1、3.3 3.3 二维二维 r.v.函数的分布函数的分布已知r.v.( X ,Y )的概率分布, g(x, y) 为已知的二元函数, 转化为( X ,Y )的事件问题方法求 Z = g( X ,Y )的概率分布当( X ,Y )为离散r.v.时, Z 也离散),(kkjikyxgzZkkjkikkzyxgjikyYxXPzZP),(),()(, 2 , 1k当( X ,Y )为连续r.v.时，)()(zZPzFZ),(zYXgPzDdxdyyxf),(),(| ),(:zyxgyxDz其中-1-0.500.51-1-0.500.5100.250.50.751-1-0.500.51-1-0.500
2、.51),(| ),(:zyxgyxDz的几何意义：Dz例例1 1 设二维r.v.( X,Y )的概率分布为X Y pij -1 1 2-1 04161418112181求XYXYYXYX,的概率分布离散型二维离散型二维 r.v.的函数的函数解解 根据( X,Y )的联合分布可得如下表格：P 4141618181121 X +Y X -Y X Y Y / X ( X,Y ) (-1,-1) (-1,0) (1,-1) (1,0) (2,-1) (2,0)-2 -1 0 1 1 2 0 -1 2 1 3 2 1 0 -1 0 -2 0 1 0 -1 0 -1/2 0故得PX+Y-2 -1 0 1
3、 241414161121PX - Y-1 0 1 2 34141418181PX Y-2 -1 0 1 6141812411PY /X-1 -1/2 0 14181241161q 设 X B (n1, p), Y B (n2, p), 且独立，具有可加性的两个离散分布q 设 X P (1), Y P (2), 且独立，则 X + Y B ( n1+n2, p)则 X + Y P(1+ 2) X P(1), Y P(2), 则Z = X + Y 的可能取值为 0,1,2, , , ),()(0kiikYiXPkZPkiikiikeie021)!(!21kiikiikikke021)!( !21
4、!)(2121kek, 2 , 1 , 0kPoisson分布可加性的证明分布可加性的证明问题 已知r.v.( X ,Y )的d.f.数， g(x,y)为已知的二元函数，求 Z= g( X ,Y ) 的d.f.方法q 从求Z 的分布函数出发,将Z 的分布函数 转化为( X ,Y )的事件q 建立新的二维r.v.(Z ,X )或(Z, Y ), 求其边缘分布得Z 的d.f.二维连续二维连续r.v.函数的分布函数的分布(1) 和的分布：和的分布：Z = X + Y 设( X ,Y )的联合d.f.为 f (x,y), 则 zzx +y= z)()(zZPzFZ)(zYXPzyxdxdyyxf),(
5、xzdyyxfdx),(或yzdxyxfdy),(z特别地，若X ,Y 相互独立，则dxxzxfzfZ),()()3 (zdyyyzfzfZ),()(或dxxzfxfzfYXZ)()()(dyyfyzfzfYXZ)()()(或)()(zfzfYX记作)()(zfzfYX记作) 1 (z) 2 (z) 4(z称之为函数 f X ( z) 与 f Y ( z)的卷积 例例2 2 已知( X ,Y ) 的联合d.f.为其他, 010 , 10, 1),(yxyxfZ = X + Y ,求 f Z (z)解法一解法一（图形定限法）其他, 010, 1)(xxfX其他, 010, 1)(yyfY显然X
6、,Y 相互独立,且dxxzfxfzfYXZ)()()(10)(dxxzfY其他, 01, 1)(zxzxzfYz1z = x10)(dxxzfY, 20, 0zz或, 10,10zdxz, 21,111zdxzz-1 = xx2121,210,20, 0)(zzzzzzzfZ或解法二解法二 从分布函数出发)()(zYXPzFZzyxdxdyyxf),(x+y = z当z 0 时，0)(zFZ1yx1当0 z 1 时，xzzZdydxzF001)(zdxxz0)(2/2zzzfZ)(yx11x+y = zzzx+y = z当1 z 2 时，xzzdydx011111)(1zdxxzz12/22z
