1、引例引例 甲、乙两射手各打了6 发子弹,每发子弹击中的环数分别为：甲 10, 7, 9, 8, 10, 6, 乙 8, 7, 10, 9, 8, 8, 问哪一个射手的技术较好？解解 首先比较平均环数首先比较平均环数甲 = 8.3,乙 = 8.34.2 方差方差 有五个不同数有四个不同数再比较稳定程度再比较稳定程度34.13) 3 . 86 () 3 . 87 () 3 . 88 () 3 . 89 () 3 . 810(222222甲：乙：34. 5) 3 . 87 () 3 . 88 (3) 3 . 89 () 3 . 810(2222乙比甲技术稳定，故乙技术较好.进一步比较平均偏离平均值的
2、程度进一步比较平均偏离平均值的程度甲) 3 . 86() 3 . 87() 3 . 88() 3 . 89() 3 . 810(26122222乙)3 . 87()3 . 88(3)3 . 89()3 . 810(61222222.26/34.1389. 06/34. 5512)(kkkpXEx412)(kkkpXEx E X - E(X)2若E X - E(X)2 存在, 则称其为随机称)(XD为 X 的均方差均方差或标准差标准差. 方差概念方差概念定义定义 即 D (X ) = E X - E(X)2 变量 X 的方差方差, 记为D (X ) 或 Var (X ) 两者量纲相同两者量纲相同
3、 D(X ) 描述 r.v. X 的取值偏离平均值 的平均偏离程度 数, 2 , 1,)(kpxXPkk若 X 为离散型 r.v.，分布律为12)()(kkkpXExXD若 X 为连续型r.v. ，概率密度为 f (x)dxxfXExXD)()()(2计算方差的常用公式：计算方差的常用公式：)()()(22XEXEXDq D (C) = 0q D (aX ) = a2D(X)D(aX+b ) = a2D(X)q )()(2)()()(YEYXEXEYDXDYXD特别地，若X ,Y 相互独立，则)()()(YDXDYXD 方差的性质若nXX,1相互独立，baaan,21为常数则niiiniiiX
4、DabXaD121)(若X ,Y 相互独立)()()(YDXDYXD)()()(YEXEXYEq 对任意常数C, D (X ) E(X C)2 , 当且仅当C = E(X )时等号成立q D (X ) = 0 P (X = E(X)=1 称为X 依概率 1 等于常数 E(X)性质 1 的证明：0)()(2CECECD性质 2 的证明：2)()()(baXEbaXEbaXD2)()(bEbXEXaE22)(XEXaE)(2XDa2)()()(YXEYXEYXD)()(2)()(22YEYXEXEYEYEXEXE)()(2)()(YEYXEXEYDXD性质 3 的证明：当 X ,Y 相互独立时，)
5、()()()()(YEXEXYEYEYXEXE注意到，)()()(YDXDYXD 22)()(XECXEXECXE性质 4 的证明：22)()(XECXEXE当C = E(X )时，显然等号成立；当C E(X )时，0)(2XEC)(2XDCXE2)()(XECXD例例1 1 设X P (), 求D ( X ).解解0!)(kkkekXE11)!1(kkke)()1()(2XEXXEXE!) 1()1(0kekkXXEkk2222)!2(kkke 方差的计算方差的计算22)(XE)()()(22XEXEXD例例2 2 设X B( n , p)，求D(X ).解一解一 仿照上例求D (X ).解
6、二解二 引入随机变量nXXX,21发生次试验事件第发生次试验事件第AiAiXi, 0, 1nXXX,21相互独立，ni, 2 , 1)1 ()(ppXDiniiXX1故)1 ()()(1pnpXDXDnii例例3 3 设 X N ( , 2), 求 D( X )解dxexXDx222)(221)()(dtetttx222221令2常见随机变量的方差分布方差概率分布参数为p 的 0-1分布pXPpXP1)0() 1(p(1-p)B(n,p)nkppCkXPknkkn, 2 , 1 , 0)1 ()(np(1-p)P(), 2 , 1 , 0!)(kkekXPk分布方差概率密度区间(a,b)上的均
