1、高等数学（高等数学（9-12章）全册配套章）全册配套完整课件完整课件习题课习题课一、一、 重积分计算的基本方法重积分计算的基本方法 二、重积分计算的基本技巧二、重积分计算的基本技巧 三、重积分的应用三、重积分的应用 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第九章 重积分的 计算 及应用 一、重积分计算的基本方法一、重积分计算的基本方法1. 选择合适的坐标系使积分域多为坐标面(线)围成;被积函数用此坐标表示简洁或变量分离.2. 选择易计算的积分序积分域分块要少, 累次积分易算为妙 .图示法列不等式法(从内到外: 面、线、点)3. 掌握确定积分限的方法 累次积分法机动 目录 上页 下页 返回 结束 练
2、习练习计算积分Ddyx,)(其中D 由,22xy 12,4yxyx所围成. P124 2 (3) ; 6; 7 (1), (3)补充题:解答提示解答提示: (接下页接下页) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2 (3). 计算二重积分,d222DyxR其中D 为圆周xRyx22所围成的闭区域.提示提示: 利用极坐标cosRr 原式cos022dRrrRr2033d)sin1(32R)34(313RyDR xo:Dcos0Rr 2222d机动 目录 上页 下页 返回 结束 P1246. 把积分zyxzyxfddd),(化为三次积分,其中由曲面222,xyyxz0,1zy提示提示: 积分域为:原
3、式220d),(yxzzyxf及平面220yxz12 yx11x12dxy11dx所围成的闭区域 .xyz机动 目录 上页 下页 返回 结束 P124zD1zD27 (1) .计算积分2222RzyxzRzyx2222及,ddd2zyxz其中是两个球 ( R 0 )的公共部分.提示提示: 由于被积函数缺 x , y ,原式 =zDyx1ddzzzRzRd)2(2022利用“先二后一先二后一” 计算方便 .zzRd202zDyx2ddzzRRd22zzRzRRd)(2222548059RRzyxo2R机动 目录 上页 下页 返回 结束 P1247 (3).计算三重积分,d)(22vzy其中是由
4、xoy平面上曲线xy225x所围成的闭区域 .提示提示: 利用柱坐标sincosrzryxx原式522drx绕 x 轴旋转而成的曲面与平面5221 xr100 r20rr d100320d3250:zxyo5机动 目录 上页 下页 返回 结束 P124补充题补充题. 计算积分Ddyx,)(其中D 由,22xy 12,4yxyx所围成 .提示提示: :如图所示xy224246oyx,12DDD 内有定义且在2),(DyxyxfDyxd)(2d)(Dyx1d)(Dyx连续,所以yyxyx1222d)(46dyyyxyx422d)(24dy15115431D2DD机动 目录 上页 下页 返回 结束
5、二、重积分计算的基本技巧二、重积分计算的基本技巧分块积分法利用对称性1. 交换积分顺序的方法2. 利用对称性或重心公式简化计算3. 消去被积函数绝对值符号练习题练习题4. 利用重积分换元公式P123 1 (总习题九) ; P124 4, 7(2), 9解答提示解答提示: (接下页接下页)机动 目录 上页 下页 返回 结束 axamyxamaxxfexaxxfey0)(0)(0d)()(d)(d证明:提示提示: 左端积分区域如图,Doyxxy a交换积分顺序即可证得.P124 4.7(2).,d1) 1ln(222222vzyxzyxz求其中是1222zyx所围成的闭区域 .提示提示: 被积函数
6、在对称域 上关于 z 为奇函数 , 利用 对称性可知原式为 0. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 由球面P124R9. 在均匀的半径为R的圆形薄片的直径上 , 要接上一个一边与直径等长的同样材料的均匀矩形薄片,使整个的另一边长度应为多少?22xRyboRyx提示提示: 建立坐标系如图.,0y由对称性知Dyxydd022ddxRbRRyyx2332bRR 由此解得Rb32问接上去的均匀矩形薄片即有D薄片的重心恰好落在圆心上 ,?b机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例1. 计算二重积分,dd)(222yxeyxxIyxD其中:(1) D为圆域; 122 yx(2) D由直线1,1,xyxy
