1、1.5 全概率公式和贝叶斯公式全概率公式和贝叶斯公式 一、一、全概率公式全概率公式例例1 有有10件产品，其中有件产品，其中有3件为次品，从中任取一件不放件为次品，从中任取一件不放回，连续取两次，求第回，连续取两次，求第2次取到的为次品的概率次取到的为次品的概率 解解 令令A表表 “第第2次取到次品次取到次品”，B表表 “第一次取到正品第一次取到正品”， 则则92)|(,93)|(,103)(,107)( BAPBAPBPBP互不相容互不相容与与且且BAABBAABA, )()()(BAPABPAP )|()()|()(BAPBPBAPBP 10/3 从形式上看，上述分解式似乎将从形式上看，上
2、述分解式似乎将A复杂化了；但从实质上复杂化了；但从实质上看，上述分解式将复杂的事件看，上述分解式将复杂的事件A分解为较简单的事件了把这分解为较简单的事件了把这个想法一般化，得个想法一般化，得 全概率公式全概率公式设试验设试验E 的样本空间为的样本空间为，B1，B2，Bn为为E 的一组事件，若满足的一组事件，若满足 (1) BiBj=，i、j=1，2，n，ij； (2)B1B2Bn=满足满足(1)与与(2)的事件的事件组叫样本空间的一个组叫样本空间的一个划分划分(完备事件组完备事件组) 若若P（Bi）0，（，（i=1，2，n），），那么，那么，E的任一事的任一事件件A 的概率的概率 niiini
3、iBAPBPABPAP11)|()()()(此式即为此式即为全全概率公式概率公式 证证 A =A=A(B1B2Bn) =A B1A B2A Bn 且且P（Bi）0，（，（i=1，2，n），）， (ABi )(ABj) = ，ij P(A) =P(A B1) + P(A B2) + + P(A Bn ) =P(B1) P(A|B1) + P(B2) P(A|B2) + P(Bn) P(A|Bn ) 例例1就用了就用了2 的全概率公式若的全概率公式若P(A)不易直接求得，不易直接求得， 但却容易找到但却容易找到的一个划分的一个划分B1, B2,Bn,且且P(Bi)和和P(A|Bi) 已已 知或容易
4、求，那么就可以根据全概率公式求知或容易求，那么就可以根据全概率公式求P(A)。用全概率用全概率 公式的关键在于找出完备事件组公式的关键在于找出完备事件组 例例2 某厂有某厂有1、2、3三个车间，生产同一型号的元件，其三个车间，生产同一型号的元件，其产量分别占该厂总产量的产量分别占该厂总产量的25%、35%和和40%，各车间的次品，各车间的次品率分别为率分别为5%、4%和和3%，各车间的产品都混放在一起，求从，各车间的产品都混放在一起，求从总产品中任取一件为次品的概率总产品中任取一件为次品的概率 解解 令令A表示表示“取到一件次品取到一件次品”，Bi 表示表示“取到第取到第i车间的产车间的产品品
5、”，i =1，2，3，则由题意知则由题意知P(B1)=0.25，P(B2)=0.35，P(B3)=0.4 P(A|B1)=0.05 P(A|B2)=0.04 P(A|B3)=0.03而而B1，B2，B3是完备事件组，由全概公式是完备事件组，由全概公式 P(A)=P(B1)P(A|B1)P(B2)P(A|B2)P(B3)P(A|B3) =0.250.050.350.040.400.03 =0.0385 例：有例：有12个乒乓球为新球，每次比赛时取出个乒乓球为新球，每次比赛时取出3个用完后放个用完后放 回去，求第三次比赛时取到回去，求第三次比赛时取到3个新球的概率。个新球的概率。 解：设解：设Ai
6、，Bi，Ci分别为第一、二、三次取到分别为第一、二、三次取到i个新球个新球(i=0、1、2、3）。）。，则则 3210, AAAA是是完完备备事事件件组组。且且3210,BBBB312339)(CCCBPiii 312393)(CCBCPii 146. 0)()()(3033 iiiBCPBPCP二、二、贝叶斯公式贝叶斯公式 在全概率公式中，复杂事件在全概率公式中，复杂事件A的概率是通过寻找出引的概率是通过寻找出引 起起A发生的各种发生的各种“原因原因”:B1、B2、Bn发生的概率发生的概率P(Bi)，和它们对和它们对A产生的作用产生的作用P(A|Bi)，i=1、2、n来求来求P(A)的的 P
