
29、： ,0,10,8122其他其他xdyxyx 例例2 设随机变量设随机变量(X, Y) 的联合密度为的联合密度为 其他其他0103/ )(83xxx dxyxfyfY),()( ,0,10,802其其他他ydxxyy 其他其他01043yy于是当于是当0y 1时时 )|(yxf )(),(yfyxfY ;,0,0,2其其他他yxyx当当0 x 1时时 )|(xyf )(),(xfyxfX .,0,1,1362其其他他yxxy 例例3 设随机变量设随机变量X的密度函数为的密度函数为)0(, 0,0,0,)(2 xxxexfxX而随机变量而随机变量Y 在在X=x 的条件下具有的条件下具有(0, x
30、)上均匀分布求上均匀分布求Y 的的密度密度fY(y) . 解解 由题设，由题设，X 只在只在(0,+ )内取值，且内取值，且Y 在条件在条件“Xx”下下的的 条件分布为条件分布为(0, x)上的均匀分布于是当上的均匀分布于是当x0时，时， )|(xyf ,0,0,1其他其他xyx从而从而(X, Y) 的联合密度的联合密度)()|(),(xfxyfyxfX 其其他他,0,0,2xyex dxyxfyfY),()(于于是是 , 0,0,0,2yydxeyx , 0,0,0,yyey Y 服从指数分布服从指数分布3.4 随机变量的随机变量的 独立性独立性 第一章定义了两个事件相互独立，而随机事件对应
31、着随机第一章定义了两个事件相互独立，而随机事件对应着随机变量在某个实数集上取值，若对两个随机变量变量在某个实数集上取值，若对两个随机变量X、Y 而言，事而言，事件件X=xi, Y=yj就相当于事件就相当于事件X=xi和和Y=yj同时发生，因此，这同时发生，因此，这两个随机事件的独立性可表示为两个随机事件的独立性可表示为 PX=xi, Y=yj=PX=xi PY=yj ，或，或pij=pi.p.j 为更具一般性，下面用分布函数给独立性下定义为更具一般性，下面用分布函数给独立性下定义 设设F(x, y) 是是(X, Y) 的分布函数，的分布函数，FX(x)、FY(y)是是(X, Y)关于关于X和和
32、Y 的边缘分布函数，若对一切的边缘分布函数，若对一切x，y 有有 F(x, y) = FX(x)FY(y).即即 PX x, Y y=PX xP Y y 则称随机变量则称随机变量X 和和Y 相互独立相互独立 若若(X, Y)是连续型随机变量，是连续型随机变量，f(x, y)是是(X, Y)的概率密度，的概率密度，fX(x)和和fY(y)分别是分别是(X, Y)关于关于X、Y 的边缘概率密度，则的边缘概率密度，则X与与Y 相互独相互独立的充要条件是立的充要条件是 f(x, y) = fX(x) fY(y)。 同样，当同样，当(X, Y)是离散型随机变量时是离散型随机变量时X与与Y 相互独立的充要
33、条相互独立的充要条件是件是 PX=xi, Y=yj = PX=xiPY=yj.(也就是也就是pij=pi.p.j) 例例1 证明中的二维正态随机变量证明中的二维正态随机变量(X, Y)中中X、Y相互相互独立的充独立的充要条件为要条件为 = 0 证证 因为二维正态随机变量因为二维正态随机变量(X, Y)的概率密度为的概率密度为)()(2)()1(212212222212121212121),( yyxxeyxf由由3.2例例3其关于其关于X 和和Y 的边缘概率密度为的边缘概率密度为),(21)(21212)(1 xXexf),(21)(22222)(2 yYeyf 22222121)()(212
34、121),(, 0 yxeyxf则则若若= fX(x) fY(y) 故故X与与Y 相互独立相互独立 反之，若反之，若X 和和Y 相互独立，则对所有相互独立，则对所有x、y 有有f(x, y) = fX(x) fY(y)。 特别令特别令x=1，y=2，由上面几个关系式应得到，由上面几个关系式应得到2122121121 从而从而= 0 例例2 设二维随机变量设二维随机变量(X, Y)的概率密度的概率密度 , 0,3),(xyxf.,0 , 10其其他他xyx 问问X、Y是否独立是否独立 解解 dyyxf),(由由10 ,3302 xxxdyx , 0,3)(2xxfX得得., 10其他其他 x d