7、解解: (1) 利用对称性.yox1DyxxIDdd20dd)(2122yxyxD10320dd21rr4yxeyxDyxdd22围成 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 yxeyxDyxdd122(2) 积分域如图:o1yx11D2Dxyxy , xy将D 分为,21DDyxxIDdd2yxeyxDyxdd22200dd1112xyxx32添加辅助线利用对称性 , 得机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2. 计算二重积分,dd)35(Dyxyx其中D 是由曲044222yxyx所围成的平面域 .解解:2223)2() 1(yx其形心坐标为:面积为:9ADyxxIdd5923) 1(5A
8、Dyxydd3积分区域线形心坐标2,1yxDyxxAxdd1DyxyAydd1AyAx35机动 目录 上页 下页 返回 结束 111 xyo例例3. 计算二重积分,dd)sgn() 1 (2yxxyID,dd)22()2(22yxxyyxID122 yx在第一象限部分. 解解: (1)2xy 21, DD两部分, 则1ddDyxI1112ddxyx322D2ddDyx2011ddxyx1011:yxD，其中D 为圆域把与D 分成1D作辅助线机动 目录 上页 下页 返回 结束 xy1o1xy (2) 提示提示: 21, DD两部分 1DyxyxDdd)(22yxyxDdd)2(说明说明: 若不用
9、对称性, 需分块积分以去掉绝对值符号. xy 作辅助线2D将D 分成Dyxdd2yxxyyxIDdd)22(222) 12(32机动 目录 上页 下页 返回 结束 xysinxyo2例例4. 1d),(Dyxfyyxyxfarcsinarcsind),(10dyIxyyxfsin0d),(0d x0sind),(xyyxf2d xyyxyxfarcsin2arcsind),(01dy如图所示交换下列二次积分的顺序:xyyxfxIsin020d),(d1D2D2d),(Dyxf解解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例5.,)0(, 0)0(,)(存在设ffCuf，求)(1lim40tFtt
10、)(tF解解: 在球坐标系下trrrftF02020d)(dsind)(trrrf02d)(440)(limttFt利用洛必达法则与导数定义,得3204)(4limtttftttft)(lim0)0(f0)0(Fzyxzyxftzyxddd)(2222222其中 0)0(f 机动 目录 上页 下页 返回 结束 三、重积分的应用三、重积分的应用1. 几何方面面积 ( 平面域或曲面域 ) , 体积 , 形心质量, 转动惯量, 质心, 引力 证明某些结论等 2. 物理方面3. 其它方面机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例6.，上连续在设,)(baxf证明babaxxfabxxfd)()(d)(2
11、2证证: :左端yyfxxfbabad)(d)(yxyfxfDdd)()(222baab利用yxyfxfDdd)()(222121xxfybabad)(d2yyfxbabad)(d22abxdxfba)(2xdxfabba)()(2byabxaD:= 右端ydyfba)(2机动 目录 上页 下页 返回 结束 ozyt)(tx)(tD例例7.设函数 f (x) 连续且恒大于零, )(22)(222d)(d)()(tDtyxfvzyxftFtttDxxfyxftGd)(d)()(2)(22其中,),()(2222tzyxzyxt.),()(222tyxyxtD(1) 讨论 F( t ) 在区间 (
12、 0, +) 内的单调性; (2) 证明 t 0 时, . )(2)(tGtF(03考研)机动 目录 上页 下页 返回 结束 解解: (1) 因为 ttrrrfrrrftF0220022020d)(ddsin)(dd)(ttrrrfrrrf02022d)(d)(2两边对 t 求导, 得202022d)(d)()()(2)(ttrrrfrrtrrftfttF, 0)(), 0(tF上在.), 0()(单调增加上在故tF机动 目录 上页 下页 返回 结束 (2) 问题转化为证 0)(2)(,0tGtFt时ttrrfrrrftG020220d)(2d)(d)(ttrrfrrrf0202d)(d)(即
13、证 0d)(d)(d)(20202022tttrrrfrrfrrrf)(tg0d)()()(0222trrtrftftg,), 0()(单调增在故tg,0)(连续在又因ttg故有)0()0()(tgtg0因此 t 0 时, .0)(2)(tGtF因机动 目录 上页 下页 返回 结束 利用“先二后一”计算.zyxVdddzDcyxzddd20abc34czczab022d)1 (2222221:czbyaxDz机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例8. 试计算椭球体1222222czbyax的体积 V.解法解法1*解法解法2利用三重积分换元法. 令cos,sinsin,cossinrczrby