7、(Bi)通常是从已知条件或以往经验得到的，是在试验前对通常是从已知条件或以往经验得到的，是在试验前对引起引起A发生的各种发生的各种“原因原因”发生的可能性大小的估计，称为发生的可能性大小的估计，称为验前概率验前概率若在事件若在事件A发生条件下，重新考虑引起发生条件下，重新考虑引起A发生的发生的各种各种“原因原因”发生的概率发生的概率P(Bi |A)，i=1，2，n，则可以则可以利利用条件概率定义和全概率公式推导出用条件概率定义和全概率公式推导出 此式称此式称贝叶斯公式贝叶斯公式，也称，也称逆概率公式逆概率公式 贝叶斯公式所求的贝叶斯公式所求的P(Bi |A) (i=1,2,n)又称为验后概率又
8、称为验后概率这是在试验后当这是在试验后当A发生的条件下，对导致发生的条件下，对导致A发生的各种发生的各种“原因原因”发生的可能性大小的重新估计发生的可能性大小的重新估计 niiiiiiiBAPBPBAPBPAPABPABP1)|()()|()()()()|(i=1,2,n) 例例3 对以往数据分析结果表明，当机器调整良好时，产品对以往数据分析结果表明，当机器调整良好时，产品合格率为合格率为90%，而当机器发生某一故障时，合格率为，而当机器发生某一故障时，合格率为30%每每天早上机器开动时，机器调整良好的概率为天早上机器开动时，机器调整良好的概率为75%试求已知某试求已知某日早上第一件产品是合格
9、品时，机器调整良好的概率是多少？日早上第一件产品是合格品时，机器调整良好的概率是多少？ 解解 设设A为事件为事件“产品合格产品合格”，B为事件为事件“机器调整良好机器调整良好”，已知已知P(A|B)=0.9，, 3 . 0)|( BAP,75. 0)( BP.25. 0)( BP)|()()|()()|()()()()|(BAPBPBAPBPBAPBPAPABPABP 9 . 025. 03 . 075. 09 . 075. 09 . 0 这就是说，当生产出第一件产品是合格品时，机器调整这就是说，当生产出第一件产品是合格品时，机器调整良好的概率是良好的概率是0.9这里，概率这里，概率0.75是
10、由以往的数据分析得到是由以往的数据分析得到的，是验前概率而的，是验前概率而0.9就是验后概率有了验后概率我们就就是验后概率有了验后概率我们就能对机器的情况有进一步的了解能对机器的情况有进一步的了解 例例4 根据以往记录资料，某疾病的诊断性试验具有如下效根据以往记录资料，某疾病的诊断性试验具有如下效果，确实患此病的人试验反应呈阳性的占果，确实患此病的人试验反应呈阳性的占95%，没患此病的人，没患此病的人试验反应呈阴性的占试验反应呈阴性的占95%，此病的发病率为，此病的发病率为0.5%，现对自然人，现对自然人群进行普查，求当试验反应呈阳性时，确实患此病的概率群进行普查，求当试验反应呈阳性时，确实患
11、此病的概率 解解 令令A表示表示“试验反应呈阳性试验反应呈阳性”，B表示表示“确实患此确实患此病病”，则问题所求为则问题所求为P(B|A)由题意可知：由题意可知： P(A|B) = 0.95 P(B) = 0.00595. 0)|( BAP995. 0)(1)( BPBP05. 0)|(1)|( BAPBAP087. 005. 0995. 095. 0005. 095. 0005. 0 )|()()|()()|()()()()|(BAPBPBAPBPBAPBPAPABPABP 此题的结论表明，尽管有病反应呈阳性和无病反应此题的结论表明，尽管有病反应呈阳性和无病反应 呈阴性的概率都较高，都为呈阴性的概率都较高，都为0.95，但若将此试验用于普，但若将此试验用于普 查，则有查，则有P(B|A)0.087，亦即其正确性只有亦即其正确性只有8.7%(平均平均 1000个阳性反应的人中大约只有个阳性反应的人中大约只有87人确患有此病人确患有此病)如果如果 不注意到这一点，将会经常得出错误的诊断，这也说明，不注意到这一点，将会经常得出错误的诊断，这也说明， 若将若将P(B|A) 和和P(A|B) 搞混了会造成不良的后果搞混了会造成不良的后果