7、匀分布其它, 0,1)(bxaabxf12)(2abE()其它, 0, 0,)(xexfx21N(, 2)222)(21)(xexf2例例4 4 已知X ,Y 相互独立, 且都服从 N (0,0.5), 求 E( | X Y | ).解解) 5 . 0 , 0(),5 . 0 , 0(NYNX1)(, 0)(YXDYXE故) 1 , 0( NYX dzezYXEz2221|)(|222202dzezz例例5 5 设X 表示独立射击直到击中目标 n 次为止所需射击的次数 , 已知每次射击中靶的概率为 p , 求E(X ), D(X ).解解 令 X i 表示击中目标 i - 1 次后到第 i 次
8、击中目标所需射击的次数，i = 1,2, n 1, 2 , 1,)(1qpkpqkXPki1111)(kkkkikqpkpqXEpqp1)1 (12nXXX,21相互独立，且niiXX111112) 1()(kkkkikpqpqkkXEpqkkpqkk1) 1(22pxdxdpqqxkk1022pxpqqx1)1 (2322pp222112)(pppppXDipnXEXEnii1)()(故21)1 ()()(ppnXDXDnii 本例给出了几何分布与巴斯卡分布的期望与方差例例6 6 将 编号分别为 1 n 的 n 个球随机地放入编号分别为 1 n 的n 只盒子中,每盒一 球. 若球的号码与盒子
9、的号码一致，则称为一个配对. 求配对个数 X 的期望与方差.解解niiiXi, 2 , 1, 0, 1其它号盒号球放入则niiXX1nXXX,21不相互独立，但11)()(1nnXEXEnii212)(niiXEXEiXP 1 0n1n11ni, 2 , 1nnjijiniiXXXE1122nnjijiniiXXEXE112)(2)(2iXP 1 0n1n11ni, 2 , 1nji, 2 , 1,jiXXP 1 0) 1(1nn) 1(11nnnXEi1)(2) 1(1)(nnXXEjinnjijiniiXXEXEXE1122)(2)()(nnjininnn11) 1(121) 1(1212
10、nnCnnn21)()()(22XEXEXD标准化随机变量标准化随机变量设随机变量 X 的期望E(X )、方差D(X )都存在, 且D(X ) 0, 则称)()(XDXEXX为 X 的标准化随机变量. 显然，1)(,0)(XDXE仅知仅知 r.v.r.v.的期望与方差的期望与方差 并不能确定其分布并不能确定其分布XP -1 0 1 0.1 0.8 0.1YP -2 0 20.025 0.95 0.025与2 . 0)(, 0)(XDXE2 . 0)(, 0)(YDYE有相同的期望方差但是分布却不相同例如例如例例7 7 已知 X 服从正态分布, E(X ) = 1.7, D(X ) = 3, Y
11、 =1 2 X , 求Y 的密度函数.解解 1234)(, 4 . 27 . 121)(YDYEyeyfyY,621)(24)4 . 2(2 在已知某些分布类型时在已知某些分布类型时, ,若知道若知道其期望和方差其期望和方差, ,便常能确定分布便常能确定分布. .附例附例 在 0, 1 中随机地取两个数 X , Y , 求 D (min X ,Y )解解其它, 010 , 10, 1),(yxyxf1101010,minyxdxdyyx. 3/1dydxydxdyxyx 101101),(min YXEdydxydxdyxYXEyx 101210122),(min.6/1,min,min),(min22YXEYXEYXD.18/1例例8 8 已知 X 的 d.f.为其它, 0, 10,)(2xBxAxxf其中 A ,B 是常数，且 E (X ) = 0.5.(1) 求 A ,B.(2) 设 Y = X 2, 求 E (Y ),D (Y )解解 (1)1)()(102dxBxAxdxxf21)()(102dxBxAxxdxxxf2134123BABA6, 6BA(2).10/3)66(1022dxxxx. 7/1)66(1024dxxxx.70037)()()(22YEYEYDdxxfxXEYE)()()(22dxxfxXEYE)()()(442