14、rax则),(),(rzyxJ,sin2rcba:zyxVdddrJdddabcabc34rrabcdddsin2rr d1020dsin20d20010 r机动 目录 上页 下页 返回 结束 作业作业P98 *21, *22(1)P117 4 , 9 , 11P124 10 , 11机动 目录 上页 下页 返回 结束 第九章一元函数积分学一元函数积分学多元函数积分学多元函数积分学重积分重积分曲线积分曲线积分曲面积分曲面积分重 积 分 三、二重积分的性质三、二重积分的性质 第一节一、引例一、引例 二、二重积分的定义与可积性二、二重积分的定义与可积性 四、曲顶柱体体积的计算四、曲顶柱体体积的计算
15、 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二重积分的概念与性质 第九章 解法解法: 类似定积分解决问题的思想:一、引例一、引例1.曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积 给定曲顶柱体:0),(yxfz底：底： xoy 面上的闭区域 D顶顶: 连续曲面侧面：侧面：以 D 的边界为准线 , 母线平行于 z 轴的柱面求其体积.“大化小, 常代变, 近似和, 求 极限” D),(yxfz 机动 目录 上页 下页 返回 结束 D),(yxfz 1)“大化小”用任意曲线网分D为 n 个区域n,21以它们为底把曲顶柱体分为 n 个2)“常代变”在每个k, ),(kk3)“近似和”nkkVV1nkkkkf1),(),(kk
16、f),2, 1(),(nkfVkkkk则中任取一点小曲顶柱体k),(kk机动 目录 上页 下页 返回 结束 4)“取极限”的直径为定义kkk,PPPP2121max)(令)(max1knknkkkkfV10),(lim),(yxfz ),(kkfk),(kk机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 平面薄片的质量平面薄片的质量 有一个平面薄片, 在 xoy 平面上占有区域 D ,),(Cyx计算该薄片的质量 M .度为),(),(常数若yx设D 的面积为 , 则M若),(yx非常数 , 仍可用其面密 “大化小, 常代变,近似和, 求 极限” 解决.1)“大化小”用任意曲线网分D 为 n 个小区
17、域,21n相应把薄片也分为小区域 .D机动 目录 上页 下页 返回 结束 yx2)“常代变”中任取一点k在每个),(kk3)“近似和”nkkMM1nkkkk1),(4)“取极限”)(max1knk令nkkkkM10),(limk),(kk),2, 1(),(nkMkkkk则第 k 小块的质量机动 目录 上页 下页 返回 结束 yx两个问题的共性共性：(1) 解决问题的步骤相同(2) 所求量的结构式相同“大化小, 常代变, 近似和,取极限”nkkkkfV10),(limnkkkkM10),(lim曲顶柱体体积: 平面薄片的质量: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、二重积分的定义及可积性二、
18、二重积分的定义及可积性定义定义:),(yxf设将区域 D 任意分成 n 个小区域),2,1(nkk任取一点,),(kkk若存在一个常数 I , 使nkkkkfI10),(lim可积可积 , ),(yxf则称Dyxfd),(),(yxfI为称在D上的二重积分二重积分.称为积分变量yx,积分和Dyxfd),(积分域被积函数积分表达式面积元素记作是定义在有界区域 D上的有界函数 , 机动 目录 上页 下页 返回 结束 DyxfVd),(引例1中曲顶柱体体积:DyxMd),(引例2中平面薄板的质量:如果 在D上可积,),(yxf也常d,ddyx二重积分记作.dd),(Dyxyxf,kkkyx 这时分区
19、域D , 因此面积元素可用平行坐标轴的直线来划 记作Dyxyxfdd),(Dyxyxdd),(机动 目录 上页 下页 返回 结束 二重积分存在定理二重积分存在定理:若函数),(yxf),(yxf定理2.),(yxf上可在则Dyxf),(证明略)定理1.在D上可积可积.限个点或有限个光滑曲线外都连续 ,积.在有界闭区域 D上连续, 则若有界函数在有界闭区域 D 上除去有 例如例如, yxyxyxf22),(在D :10 x10 y上二重积分存在 ;yxyxf1),(但在D 上 y1xo1D二重积分不存在 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 三、二重积分的性质三、二重积分的性质Dyxfkd),
