1、第五章积分学积分学不定积分不定积分定积分定积分定积分 第一节一、一、定积分问题举例定积分问题举例二、二、 定积分的定义定积分的定义三、三、 定积分的性质定积分的性质机动 目录 上页 下页 返回 结束 定积分的概念及性质 第五五章 一、定积分问题举例一、定积分问题举例1. 曲边梯形的面积曲边梯形的面积设曲边梯形是由连续曲线)0)()(xfxfy，轴及x以及两直线bxax,所围成 , 求其面积 A .?A机动 目录 上页 下页 返回 结束 )(xfy 矩形面积ahhaahb梯形面积)(2bah1xix1ixxabyo解决步骤解决步骤 :1) 大化小大化小.在区间 a , b 中任意插入 n 1 个
2、分点bxxxxxann1210,1iiixx用直线ixx 将曲边梯形分成 n 个小曲边梯形;2) 常代变常代变.在第i 个窄曲边梯形上任取作以,1iixx为底 ,)(if为高的小矩形, 并以此小梯形面积近似代替相应窄曲边梯形面积,iA得)()(1iiiiiixxxxfA),2, 1,nii机动 目录 上页 下页 返回 结束 3) 近似和近似和.niiAA1niiixf1)(4) 取极限取极限. 令, max1inix则曲边梯形面积niiAA10limniiixf10)(lim机动 目录 上页 下页 返回 结束 xabyo1xix1ixi2. 变速直线运动的路程变速直线运动的路程设某物体作直线运
3、动, ,)(21TTCtvv且,0)(tv求在运动时间内物体所经过的路程 s.解决步骤解决步骤:1) 大化小大化小., ,1iiitt任取将它分成, ),2, 1(,1nittii在每个小段上物体经2) 常代变常代变.,)(代替变速以iv得iiitvs)(,1,21个分点中任意插入在nTT),2, 1(nisi), 2, 1(ni已知速度机动 目录 上页 下页 返回 结束 n 个小段过的路程为3) 近似和近似和.iniitvs1)(4) 取极限取极限 .iniitvs10)(lim)max(1init上述两个问题的共性共性: 解决问题的方法步骤相同 :“大化小 , 常代变 , 近似和 , 取极
4、限 ” 所求量极限结构式相同: 特殊乘积和式的极限机动 目录 上页 下页 返回 结束 abxo二、定积分定义二、定积分定义 ( P225 ),)(上定义在设函数baxf的若对,ba任一种分法,210bxxxxan,1iiixxx令任取, ,1iiixxi时只要0max1inixiniixf1)(总趋于确定的极限 I , 则称此极限 I 为函数)(xf在区间,ba上的定积分定积分,1xix1ixbaxxfd)(即baxxfd)(iniixf10)(lim此时称 f ( x ) 在 a , b 上可积可积 .记作机动 目录 上页 下页 返回 结束 baxxfd)(iniixf10)(lim积分上限
5、积分下限被积函数被积表达式积分变量积分和称为积分区间,ba定积分仅与被积函数及积分区间有关 , 而与积分变量用什么字母表示无关 , 即baxxfd)(battfd)(bauufd)(机动 目录 上页 下页 返回 结束 定积分的几何意义定积分的几何意义:Axxfxfbad)(,0)(曲边梯形面积baxxfxfd)(,0)(曲边梯形面积的负值abyx1A2A3A4A5A54321d)(AAAAAxxfba各部分面积的代数和A机动 目录 上页 下页 返回 结束 o1 xyni定理定理1.上连续在函数,)(baxf.,)(可积在baxf定理定理2.,)(上有界在函数baxf且只有有限个间断点 可积的充
6、分条件可积的充分条件:(证明略)例例1. 利用定义计算定积分.d102xx解解: 将 0,1 n 等分, 分点为niix ), 1 ,0(ninix1,nii取),2, 1(ni机动 目录 上页 下页 返回 结束 .,)(可积在baxf2xy iiiixxf2)(则32nio1 xyniiinixf)(1niin1231) 12)(1(6113nnnn)12)(11 (61nniniixxx120102limdnlim31)12)(11 (61nn2xy 注注注 目录 上页 下页 返回 结束 注注 利用,133) 1(233nnnn得133) 1(233nnnn1) 1( 3) 1( 3) 1
7、(233nnnn1131312233两端分别相加, 得1) 1(3n)21 ( 3nn即nnn3323nii12332) 1( nnnnii1261) 12)(1(nnn)21 ( 3222n121lim)2(ppppnnnnnipn1lim1nixxpd10iix例例2. 用定积分表示下列极限:ninnin111lim) 1 (121lim)2(ppppnnn解解:ninnin111lim) 1 (nninin11lim1iixxxd110机动 目录 上页 下页 返回 结束 x01ni 1ni说明说明:机动 目录 上页 下页 返回 结束 , ,)(baCxf设,d)(存在则baxxf根据定积