35、xyxf),(由由 12)1(233yyxdx)10( y ., 010),1(23)(2其其他他得得yyyfY因因f(x, y) fX(x)fY(y)，所以所以X、Y不独立不独立 例例3 (会面问题会面问题)甲乙两人约定甲乙两人约定0时到时到1时在某处会面，他们到时在某处会面，他们到达会面地点的时间均匀分布在达会面地点的时间均匀分布在01时设他们两人到达的时间时设他们两人到达的时间是相互独立的，二人约定先到者应等候另一个人一刻钟，过时是相互独立的，二人约定先到者应等候另一个人一刻钟，过时即可离去，求两人能会面的概率即可离去，求两人能会面的概率 解解 设设X、Y 分别表示甲、乙两人到达的时间分
36、别表示甲、乙两人到达的时间(单位：小时单位：小时)，由已知条件，由已知条件，X 和和Y 的概率密度分别为的概率密度分别为 , 0, 1)(xfX., 10其他其他 x.,10其其他他 y , 0, 1)(yfY因因X 和和Y 相互独立，故相互独立，故(X, Y) 的概率密度的概率密度 f(x, y) = fX(x) fY(y), 即即 其他其他010 , 101),(yxyxf两人能会面等价于两人能会面等价于|XY|1/4 P|XY|1/4 41|41|),(yxyxdxdydxdyyxf16743431 O 1/4 1 x y 11/4能会面的概率等于阴影部分面积能会面的概率等于阴影部分面积
37、 上述关于二维随机变量的上述关于二维随机变量的独立性独立性概念，容易推广到概念，容易推广到 n 维随维随机变量的情况，见机变量的情况，见68面面 1. 二维随机变量的分布函数二维随机变量的分布函数.,),(yYxXPyxF 2. 二维离散型随机变量的分布律及分布函数二维离散型随机变量的分布律及分布函数,ijjipyYxXP ;, 2 , 1, ji yyxxijjipyxF),( 3. 二维连续型随机变量的概率函数二维连续型随机变量的概率函数vuvupyxFyxdd),(),( 一、二维随机变量及其分布一、二维随机变量及其分布解解,dd),()(11 yxyxp因因为为1dd)6(2042 x
38、yyxk所所以以;81 k.4)4(;5 . 1)3(;3, 1)2(;) 1 (., 0, 42, 20),6(),(),( YXPXPYXPkyxyxkyxpYX求求求求确确定定常常数数其其它它具具有有概概率率密密度度设设二二维维随随机机变变量量例例3, 1)2( YXP;83dd)6(811032 xyyx5 . 1)3( XP;3227dd)6(815 . 1042 xyyx4)4( YXP.32dd)6(814240 yxyxy4YXP oxyyx 4二、边缘分布二、边缘分布 xXxyyxfxFxFdd),(),()( yyxfxfXd),()(联合分布联合分布 边缘分布边缘分布 x
39、yxfyfYd),()( yYyxyxfyFyFdd),(),()(解解yyxfxfXd),()( yexyd yyxfxfXd),()( .xe ,0时时当当 x. 0 .,)(其其它它故故00 xexpxX例例,0时时当当 x ., 0,0,),(),(其它其它yxeyxfYXy.1)2();()1( YXPxfX求求1)2( YXP xxyyedx1210dxeexxd)1(210 .21211 eeyxyxpyxdd),( 1xy Oxyxy 1 21;, 2 , 1,1 ipxXPjiji., 2 , 1,1 jpyYPiijjXYixxx21jyyy2112111ippp22212
40、ipppijjjppp21,),()(1 xxjijXipxFxF.),()(1 yyiijYjpyFyF例例 已知下列分布律求其边缘分布律已知下列分布律求其边缘分布律.XY1042124212421242610XY1042124212421242610iixXPp jjyYPp 解解 747317473 三、条件分布三、条件分布|iji jxXyYPp )3 , 2 , 1( jppiij|jijiyYxXPp )3 , 2 , 1( ippjij xxjijiyYxXPyxF)|()|( xxjiip| yyijijxXyYPxyF)|()|( yyi jjp| )|(yxf)(),(yf