20、(. 1( k 为常数)Dyxgyxfd),(),(. 221d),(d),(d),(. 3DDDyxfyxfyxf, 1),(. 4yxfD上若在DDdd1 为D 的面积, 则 ),(2121无公共内点DDDDDDyxfkd),(DDyxgyxfd),(d),(机动 目录 上页 下页 返回 结束 特别, 由于),(),(),(yxfyxfyxfDyxfd),(则Dyxfd),(Dyxd),(5. 若在D上),(yxf, ),(yxDyxfd),(6. 设),(min),(maxyxfmyxfMDDD 的面积为 ,MyxfmDd),(则有机动 目录 上页 下页 返回 结束 7.(二重积分的中值
21、定理),(yxf设函数,),(D),(),(fdyxfD证证: 由性质6 可知,MyxfmDd),(1由连续函数介值定理, 至少有一点D),(Dyxffd),(1),(),(d),(fyxfD在闭区域D上 为D 的面积 ,则至少存在一点使使连续,因此机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例1. 比较下列积分的大小:d)(,d)(32DDyxyx其中2) 1()2( :22yxD解解: 积分域 D 的边界为圆周1 yx332)()(yxyx2) 1()2(22yx它与 x 轴交于点 (1,0) ,.1相切与直线 yx而域 D 位, 1 yx从而d)(d)(32DDyxyx于直线的上方, 故在 D
22、 上 1y2xo1D机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2. 判断积分yxyxyxdd1432222的正负号.解解: 分积分域为,321DDD则原式 =yxyxDdd11322yxyxDdd12322yxyxDdd133221ddDyxyxDdd1333)34(2323D32D11Dyxo0)21 (3猜想结果为负 但不好估计 .舍去此项机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例3. 估计下列积分之值10:coscos100ddI22yxDyxyxD解解: D 的面积为200)210(2由于yx22coscos1001积分性质5100200I102200即: 1.96 I 210101010
23、D10011021xyo机动 目录 上页 下页 返回 结束 xyo D8. 设函数),(yxfD 位于 x 轴上方的部分为D1 , ),(),() 1 (yxfyxf),(),()2(yxfyxfd),(Dyxf0d),(Dyxf当区域关于 y 轴对称, 函数关于变量 x 有奇偶性时, 仍1D在 D 上d),(21Dyxf在闭区域上连续, 域D 关于x 轴对称,则则有类似结果.在第一象限部分, 则有1:,221 yxDD 为圆域如Dyxyxdd)(22Dyxyxdd)(1dd)(422Dyxyx0机动 目录 上页 下页 返回 结束 xbad 四、曲顶柱体体积的计算四、曲顶柱体体积的计算设曲顶柱
24、的底为bxaxyxyxD)()(),(21任取, ,0bax 平面0 xx 故曲顶柱体体积为DyxfVd),(yyxfxAxxd),()()()(000201截面积为yyxfxxd),()()(21baxxAd )(截柱体的)(2xy)(1xyzxyoab0 xD机动 目录 上页 下页 返回 结束 ydcxo)(2yx)(1yxyydcd dycyxyyxD),()(),(21同样, 曲顶柱的底为则其体积可按如下两次积分计算DyxfVd),(xyxfyyd),()()(21xyxfyyd),()()(21dcyd机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例4. 求两个底圆半径为R 的直角圆柱面所围
25、的体积.xyzRRo解解: 设两个直圆柱方程为,222Ryx利用对称性, 考虑第一卦限部分,其曲顶柱体的顶为则所求体积为yxxRVDdd822220dxRyxxRRd)(80223316R222Rzx22xRz 00:),(22RxxRyDyxxxRRd8022222Ryx222RzxD机动 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结1. 二重积分的定义Dyxfd),(iiinif),(lim10)dd(dyx2. 二重积分的性质 (与定积分性质相似)3. 曲顶柱体体积的计算二次积分法机动 目录 上页 下页 返回 结束 被积函数相同, 且非负, 思考与练习思考与练习yxyxIyxdd112
