1、三、环流量与旋度三、环流量与旋度 斯托克斯公式 环流量与旋度 第七节一、斯托克斯公式一、斯托克斯公式*二、空间曲线积分与路径无关的条件二、空间曲线积分与路径无关的条件 *四、向量微分算子四、向量微分算子 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第十章 yozx一一、 斯托克斯斯托克斯( Stokes ) 公式公式 定理定理1. 设光滑曲面 的边界 是分段光滑曲线, yxyPxQxzxRzPzyzQyRddddddzRyQxPddd (斯托克斯公式斯托克斯公式)个空间域内具有连续一阶偏导数, 的侧与 的正向符合右手法则, RQP,在包含 在内的一证证:情形情形1 与平行 z 轴的直线只交于 一点,
2、设其方程为yxDyxyxfz),(, ),(:n为确定起见, 不妨设 取上侧 (如图).yxDC则有简介 目录 上页 下页 返回 结束 则xPdCxyxzyxPd),(,(利用格林公式) yxyxzyxPyyxDdd),(,(yxyzzPyPyxDddSfzPyPydcos,cos2211yxff ,cos221yxyfffcoscosyfyozxnyxDC定理1 目录 上页 下页 返回 结束 因此SzPyPxPdcoscoscosdSyPzPdcoscosyxyPxzzPdddd同理可证yQdzyzQyxxQddddxRdxzxRzyyRdddd三式相加, 即得斯托克斯公式 ;定理1 目录
3、上页 下页 返回 结束 情形情形2 曲面 与平行 z 轴的直线交点多于一个, 则可通过作辅助线面把 分成与z 轴只交于一点的几部分,在每一部分上应用斯托克斯公式, 然后相加, 由于沿辅助曲线方向相反的两个曲线积分相加刚好抵消,所以对这类曲面斯托克斯公式仍成立. 注意注意: 如果 是 xoy 面上的一块平面区域, 则斯托克斯公式就是格林公式,故格林公式是斯托克斯公式的特例.证毕定理1 目录 上页 下页 返回 结束 为便于记忆, 斯托克斯公式还可写作:RQPzyxyxxzzyddddddzRyQxPddd 或用第一类曲面积分表示:SRQPzyxdcoscoscoszRyQxPddd 定理1 目录
4、上页 下页 返回 结束 yxzyxxzzyzyxddddddzxy111o例例1. 利用斯托克斯公式计算积分zyyxxzddd其中为平面 x+ y+ z = 1 被三坐标面所截三角形的整个解解: 记三角形域为, 取上侧, 则边界, 方向如图所示. zyyxxzdddyxxzzydddddd利用对称性yxDyxdd323yxD机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2. 为柱面与平面 y = z 的交线,从 z 轴正向看为顺时针, 计算.ddd2zxzyxyxyIoz2yx解解: 设为平面 z = y 上被 所围椭圆域 , 且取下侧,0cos利用斯托克斯公式得SIdSzyd)(210则其法线方向
5、余弦,21cos21coscoscoscoszyxzxyxy2yyx222公式 目录 上页 下页 返回 结束 zRyQxPudddd*二、空间曲线积分与路径无关的条件二、空间曲线积分与路径无关的条件定理定理2. 设 G 是空间一维单连通域, 内在函数GRQP,具有连续一阶偏导数,则下列四个条件相互等价: (1) 对G内任一分段光滑闭曲线 , 有0dddzRyQxP(2) 对G内任一分段光滑曲线 , zRyQxPddd与路径无关(3) 在G内存在某一函数 u, 使(4) 在G内处处有zPxRyRzQxQyP,机动 目录 上页 下页 返回 结束 ),(),(000ddd),(zyxzyxzRyQx
6、Pzyxu证证:) 1 ()4(由斯托克斯公式可知结论成立;)2() 1 (自证) )3()2(设函数 则xu),(),(0ddd1limzyxxzyxxzRyQxPx0limxxzyxuzyxxu),(),(xxxxxPxd1lim0),(lim0zyxxpx),(zyxP定理2 目录 上页 下页 返回 结束 同理可证 ),(zyxQyu),(zyxRzu故有zRyQxPudddd)4()3(若(3)成立, 则必有RzuQyuPxu,因P, Q, R 一阶偏导数连续, 故有yxuyP2xQ同理zPxRyRzQ,证毕定理2 目录 上页 下页 返回 结束 zyxyxzxzyd)(d)(d)(与路
