1、3.3 条件分布条件分布 一般情况下，一般情况下，X、Y 联合分布可以唯一确定边缘分布，然联合分布可以唯一确定边缘分布，然而若已知两个边缘分布，则不一定能确定它们的联合分布这而若已知两个边缘分布，则不一定能确定它们的联合分布这就象由就象由P(A)、P(B)不能确定不能确定P(AB)一样，但是，由一样，但是，由P(A)和和P(B|A)可以确定可以确定P(AB)，于是引进了与条件概率对应的条件分布。，于是引进了与条件概率对应的条件分布。 有时须考虑二维离散型随机变量有时须考虑二维离散型随机变量(X, Y) 中某分量取某定值中某分量取某定值的条件下的条件下,另一分量的概率分布借助条件概率定义，我们有
2、另一分量的概率分布借助条件概率定义，我们有 若若PX xi0，则称，则称|iji jxXyYPp 为在为在X xi的条件下的条件下Y 的条件分布律的条件分布律，简称，简称条件分布条件分布,ijixXPyYxXP )3 , 2 , 1( jppiij|jijiyYxXPp 同样，若同样，若P Y = yj 0，则称，则称为在为在Y yi条件下条件下X 的条件分布律的条件分布律 显然，条件分布亦满足一般概率分布（亦称显然，条件分布亦满足一般概率分布（亦称无条件概率分无条件概率分布布）的基本性质：）的基本性质：(1) P Y = yj X xi 0 (j =1，2，) 1)2(jPY = yj X
3、xi =1 条件分布的定义表明，条件分布的定义表明，二维离散随机变量二维离散随机变量(X, Y) 的联合分的联合分 布不但确定了其边缘分布，而且也确定了其条件分布；反过来布不但确定了其边缘分布，而且也确定了其条件分布；反过来 如果知道了如果知道了(X, Y) 关于关于X 的边缘分布及的边缘分布及X xi条件下条件下Y 的条件分的条件分 布布(i =1,2,), 则则 (X, Y) 的联合分布的联合分布pij (i、j =1,2,) 亦被确定下来亦被确定下来)3 , 2 , 1(, ippyYPyYxXPjijjji 同样地，同样地，pij(i、j =1,2,)亦可由亦可由 (X, Y) 关于关
4、于Y 的边缘分布及的边缘分布及Y = yj条件下条件下X 的条件分布的条件分布(j =1,2,)确定确定 例例1 一射手进行射击一射手进行射击, 击中目标的概率为击中目标的概率为p（0p 1)，射，射击到击中目标两次为止设以击到击中目标两次为止设以X 表示首次击中目标所进行的射表示首次击中目标所进行的射击次数，以击次数，以Y 表示总共进行的射击次数试求表示总共进行的射击次数试求X 和和Y 的联合分的联合分布律及条件分布律布律及条件分布律 解解 Y= n 表示第表示第n次射击击中目标，且在前次射击击中目标，且在前n-1次射击中恰有次射击中恰有一次击中目标而各次射击是相互独立的，所以不管一次击中目
5、标而各次射击是相互独立的，所以不管()是多少，总有是多少，总有)1(,222pqqpqqqppnYmXPnn 个个即得即得X 和和Y 的联合分布律为的联合分布律为)1, 2 , 1;, 3 , 2(,22 nmnqpnYmXPn 1,mnnYmXPmXP又又212 nmnqp1121 mmpqqqp), 2 , 1( m 11,nmnYmXPnYP2112 nnmqp), 3 ,2()1(22 nqpnn于是于是 ,|nYPnYmXPnYmXP)1, 2 , 1(11 nmn ,|mXPnYmXPmXnYP), 2, 1(1 mmnpqmn给定给定Y yi 条件下条件下X 的条件分布函数的条件
6、分布函数为为 xxjijiyYxXPyxF)|()|( xxjiip| yyijijxXyYPxyF)|()|(给定给定X xi 条件下条件下Y 的条件分布函数的条件分布函数为为 yyi jjp| 若若(X , Y) 是二维连续型随机变量是二维连续型随机变量, 对任意对任意x, y 有有P Xx =0, PY =y=0, 因此不能直接用条件概率公式引入因此不能直接用条件概率公式引入“条件分布函数条件分布函数” 了下面我们用极限的方法来处理了下面我们用极限的方法来处理 给定给定y，设对于任意固定的正数，设对于任意固定的正数，Py-0， 则对于任意则对于任意x 有有,| yYyPyYyxXPyYy
7、xXP 上式给出了在条件上式给出了在条件y-Yy+下下X 的条件分布函数现在的条件分布函数现在 我们引入以下的定义：我们引入以下的定义： 给定给定y，设对于任意固定的正数，设对于任意固定的正数，Py-0， 若对于任意实数若对于任意实数x，,lim|lim00 yYyPyYyxXPyYyxXP存在，则称此极限为在条件存在，则称此极限为在条件Y = y下下X 的的条件分布函数条件分布函数，写作，写作PX xY = y 或记为或记为 F (x|y) 。 设设 (X, Y)的分布函数为的分布函数为F(x,y) ，概率密度为，概率密度为f(x,y)，若在点，若在点(x,y)处处f(x,y)和和fY(y)
8、都连续，且都连续，且FY(y)0，则有，则有 )|(|yxFYX,lim0 yYyPyYyxXP)()(),(),(lim0 yFyFyxFyxFYY2/)()(2/),(),(lim0 yFyFyxFyxFYY)(),(yFdydyyxFY 若记若记 f(x|y) 为在条件为在条件Y = y下下X 的条件概率密度的条件概率密度, 则则 )|(yxF亦亦即即)(),(yfduyufYx )|(yxF xYduyfyuf)(),( )|(yxf)(),(yfyxfY )|(xyF )|(xyf)(),(xfyxfX 类似地类似地 yXdvxfvxf)(),( ,0,10,8),(2其其他他yxx
9、yyxf。和和求求条条件件密密度度)|()|(xyfyxf dyyxfxfX),()(解解： ,0,10,8122其他其他xdyxyx 例例2 设随机变量设随机变量(X, Y) 的联合密度为的联合密度为 其他其他0103/ )(83xxx dxyxfyfY),()( ,0,10,802其其他他ydxxyy 其他其他01043yy于是当于是当0y 1时时 )|(yxf )(),(yfyxfY ;,0,0,2其其他他yxyx当当0 x 1时时 )|(xyf )(),(xfyxfX .,0,1,1362其其他他yxxy 例例3 设随机变量设随机变量X的密度函数为的密度函数为)0(, 0,0,0,)(
10、2 xxxexfxX而随机变量而随机变量Y 在在X=x 的条件下具有的条件下具有(0, x)上均匀分布求上均匀分布求Y 的的密度密度fY(y) . 解解 由题设，由题设，X 只在只在(0,+ )内取值，且内取值，且Y 在条件在条件“Xx”下下的的 条件分布为条件分布为(0, x)上的均匀分布于是当上的均匀分布于是当x0时，时， )|(xyf ,0,0,1其他其他xyx从而从而(X, Y) 的联合密度的联合密度)()|(),(xfxyfyxfX 其其他他,0,0,2xyex dxyxfyfY),()(于于是是 , 0,0,0,2yydxeyx , 0,0,0,yyey Y 服从指数分布服从指数分布