26、2yxyxIyxdd12yxyxIdd11113解解: 321,III由它们的积分域范围可知312III11xyo1. 比较下列积分值的大小关系:机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 设D 是第二象限的一个有界闭域 , 且 0 y 1, 则,d31DxyI,d322DxyIDxyId3213的大小顺序为 ( ).)(;)(;)(;)(213123312321IIIDIIICIIIBIIIA提示: 因 0 y 0 ) 内存在原函数 , 并求出它. 证证: 令2222,yxxQyxyP则)0()(22222xyQyxxyxP由定理定理 2 可知存在原函数),()0 , 1 (22dd),(yx
27、yxxyyxyxuxx1d0)0(arctanxxyoxyyyxyx022d)0 ,(x)0 , 1(),(yx机动 目录 上页 下页 返回 结束 oxy)0 ,(x)0 , 1(),(yx),()0 , 1 (22dd),(yxyxxyyxyxuyyy021dyxyyarctan1arctanarctanyxarctan2xyxxy122d或), 1 (y)0(arctanxxy机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例7. 设质点在力场作用下沿曲线 L :xycos2由)2, 0(A移动到, )0,2(B求力场所作的功W解解:)dd(2Lyxxyrk令,22rxkQrykP则有)0()(22
28、422yxryxkyPxQ可见, 在不含原点的单连通区域内积分与路径无关. )(22yxr其中LBAyox),(2xyrkFsFWLd机动 目录 上页 下页 返回 结束 :AB)dd(2yxxyrkWABd)cos(sin2022k)02:(sin2,cos2yxk2思考思考: 积分路径是否可以取?OBAO取圆弧LBAyox为什么？注意, 本题只在不含原点的单连通区域内积分与路径无关 !机动 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结1. 格林公式LyQxPdd2. 等价条件在 D 内与路径无关.yPxQ在 D 内有yQxPudddyxyPxQDddLyQxPdd对 D 内任意闭曲线 L
29、有0ddLyQxP在 D 内有设 P, Q 在 D 内具有一阶连续偏导数, 则有机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习1. 设,4:, 1:222412yxlyxL且都取正向, 问下列计算是否正确 ?Lyxxyyx22d4d) 1(lyxxyyx22d4dlxyyxd4d41Do2y1x2LlDd5415Lyxxyyx22dd)2(lyxxyyx22ddlxyyxdd41Dd2412提示提示:时022 yxyPxQ) 1(yPxQ)2(机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 设, )56,4(),(grad42234yyxxyxyxu).,(yxu求提示提示:),(dyxu
30、xxyxd)4(34yyyxd)56(422),(yxuyox),(yx)0 ,(xxxxd04yyyxyd)56(0422C551x322yxCy 5xxyxd)4(34yyyxd)56(422),()0 , 0(yxC作业作业P153 2 (1); 3 ; 4 (3) ; 5 (1) , (4) ; 6 (2) , (5)第四节 目录 上页 下页 返回 结束 CCCDyxoaaC 备用题备用题 1. 设 C 为沿yxaxyxaxxayCd)ln(2d22222222ayx从点), 0(a依逆时针), 0(a的半圆, 计算解解: 添加辅助线如图 ,利用格林公式 .原式 =321aaayayd
31、)ln2(D222xaya222xayyxddC到点机动 目录 上页 下页 返回 结束 D2. 质点M 沿着以AB为直径的半圆, 从 A(1,2) 运动到Dyxdd2点B(3, 4),到原点的距离,解解: 由图知 故所求功为AByxxyddABBAABxxxd) 1(3122锐角,其方向垂直于OM, 且与y 轴正向夹角为AB)dd(yxxy) 1(21334xyAB的方程F求变力 F 对质点M 所作的功. ( 90考研 ) , ),(xyFF 的大小等于点 M 在此过程中受力 F 作用,sFWd),(yxMBAyxo机动 目录 上页 下页 返回 结束 第四节一、对面积的曲面积分的概念与性质一、