7、zzzfZ2)(z-11yx1zz) 1()( zzFZ例例3 3 已知 ( X ,Y ) 的联合 d.f.为其他, 00, 10,3),(xyxxyxfZ = X + Y ,求 f Z (z)解法一解法一 （图形定限法）dxxzxfzfZ),()(由公式（1）1yx1x+y = z22当2 z 时，1)(zFZ0)(zfZ21,210,20, 0)(zzzzzzzfZ或zxz = xz = 2xx = 112当 z 2 , zzzz当 0 z 1, 22/893)(zxdxzfzzZ当 1 z 2, )41 (233)(212/zxdxzfzZf Z (z) = 0其他, 02, 10,3)
8、,(xzxxxxzxf其他, 021),41 (2310,89)(22zzzzzfZ这比用分布函数做简便解法二解法二 （不等式组定限法）dxxzxfzfZ),()(考虑被积函数取非零值的区域xxzx010)(102zxxz令不等式边边相等,解得 z 轴上的三个分界点 0，1，2当 或 时不等式组 无解20zz)(10 z当 时不等式组 解为)(zxz2当 时不等式组 解为21 z)(12xz其他021)1 (3103)(1423289222zxdxzzxdxzfzzzzZq 若X ,Y 独立,),(),(222211NYNX则),(222121NYXniNXiii, 2 , 1),(2若nXX
9、X,21相互独立则),(1211niiniiniiNX推广推广独立正态变量的和仍为正态变量独立正态变量的和仍为正态变量正态分布性质4q 若(X ,Y );,;,(222211N则)2,(22212121NYX二维正态变量的两个分二维正态变量的两个分量之和仍为正态变量量之和仍为正态变量正态分布性质5另一种计算 f Z (z) 的方法q 构造一个新的二维 r.v. (Z ,V ), q 求( Z , V ) 的联合 d.f. f ( z, v )q 求边缘密度 f Z (z),(),(YXrVYXgZ其中随机变量代换法设),(),(yxrvyxgz存在唯一的反函数：h , s 有连续的偏导数, v
10、szsvhzhJ),(),(vzsyvzhx则已知 ( X ,Y )的联合 d.f. f XY ( x , y )求 (Z, V ) 的 p.d.f. f ZV(z, v) 的公式记|),(),(),(JvzsvzhfvzfXYZV证),(),(vVzZPvzFZV),(,),(vYXrzYXgPdxdyyxfvyxrzyxgXY),(),(),( zvXYdvdzJvzsvzhf|),(),(|),(),(),(JvzsvzhfvzfXYZV例如 已知(X ,Y )的联合d.f. f (x,y)， Z = X / Y , 求 f Z (z)令YVYXZ/VYZVX| |10| |vzvJ|,
11、),(vvzvfvzfZVdvvzfzfZVZ),()(dvvvzuf| ),(2) 商的分布：商的分布： Z = X / Y 例例4 4 已知 X, Y 相互独立且均服从N(0,1)分布解解时，试求： = X+Y 、 =X/Y的密度。1Z2ZdxeedxxzfxfzfxzxYXZ2)(22212121)()()().2 , 0(,2121212114)21(2)2(42222NYXZzedxeezzxz即21|2121| )()(| ),()(02)1(02)1(2)(2)(222222vdvevdvedvveedvvvfzvfdvvvzvfzfvzvzvzvYXZ该分布称为柯西分布。xze
12、zezvzvz,)1 (1|)1 (1|)1 (121202) 1(202) 1(22222(3) 极值分布：即极大极值分布：即极大(小小)值的分布值的分布离散随机变量的极值分布可直接计算仅就独立情形讨论极值分布maxX ,Y P1 00.75 0.25 例例5 X, Y 相互独立, 都服从参数为 0.5 的0-1分布. 求 M = maxX ,Y 的概率分布解解YXpij1 010 0.25 0.25 0.25 0.25设连续随机变量X ,Y 相互独立, X FX (x), Y FY (y), M = maxX ,Y , N = minX ,Y ,求 M ,N 的分布函数.),(max)(u
13、YXPuFM),(uYuXP)()(uYPuXP)()(uFuFYX),(min)(vYXPvFN),(min1vYXP),(1vYvXP)()(1vYPvXP.)(1)(1 1vFvFYX推广推广nXXX,21相互独立，且nixFXiii, 2 , 1),(设,min,max2121nnXXXNXXXM则niiNniiMvFvFuFuF11)(1 (1)()()(例例6 6 系统 L 由相互独立的 n 个元件组(3) 冷贮备 ( 起初由一个元件工作, 其它 n 1 个元件做冷贮备, 当工作元件失效时, 贮备的元件逐个地自动替换)；成, 其连接方式为 (1)串联; (2)并联；若 n 个元件寿