41、yxfY )|(xyf)(),(xfyxfX )|(yxF xYduyfyuf)(),( )|(xyF yXdvxfvxf)(),(四、随机变量的独立性四、随机变量的独立性 1、设、设F(x, y) 是是(X, Y) 的分布函数，的分布函数，FX(x)、FY(y)是是(X, Y)关于关于X和和Y 的边缘分布函数，若对一切的边缘分布函数，若对一切x，y 有有 F(x, y) = FX(x)FY(y).则称随机变量则称随机变量X 和和Y 相互独立相互独立 2、若、若(X, Y)是连续型随机变量，则是连续型随机变量，则X与与Y 相互独立的充要条相互独立的充要条件是件是 f(x, y) = fX(x)
42、 fY(y)。 3、若若(X, Y)是离散型随机变量是离散型随机变量，则，则X与与Y 相互独立的充要条相互独立的充要条件是件是 PX=xi, Y=yj = PX=xiPY=yj.也就是也就是 pij=pi.p.j解解, 1dd),() 1 ( yxyxp因为xyxCyxdd)1(100 yxyxpdd),( 可得.,)(;,)(;)(.,.,),(),(),(的的独独立立性性判判断断的的边边缘缘概概率率密密度度关关于于求求关关于于的的值值求求其其它它设设YXYXCxyxxCyyxpYX32100101 例例 ., 0.0 , 10),1 (24),(其它故xyxxyyxp124d2)1(210
43、 CxxxC.24 Cxy oxy1 xyxyyyxpxpxXd)1(24d),()(0 ).1(122xx ,10)2(时时当当 x,1, 0时时或或当当 xx.0d),()( yyxpxpX ., 0, 10),1 (12)(2其它xxxxpX于是于是 (X, Y)关于关于X 的边缘概率密度为的边缘概率密度为xyxpypYd),()( .)1(122yy xxyyd)1(241 ,10时时当当 yxy oxy1 x ., 0, 10,)1 (12)(2其它因而得yyyypY),()(),()3(ypxpyxpYX 由于.,不不相相互互独独立立所所以以YX.0d),()( xyxpypY,1
44、, 0时时或或当当 yy五、两个随机变量函数的分布五、两个随机变量函数的分布1. 离散型随机变量函数的分布离散型随机变量函数的分布ijjipyYxXP , ),(),(jikyxfzijkpzYXgZP2. 连续型随机变量函数的分布连续型随机变量函数的分布（1）Z=XY 的分布的分布 dxxzxfzfZ),()( dyyyzfzfZ),()(特别特别X 和和Y 相互独立时，有相互独立时，有卷积公式卷积公式dxxzfxfffYXYX)()( dyyfyzfYX)()( （2）Z=X 2Y 2的分布的分布（3）M=maxX, Y及及N=minX, Y的分布的分布X 和和Y 相互独立时相互独立时FM
45、(Z)= FX(z)FY(z)FN(Z) =11 FX(z)1 FY(z)解解),max(54321XXXXXD 设设例例1.4),max(:., 0, 0,1)(:,55432182543212的的概概率率试试求求其其它它且且都都服服从从同同一一分分布布机机变变量量设设它它们们是是相相互互独独立立的的随随察察值值为为得得到到的的观观次次测测量量了了对对某某种种电电子子装装置置的的输输出出 XXXXXzezFXXXXXze,)()(5maxzFzF 因因为为41 DP.)1(152ee )4(1maxF 5)4(1F 4 DP所所以以例例2 设相互独立的两个随机变量设相互独立的两个随机变量 X, Y 具有同一具有同一分布律分布律, 且且 X 的分布律为的分布律为XP105 . 05 . 0.),max(:的的分分布布律律试试求求YXZ ,jYPiXPjYiXP 所以所以于是于是XY1010221221221221解解,相相互互独独立立与与因因为为YX),max(iYXP ,iYiXP ,iYiXP 0),max( YXP0 , 0P ,212 1),max( YXP1 , 11 , 00 , 1PPP 222212121 .232 的的分分布布律律为为故故),max(YXZ ZP104341XY1010221221221221