32、对面积的曲面积分的概念与性质 二、对面积的曲面积分的计算法二、对面积的曲面积分的计算法机动 目录 上页 下页 返回 结束 对面积的曲面积分 第十章 oxyz一、对面积的曲面积分的概念与性质一、对面积的曲面积分的概念与性质引例引例: 设曲面形构件具有连续面密度),(zyx类似求平面薄板质量的思想, 采用kkkkS),(可得nk 10limM),(kkk求质 “大化小, 常代变, 近似和, 求极限” 的方法,量 M.其中, 表示 n 小块曲面的直径的最大值 (曲面的直径为其上任意两点间距离的最大者). 机动 目录 上页 下页 返回 结束 SzyxMd),(定义定义: 设 为光滑曲面,“乘积和式极限
33、” kkkkSf),(nk 10lim都存在,的曲面积分Szyxfd),(其中 f (x, y, z) 叫做被积据此定义, 曲面形构件的质量为曲面面积为SSdf (x, y, z) 是定义在 上的一 个有界函数,记作或第一类曲面积分.若对 做任意分割和局部区域任意取点, 则称此极限为函数 f (x, y, z) 在曲面 上对面积函数, 叫做积分曲面.机动 目录 上页 下页 返回 结束 则对面积的曲面积分存在. 对积分域的可加性.,21则有Szyxfd),(1d),(Szyxf2d),(SzyxfSzyxgkzyxfkd),(),(21 线性性质.则为常数设,21kkSzyxgkSzyxfkd)
34、,(d),(21),(zyxf若在光滑曲面 上连续, 对面积的曲面积分与对弧长的曲线积分性质类似. 积分的存在性. 若 是分片光滑的,例如分成两片光滑曲面机动 目录 上页 下页 返回 结束 oxyz定理定理: 设有光滑曲面yxDyxyxzz),(),(:f (x, y, z) 在 上连续,存在, 且有Szyxfd),(yxDyxf),(Szyxfd),(),(yxzyxyxzyxzyxdd),(),(122二、对面积的曲面积分的计算法二、对面积的曲面积分的计算法 则曲面积分证明证明: 由定义知Szyxfd),(kkkkSf),(nk 10limyxD),(kkkyxk)(机动 目录 上页 下页
35、 返回 结束 kSyxyxzyxzyxkyxdd),(),(1)(22yxkkkykkxzz)(),(),(1220limnk 1yxkkkykkxzz)(),(),(1220limnk 1yxkkkykkxzz)(),(),(122yxyxzyxzyxfyxDyxdd),(),(1),(22),(yxz),(,(kkkkzf),(,(kkkkzfSzyxfd),(而(光滑)机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明说明:zyDzyzyxx),(),(zxDzxzxyy),(),(或可有类似的公式.1) 如果曲面方程为2) 若曲面为参数方程, 只要求出在参数意义下dS 的表达式 , 也可将对面积
36、的曲面积分转化为对参数的二重积分. (见本节后面的例4, 例5) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 yxD例例1. 计算曲面积分,dzS其中是球面222zyx被平面)0(ahhz截出的顶部.解解: :yxDyxyxaz),( ,:2222222:hayxDyx221yxzz 222yxaazSd20da0)ln(2122222haraahaaln2yxDyxayxa222dd22022dhararr2aoxzyha机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考思考:若 是球面2222azyx被平行平面 z =h 截出的上下两部分,) (dzS) (dzS0hln4aa则hhoxzy机动 目录 上页
37、 下页 返回 结束 例例2. 计算,dSzyx其中 是由平面坐标面所围成的四面体的表面. ozyx111解解: 设上的部分, 则4321,4dSzyx,1:4yxz1010:),(xxyDyxyxxyyxy10d)1 (12031zyx与, 0, 0, 0zyx10d3xx1zyx4321Szyxd 原式 = 分别表示 在平面 机动 目录 上页 下页 返回 结束 xozy例例3. 设2222:azyx),(zyxf计算.d),(SzyxfI解解: 锥面22yxz的222yxaz.,2122122azayx1设,),(22122ayxyxDyx,22yx ，022yxz当22yxz当与上半球面交
38、线为为上半球面夹于锥面间的部分, 它在 xoy 面上的投影域为1yxD则 1d)(22SyxI机动 目录 上页 下页 返回 结束 1d)(22SyxIyxDyx)(22rrraraadd202222021)258(614a222yxaayxddxozy1yxD机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考思考: 若例3 中被积函数改为),(zyxf,22yx ，022yxz当22yxz当计算结果如何 ? 例例4. 求半径为R 的均匀半球壳 的重心.解解: 设 的方程为yxDyxyxRz),( ,222利用对称性可知重心的坐标,0 yx而 z 223RRR用球坐标cosRz ddsind2RS SdS