14、命分别为nXXX,21niEXi, 2 , 1),(且求在以上 3 种组成方式下, 系统 L 的寿命 X 的 d.f.解解其它, 00,)(ixiXxexfii其它, 00,1)(ixiXxexFii(1) ,min21nXXXXniXXxFxFi1)(1 (1)(0, 00,)(xxenxfxnX0, 1, 0,)(1xxexFxXi(2),max21nXXXXniXXxFxFi1)()(0, 00,)1 ()(1xxeenxfnxxX0, 0, 0,)1 (xxenx(3)nXXXX21dttxftfxfXXXX)()()(2121n = 2 时，0, 00,0)(xxdteextxt0,
15、 00,xxxextxx = tdttxftfxfXXXXXX)()()(3213210, 00,0)(xxdtetextxt0, 00,! 22xxexx可证, X 1+ X 2 与 X 3 也相互独立, 故0, 00,)!1()(1xxenxxfxnX归纳地可以证明， 问问 题题设随机变量设随机变量 X 与与 Y 相互独立，且相互独立，且. )(, )6 . 0, 1(yfYBX求随机变量求随机变量 YXZ 3的概率密度的概率密度 . )(zg函数函数 设 X 与Y 相互独立, 且 X B (n, p)，Y B (m, p), 则二项分布可加性的证明二项分布可加性的证明 附 录 X + Y
16、 B ( n + m , p)证证Z = X + Y 的可能取值为 0,1,2, , n + mkmnkiikminCCC0（证明中用到 ）, ),()(0kiikYiXPkZP, )()(0kiikYPiXPkiikmikikminiinppCppC0)1 ()1 (kmnkkmnppC)1 (k = 0,1,2, , n + m 所以 X +Y B ( n+m , p ), ),()(0kiikYiXPkZP(1) 设 n m , 当 k n 时，, )()(0kiikYPiXPkiikmikikminiinppCppC0)1 ()1 (kmnkkmnppC)1 (kmnkiikminCC
17、C0其中证二证二(2) 当 n k m 时niikYiXPkZP0),()(niikmikikminiinppCppC0)1 ()1 (kmnkkmnppC)1 (3) 当 m k n + m 时nmkiikYiXPkZP),()(nmkiikmikikminiinppCppC)1 ()1 (kmnkkmnppC)1 (故 X + Y B ( n + m , p) 由二项分布背景,不难理解X+Y 表示做了n + m 次试验,事件 发生的次数.A前例前例3 3 已知 ( X ,Y )的联合密度函数为其他, 00, 10,3),(xyxxyxfZ = X + Y ,求 f Z (z)解法三解法三
18、令YUYXZUYUZX1|1011|J1),(),(uuzfuzfZU其他, 00, 10),( 3uzuuzuz其他, 010 , 12),( 3uuzuuz2uzz = 2uz = u + 1z = u11duuzfzfZUZ),()(其他, 021,4123)( 310,89)( 3221220zzduuzzzduuzzzzz = 2u2uzz = u + 1附例附例 已知 ( X ,Y )的联合密度函数为其他, 00, 10,3),(xyxxyxfZ = 3 X 2 Y ,求 f Z (z)解解 令YUYXZ23UYUZX)2(3131|103231|J31),2(31),(uuzfu
19、zfZU其他, 0)2(310 , 1)2(310),2(31uzuuzuz其他, 010 ,23),2(31uuzuuzuzz =3- 2uz = u311duuzfzfZUZ),()(其他, 031,9121)2(3110,32)2(31223020zzduuzzzduuzzzuzz =3- 2uz = u311zzzz附例附例 已知 ( X ,Y ) 的联合密度 f (x , y) 求 Z = aX +bY + c 的密度函数 , 其中 a,b,c为常数，a , b 0令YUcbYXaZUYacbUZX|1|101|aabaJ|1,),(auacbuzfuzfZUduauacbuzfzfZ|1,)(由此得
