1、随机信号分析中国民航大学电子信息工程学院贾桂敏随机信号通过线性系统线性系统的基本理论时域法频域法色噪声和白噪声的产生白噪声通过线性系统线性系统的基本理论稳定的物理可实现时不变线性系统)(txk线性系统：算子L 满足齐次性， 叠加性。即：)()(1txLatyknkk)()(1txatxknkk若输入则输出 dLdt 微分算子L线性系统( )( )kky tL x t2 L 平方算子 ( )tLdu 积分算子线性算子线性算子非线性算子非线性算子线性算子线性算子时不变线性系统)()(tytxL冲激响应冲激响应L)(t ( )()( )hth ttLt ( )( )( )( )(L x tx th
2、txh tdy t)(ty)(tyto)(tx)(txto当输入x(t)有一个时移 时，输出y(t)也有一个时移 。 )(tx)(ty时不变时不变线性系统的输出线性系统的输出( )x tL( )y t传递函数传递函数 ( )( )( )j tF h th t edHt( )()(XHY稳定的物理可实现系统系统稳定的条件系统稳定的条件dtth)(物理可实现性物理可实现性（因果性）（因果性）0( )0th t时，传递函数H(s)的所有极点都位于s平面的左半平面（不含虚轴）1( ),0th tet0( )h t dt 2( ),0th tet0( )h t dt 11( )(0)H ss例如：21(
3、 )(0)Hss1( )H ss 的极点在左半平面2( )Hss的极点在右半平面因果因果稳定稳定因果因果非稳定非稳定随机信号通过线性系统时域法 & 频域法时域法( )X tL( )Y t121212 ( ) ( )( )()( )()(),YE Y t Y th u X tu duh v X tv dvRt tE0( ) ()( )( ) ( )EhE X tdh tE XY tt随机过程随机过程确定的时间函数确定的时间函数输出的均值输出的均值系统输出系统输出( )()( )( )( )hX tdX th tY t输出的自相关函数输出的自相关函数确定的二元函数确定的二元函数1212( )( )
4、( ,)Xh th tRt t12( ) ( ) ()()Eh u h vX tu X tv dudv 12( ) ( )(,)Xh u h vtu tv dudvR 时域法( )X tL( )Y t输入和输出之间的互相关函数输入和输出之间的互相关函数121122( ) ( )( )(),)(XYE X t Y tE X th uXttduRtu12( ) ( )()h u E X t X tu du122( , )( )XRt th t12( )( ,)Xh u Rt tu du确定的二元函数确定的二元函数同理可证同理可证11212( ,( ,( )YXXRt tRthtt),(21ttRY
5、X),(21ttRXY1( )h t),(21ttRY),(21ttRX1( )h t2( )h t2( )h t举例（时域法）12( )( )( )cos()(0,2 )( ,);( );( ) ;( )( )tYh te U tX ttY tE Y tXYRt ttt ，输入随机信号为，其中随机变量 服从已知系统的单位冲激上的均匀分布。求：和联响应证明合平稳。1221122( )cos(),( )02411cos()cos442cos()4( ,)( ,)4YXYY tRt tttRt ttE Y t 解：系统输出的分析( )X tL( )Y t( )X tt ：随机信号在时刻就作用于系统
6、双侧信号输入段。( )0X tt ：随机信号在时刻开始作用于系统单侧信号输入段。宽平稳宽平稳，且输入输出联合平稳严平稳严平稳各态历经各态历经L( )X t( )Y t稳定稳定线性线性时不变时不变系统系统双侧信号双侧信号举例（时域法）分析：这是一个低通的RC电路，该电路的冲激响应见附录四。1( )( )bth tbeU tbRC，其中0( )( )2( )NX tRCY t 输入信号为宽平稳双侧信号，其自相关函数为，系统由电阻 和电容 构成，输出为。RC)(tX)(tY00( )0bubuXYXXXmbedumhmmme 举例（自相关函数）0( )( )( )()2)YXRNRhhhh22000
7、0( )24bbubYN bN bReedue时，0u u 00( ) ()2Nh u hu du()00()( ) ()()2bubuNbeU ubeUu du22000( )24bbubYN bN bReedue时，0( )4bYN bRe2002222242( )( )YYN bNbbGRbFbP278-27举例（互相关函数）0( )2bN beU00( )( )122XYXYGN bN bbjRbjF000( )( )() ( )( ) ( )( )22XYXNNu h uURhduhR000() ( )() ()22( )( )()YXXNNu h u dhRRhuU P278-29
8、0()2bN be U0( )( )(2)YXYXXYGF RGN bbj平均功率和带宽20( )(0)4YYbNPE YtR平均功率这是一个低通的RC电路，3DB带宽（半功率带宽）如下：( )( )bth tbeU t1( )1/Hjb2222( )bHb2max( )1H22212bb半功率点1bRCYP注意：3DB带宽是指正频带的宽度。线性系统单位冲激响应的测量( )X t)()( * (X tYhtt()X t乘法器(),()X tZ tY t( )( , )ZZ t0( ) ( )2( )XYNURh思路：思路：02( ),0(XYRhN求解的转移假设X(t)各态历经带宽充分小，输出
9、为直流分量Z(t)各态历经.( , )( , )()( )( )XYa eZ tE Z tE X tY tZR000(222( )( ,( )XYRZ tZNhNN系统辨识问题系统辨识问题总结（时域法）X(t)的期望、自相关函数系统单位冲激响应h(t)互相关函数( )XYR平稳互谱密度( )XYG平稳功率谱密度( )YG自相关函数( )YRY(t)的期望( )E Y t( )X tL( )Y t单侧信号实际系统输入信号为X(t)U(t)（单侧信号）是非平稳的。如图所示的动态系统的开关K在t=0时刚一闭合，由于系统惰性的影响，随机输出就像确定输出那样有一个建立的过程，这个过程是瞬态的，正是这个瞬
10、态分量导致了非平稳输出。因此，前面讨论的输出的平稳性、各态历经等性质在此不再成立了。今后除非特殊说明，均指双侧信号在 t= - 时施加于系统所得到的输出响应。)(th)(tX)(tYK频域法系统输出的均值系统输出的均值000( )( )(0)jXYXXmmhdmhedmH 2( )( )()( )( )( )XYXGHHHGG( )( )h tH( )X tL( )Y t功率谱密度功率谱密度( )( )( )()YXRRhh系统的功率传递函数系统的功率传递函数211( )( )( )22YXYGdGHdP平均功率平均功率互谱密度互谱密度( )( )( )XYXRRh)( )(XXYGGH( )
11、( )()YXXRRh)()(XYXGHG频域法X(t)的期望、功率谱密度系统传递函数H()互相关函数( )XYR平稳互谱密度( )XYG功率谱密度( )YG平稳自相关函数( )YRY(t)的期望( )E Y t( )X tL( )Y t举例（频域法）RC)(tX)(tY( )( )bth tbeU t0( )( )2XNR 0( )2XNG( )Hbbj均值均值(0)10XXYmmHm 22022( )( )2( )XYGNbGHb自相关自相关04( )bYNRbe互相关互相关0( )( )2)(XYXN bGHbGj0()(2XYbN beURP278-27P278-29平均功率平均功率0(0)4YYPbNR习题n必做题n4-4n改题：系统输入功率谱密度为 XHXH V2/Hz的高斯白噪声n4-7n4-9n选做题n4-3n4-6XH表示学号的最后两位表示学号的最后两位例：例：040420524同学同学 XH24弟子不必不如师，师不必贤于弟子。