39、zd20032dcossindR2002dsindR思考题思考题: 例 3 是否可用球面坐标计算 ?例3 目录 上页 下页 返回 结束 例例5. 计算),(dRzSI.:2222Rzyx解解: 取球面坐标系, 则,cos:Rz I0cos)cosd(2RRRRRRln2ddsind2RS 02dcossinRR20d机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例6. 计算,d)(22SyxI其中 是球面22yx 利用对称性可知SzSySxddd222SzSySxdddSzyxId)(32222Szyxd)(34Sxd4Sxd448)3(4142解解: 显然球心为, ) 1 , 1 , 1 (半径为3
40、x利用重心公式SxdSd).(22zyxz机动 目录 上页 下页 返回 结束 zzd例例7. 计算,d222zyxSI其中 是介于平面之间的圆柱面.222Ryx分析分析: 若将曲面分为前后(或左右)zRSd2d则HzRzRI022d2RHarctan2Hzz,0oHxyz解解: 取曲面面积元素两片, 则计算较繁. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 oyxzL例例8. 求椭圆柱面19522yx位于 xoy 面上方及平面 z = y 下方那部分柱面 的侧面积 S . 解解: )0(sin3,cos5:ttytxL取SSdszLdtt cosdcos45302sd5ln4159zszSddtttt
41、dcos9sin5sin3220syLd机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例9. 设有一颗地球同步轨道通讯卫星, 距地面高度 h = 36000 km,机动 目录 上页 下页 返回 结束 运行的角速度与地球自转角速度相同, 试计算该通讯卫星的覆盖面积与地球表面积的比. (地球半径 R = 6400 km )解解: yzxohR R建立坐标系如图, 覆盖曲面 的半顶角为 , 利用球坐标系, 则ddsind2RS 卫星覆盖面积为SAd0202ddsinR)cos1 (22RhRRcoshRhR22机动 目录 上页 下页 返回 结束 故通讯卫星的覆盖面积与地球表面积的比为24 RA)(2hRh6
42、610)4 . 636(21036%5 .40由以上结果可知, 卫星覆盖了地球 31以上的面积, 故使用三颗相隔32角度的通讯卫星就几乎可以覆盖地球全表面. 说明说明: 此题也可用二重积分求 A (见下册P109 例2) . yzxohR R内容小结内容小结1. 定义:Szyxfd),(iiiiSf),(ni 10lim2. 计算: 设,),( , ),(:yxDyxyxzz则Szyxfd),(yxDyxf,(),(yxz)221yxzz yxdd(曲面的其他两种情况类似) 注意利用球面坐标、柱面坐标、对称性、重心公式简化计算的技巧. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习P
43、158 题1；3；4(1) ; 7 解答提示解答提示:P158 题1.SzyxzyIxd),()(22P158 题3. ,),( ,0:yxDyxzyxDyxyxfSzyxfdd),(d),(设则0P184 题2机动 目录 上页 下页 返回 结束 P158 题4(1).oyxz2 在 xoy 面上的投影域为2:22 yxDyxyxzzSyxdd1d22yxyxdd)(4122yxDSyxyxSdd)(41d22rrrd41d20220313这是 的面积 !2xyD)(2:22yxz机动 目录 上页 下页 返回 结束 P159 题7. 如图所示, 有yxyxyxSzyxDdd1)(21d2222
44、rrrd1d21202320354tttd) 1(302221rt令o21yxDzyx机动 目录 上页 下页 返回 结束 P184 题2. 设),0(:2222zazyx在第为1一卦限中的部分, 则有( ).;d4d)(1SxSxA;d4d)(1SxSyB;d4d)(1SxSzC.d4d)(1SzyxSzyxDC( 2000 考研 )机动 目录 上页 下页 返回 结束 作业 P158 4(3); 5(2); 6(1), (3), (4); 8第五节 目录 上页 下页 返回 结束 备用题备用题 1. 已知曲面壳)(322yxz,22zyx求此曲面壳在平面 z1以上部分 的的面密度质量 M . 解