7、径无关, 并求函数zyxyxzxzyzyxuzyxd)(d)(d)(),(),()0 , 0 , 0(解解: 令yxRxzQzyP,1xQyP,1yRzQyPxR1 积分与路径无关,),(zyxuzyxxy)( yxyd0zyxzd)(0zxyzxyxzyo),(zyx)0 ,(yx)0 , 0 ,(xxxd00因此例例3. 验证曲线积分定理2 目录 上页 下页 返回 结束 三、三、 环流量与旋度环流量与旋度斯托克斯公式yxxzzyyPxQxRzPzQyRdd)(dd)(dd)(zRyQxPddd设曲面 的法向量为 曲线 的单位切向量为则斯托克斯公式可写为 SyPxQxRzPzQyRdcosc
8、oscossRQPd)coscoscos()cos,cos,(cosn)cos,cos,(cos机动 目录 上页 下页 返回 结束 令 , 引进一个向量),(RQPA Arot)(),(),(yPxQxRzPzQyR记作向量 rot A 称为向量场 A 的RQPkjizyx称为向量场A定义定义: sAzRyQxPdddd沿有向闭曲线 的环流量环流量.sASnAddrot或sASAndd)(rot于是得斯托克斯公式的向量形式 : 旋度旋度 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 ozxyl设某刚体绕定轴 l 转动,M为刚体上任一点, 建立坐标系如图,M则),(zyxr 角速度为 ,r), 0, 0
9、(点 M 的线速度为rvvrotzyxkji00)0,(xy0 xykjizyx)2, 0, 0(2(此即“旋度”一词的来源)旋度的力学意义旋度的力学意义:机动 目录 上页 下页 返回 结束 向量场 A 产生的旋度场 穿过 的通量 注意 与 的方向形成右手系! sASAndd)(rot为向量场 A 沿 的环流量斯托克斯公式斯托克斯公式的物理意义的物理意义:例例4. 求电场强度 rrqE3zyxkjiErot的旋度 .解解: )0, 0, 0(除原点外)这说明, 在除点电荷所在原点外, 整个电场无旋.3rxq3ryq3rzq机动 目录 上页 下页 返回 结束 zyxkjiArot的外法向量,计算
10、解解: ) 1,0,0(SIdcosyxyxDdd28232zxy, 4:222zyx例例5. 设),3,2(2zxyA .drotSnAI)cos,cos,(cosn为n机动 目录 上页 下页 返回 结束 *四、向量微分算子四、向量微分算子定义向量微分算子:kjizyx它又称为( Nabla )算子, 或哈密顿( Hamilton ) 算子. ),() 1(zyxuu 设则kjiuzuyuxuugraduu2ugrad222222zuyuxuu机动 目录 上页 下页 返回 结束 A,),(),(),()2(kzyxRjzyxQizyxPA则zRyQxPAdivARQPkjizyxSAvAnd
11、dArot高斯公式与斯托克斯公式可写成:sASAndd)(机动 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结1. 斯托克斯公式斯托克斯公式zRyQxPdddRQPyxxzzyzyxddddddSRQPzyxdcoscoscos机动 目录 上页 下页 返回 结束 zRyQxPddd在内与路径无关在内处处有在内处处有),(rotRQPxQyP,yRzQ,zPxR2. 空间曲线积分与路径无关的充要条件空间曲线积分与路径无关的充要条件设 P, Q, R 在内具有一阶连续偏导数, 则RQPkjizyx0机动 目录 上页 下页 返回 结束 zuyuxu,3. 场论中的三个重要概念场论中的三个重要概念设,
12、 ),(zyxuu , ),(RQPA 梯度梯度:uradgu,zyxzRyQxPRQPkjizyxArotAAdivA机动 目录 上页 下页 返回 结束 散度散度:旋度旋度:则思考与练习思考与练习,222zyxr设则.)radg(rot;)radg(divrr提示提示:rradgrzryrx,)(rxx2rrrxx,322rxr )(ryy322ryr )(rzz322rzr )0,0,0(r2)radg(rotr三式相加即得)radg(divrrzryrxzyxkji0机动 目录 上页 下页 返回 结束 作业作业P183 1 (1),(3),(4) ; 2(1),(3) ; 3(1); 4 (2) ; 6补充题: 证明 0)() 1(u)0)rot(grad(u即0)()2(A)0)rot(div(A即习题课 目录 上页 下页 返回 结束 斯托克斯斯托克斯(1819-1903)英国数学物理学家. 他是19世纪英国数学物理学派的重要代表人物之一, 其主要兴趣在于寻求解重要数学物理问题的有效且一般的新方法, 在1845年他导出了著名的粘性流体运动方程 ( 后称之 为纳维 斯托克斯方程 ), 1847年先于 柯西提出了一致收敛的概念. 他提出的斯托克斯公式 是向量分析的基本公式. 他一生的工作先后分 五卷 出版 .机动 目录 上页 下页 返回 结束