8、分定义可得如下近似计算方法:), 1 ,0(nixiaxi,nabx), 1 ,0()(niyxfii记baxxfd)(. 1xyxyxyn110)(110nnabyyy将 a , b 分成 n 等份: abxoyix1ix(左矩形公式)(21nnabyyy(右矩形公式)baxxfd)(. 2xyxyxyn21baxxfd)(. 3xyyii211)()(21110nnyyyynab(梯形公式)11ni为了提高精度, 还可建立更好的求积公式, 例如辛普森机动 目录 上页 下页 返回 结束 abxoyix1ix公式, 复化求积公式等, 并有现成的数学软件可供调用.三、定积分的性质三、定积分的性质
9、(设所列定积分都存在)abbaxxfxxfd)(d)(. 10d)(aaxxfbaxd. 2xxfkxxfkbabad)(d)(. 3( k 为常数)bababaxxgxxfxxgxfd)(d)(d)()(. 4证证:iiinixgf)()(lim10左端iiniiinixgxf)(lim)(lim1010= 右端ab机动 目录 上页 下页 返回 结束 bccabaxxfxxfxxfd)(d)(d)(. 5证证: 当bca时,因)(xf在,ba上可积 ,所以在分割区间时, 可以永远取 c 为分点 , 于是,)(baiixf,)(caiixf,)(bciixfabc0令baxxfd)(caxxf
10、d)(bcxxfd)(机动 目录 上页 下页 返回 结束 abc当 a , b , c 的相对位置任意时, 例如,cba则有caxxfd)(baxxfd)(cbxxfd)(caxxfd)(baxxfd)(cbxxfd)(caxxfd)(bcxxfd)(机动 目录 上页 下页 返回 结束 6. 若在 a , b 上0)(1iinixf则.0d)(xxfba证证:,0)(xfbaxxfd)(0)(lim10iinixf推论推论1. 若在 a , b 上, )()(xgxf则xxfbad)(xxgbad)(机动 目录 上页 下页 返回 结束 推论推论2.xxfbad)(xxfbad)(证证:)( x
11、f)(xf)(xf)(ba xxfxxfxxfbababad)(d)(d)(即xxfxxfbabad)(d)(7. 设, )(min, )(max,xfmxfMbaba则)(d)()(abMxxfabmba)(ba 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例3. 试证:.2dsin120 xxx证证: 设)(xf,sinxx则在),0(2上 , 有)(xf2sincosxxxx)tan(xx2cosxx0)0()()(fxff2即2, 1)(xf), 0(x2故xxxfxd1d)(d2220002即2dsin120 xxx机动 目录 上页 下页 返回 结束 8. 积分中值定理积分中值定理, ,)
12、(baCxf若则至少存在一点, ,ba使)(d)(abfxxfba证证:,)(Mmbaxf别为上的最小值与最大值分在设则由性质性质7 可得Mxxfabmbad)(1根据闭区间上连续函数介值定理,上至少存在一在,ba, ,ba点使xxfabfbad)(1)(因此定理成立.性质7 目录 上页 下页 返回 结束 oxbay)(xfy 说明说明:.都成立或baba 可把)(d)(fabxxfba.,)(上的平均值在理解为baxf故它是有限个数的平均值概念的推广.机动 目录 上页 下页 返回 结束 积分中值定理对abxxfbad)(因nabfabniin)(lim11)(1lim1niinfn例例4.
13、计算从 0 秒到 T 秒这段时间内自由落体的平均速度. 解解: 已知自由落体速度为tgv 故所求平均速度v2211TgT2TgTttg0d01T机动 目录 上页 下页 返回 结束 otgv vTt221TgS 内容小结内容小结1. 定积分的定义 乘积和式的极限2. 定积分的性质3. 积分中值定理机动 目录 上页 下页 返回 结束 矩形公式 梯形公式连续函数在区间上的平均值公式近似计算01xn1n2nn 1思考与练习思考与练习1. 用定积分表示下述极限 :nnnnnIn) 1(sin2sinsin1lim解解:10sinlimnknnkI1n0dsin1xxnn2nn) 1( 0 x或)(sin
14、lim10nknnkIn110dsinxx机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考思考: 如何用定积分表示下述极限 nnnnnnIn) 1(sinsin2sin1lim提示提示:nknnkI1sinlim1nnnnnsin1limnnnn) 1(sin1lim0dsin1xx极限为 0 !机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. P233 题33. P233 题8 (2) , (4)题8(4) 解解: 设, )1ln()(xxxf则xxf111)( 1 ,0(x,0)(xf 1 ,0(,0)0()(xfxf0d)(10 xxf即xxxxd)1 (lnd1010机动 目录 上页 下页 返回 结束 作业作业 P233 2 (2) , 4 6 (3) , (4) ; 7(3) ; 8 (1) , (5) 第二节 目录 上页 下页 返回 结束