45、解: 在 xoy 面上的投影为 ,2:22 yxDyx故SMdrrrd41d322020)41d(418162202rryxyxyxDdd)(4132213机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 设 是四面体的表0,0,0,1zyxzyx面, 计算.d)1 (12SyxI解解: 在四面体的四个面上yxz1yxdd3xyxDyx10,10:1zyx11o0zyxdd0yxzddzxzDxz10,10:0 xzyddzyzDzy10,10:同上平面方程Sd投影域机动 目录 上页 下页 返回 结束 yyzzd)1 (1d10210 xxzzd)1 (1d102102ln) 13(233yyxxIx
46、d)1 (1d)13(10210机动 目录 上页 下页 返回 结束 第五节一、有向曲面及曲面元素的投影一、有向曲面及曲面元素的投影 二、二、 对坐标的曲面积分的概念与性质对坐标的曲面积分的概念与性质 三、对坐标的曲面积分的计算法三、对坐标的曲面积分的计算法四、两类曲面积分的联系四、两类曲面积分的联系机动 目录 上页 下页 返回 结束 对坐标的曲面积分 第十章 一、有向曲面及曲面元素的投影一、有向曲面及曲面元素的投影 曲面分类双侧曲面单侧曲面莫比乌斯带莫比乌斯带曲面分上侧和下侧曲面分内侧和外侧曲面分左侧和右侧(单侧曲面的典型) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 其方向用法向量指向方向余弦cos
47、coscos 0 为前侧 0 为右侧 0 为上侧 0 时, 说明流入 的流体质量少于 当 0 内, 力构成力场,其中k 为常数, ,22yx 证明在此力场中场力所作的功与所取的路径无关.提示提示:)dd(3yyxxkWL令33,ykQxkP易证53yxkyPxQ)0(x),(3yxkFF 沿右半平面内任意有向路径 L 所作的功为机动 目录 上页 下页 返回 结束 P185 10. 求力沿有向闭曲线 所作的功, 其中 为平面 x + y + z = 1 被三个坐标面所截成三提示提示: BAzyxCozxyzxyWdddABzxyzxyddd3ABzxd310d)1 (3zz23方法方法1从 z
48、轴正向看去沿顺时针方向.利用对称性角形的整个边界,),(xzyF 机动 目录 上页 下页 返回 结束 设三角形区域为 , 方向向上, 则zxyzxyWdddzyxSd313131yzx1:zyxSd)3(31) 1, 1, 1 (31n方法方法2nBAzyxCo23yxDyxdd33利用斯托克斯公式利用斯托克斯公式机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、曲面积分的计算法二、曲面积分的计算法1. 基本方法曲面积分第一类( 对面积 )第二类( 对坐标 )转化二重积分(1) 统一积分变量 代入曲面方程(2) 积分元素投影第一类: 始终非负第二类: 有向投影(3) 确定二重积分域 把曲面积分域投影到相
49、关坐标面机动 目录 上页 下页 返回 结束 思思 考考 题题1) 二重积分是哪一类积分? 答答: 第一类曲面积分的特例.2) 设曲面,),( ,0:Dyxz问下列等式是否成立?DyxyxfSzyxfdd)0 ,(d),( 不对不对 ! 对坐标的积分与 的侧有关 Dyxyxfyxzyxfdd)0 ,(dd),(机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 基本技巧基本技巧(1) 利用对称性及重心公式简化计算(2) 利用高斯公式注意公式使用条件添加辅助面的技巧(辅助面一般取平行坐标面的平面)(3) 两类曲面积分的转化机动 目录 上页 下页 返回 结束 zyxo练习练习:P185 题题4(3) ,ddd
50、dddyxzxzyzyx其中 为半球面222yxRz的上侧.且取下侧 , 提示提示: 以半球底面0原式 =3323R032RP185 题题4(2) , P185 题题 9 同样可利用高斯公式计算.0zyxddd30ddddddyxzxzyzyx记半球域为 ,高斯公式有计算为辅助面, 利用机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例3.证明证明: 设(常向量)则单位外法向向量, 试证Sdcoscoscoscoscoscos0vzyxd)cos()cos()cos(zyddcosxzddcosyxddcos设 为简单闭曲面, a 为任意固定向量, n 为的 . 0d)cos(Sa,nSa ,nd)co
