1、随机变量的数字特征随机变量的数字特征电子科技大学一、一、R-S(黎曼黎曼-斯蒂阶斯蒂阶)积分简介积分简介 定义定义1.4.1 设设f(x), g(x)为定义在为定义在a, b上的实上的实值函数，做一剖分值函数，做一剖分:a =x0 x1 xn=b,并任并任取点取点 1.,0,1,2, ,1 nkxxxkkkxkxk1 kx随机变量的数字特征随机变量的数字特征电子科技大学 101*)(g)()(nkkkkxxgxf做和式做和式若存在实数若存在实数I, ,使对使对 , ,只要只要00, )(max110 kknkxx I对任意分点及任意对任意分点及任意 的取法均有的取法均有 kx baxdgxfR
2、0lim)()()(记为记为随机变量的数字特征随机变量的数字特征电子科技大学1*100lim() ()()Inkkkkf xg xg x 称称I为为f(x)关于关于g(x)在在a, b上上的的R-S积分积分, ,简记为简记为 baxdgxf. )()(I babaxdgxfxdgxf)()(lim)()(若若存在存在, ,称为称为广义广义R-S积分积分. . badxxf)(黎曼积分黎曼积分 是是R-S积分的特例积分的特例. .注注随机变量的数字特征随机变量的数字特征电子科技大学R-S积分性质积分性质: : baxdgxfxf)()()()121 babaxdgxfxdgxf)()()()(2
3、1 baxgxgdxf)()()()2213) 设设,是任意常数，则是任意常数，则 babaxdgxfxdgxf. )()()()(21.)()()()( babaxgdxfxgdxf 随机变量的数字特征随机变量的数字特征电子科技大学4) 若若a c b, 则有则有 以上三个等式成立的意义是以上三个等式成立的意义是: 当等号右边存当等号右边存在时在时, 左边也存在并相等左边也存在并相等. baxdgxf)()( bccaxdgxfxdgxf)()()()( bababaxfxgxgxfxgxf)(d)()()()(d)()5以上以上15条性质可全部推广到广义条性质可全部推广到广义R-S积分积分
4、. .如如注注随机变量的数字特征随机变量的数字特征电子科技大学 )()()5xdgxfbabaxgxf)()(lim )(d)(xfxg 定理定理1.4.1（广义（广义R-S积分定理）积分定理） 若若f(x)在在R上上连续且有界连续且有界, g(x)在在R上单调有界上单调有界,则积分则积分 )()(xdgxf存在，并且存在，并且随机变量的数字特征随机变量的数字特征电子科技大学 1) 若若 在在R上上存在存在, ,在任意有限区间在任意有限区间a, b上黎曼可积上黎曼可积, ,则则)(xg dxxgxfxdgxf)()()()( 2) 若存在实数列若存在实数列Ck, k=0, 使使 C1C0C1,
5、1, .)0()0()()()( kkkkCgCgCfxdgxf且且 g(x) 在在Ck, Ck-1)上取常数，则上取常数，则随机变量的数字特征随机变量的数字特征电子科技大学问题问题1 若若F(x)是离散型随机变量的分布函数，是离散型随机变量的分布函数， f(x)关于关于F(x) 的广义的广义R-S积分形式？积分形式？设设X 是离散型随机变量是离散型随机变量, ,其分布律为其分布律为.3 , 2 , 1, kpxXPkk其分布函数是有界、单调不降的阶梯函数，有其分布函数是有界、单调不降的阶梯函数，有 kkkxxpxxxFxF,;, 0)0()0( 11kkkxxx随机变量的数字特征随机变量的数
6、字特征电子科技大学 .)0()0()()()( kkkkxFxFxfxdFxf kkkpxf)(特别当特别当 f (x)=x 时，有时，有 kkkpxxxdF)(.的数学期望的数学期望为离散型随机变量为离散型随机变量 X随机变量的数字特征随机变量的数字特征电子科技大学问题问题2 若若F(x)是连续型随机变量的分布函数，是连续型随机变量的分布函数， g(x)关于关于F(x) 的广义的广义R-S积分形式？积分形式？因连续型随机变量的分布函数绝对连续，有因连续型随机变量的分布函数绝对连续，有, 0)()()( xpxFdxxdF dxxpxfxdFxf)()()()(若若R-S积分存在则积分存在则随
7、机变量的数字特征随机变量的数字特征电子科技大学二、二元二、二元R-S积分简介积分简介随机变量的数字特征随机变量的数字特征电子科技大学）（jiyx ,）（1, jiyx）（jiyx,1 ）（11, jiyx）（*,jiyx随机变量的数字特征随机变量的数字特征电子科技大学随机变量的数字特征随机变量的数字特征电子科技大学随机变量的数字特征随机变量的数字特征电子科技大学随机变量的数字特征随机变量的数字特征电子科技大学二、数学期望与方差二、数学期望与方差则则 ,)(xdFx. )()( xxdFXE 定义定义1.4.2 随机变量随机变量X 的分布函数为的分布函数为F(x), 若若 dxxxfdxxFxX
8、E)()()(注注若若X是连续型随机变量是连续型随机变量, ,则则若若X是离散型随机变量是离散型随机变量, ,则则 1)(iiixXPxXE随机变量的数字特征随机变量的数字特征电子科技大学 定理定理1.4.2 设设F(x)是随机变量是随机变量X的分布函数的分布函数, g(x)在在R上连续上连续, 若若 则则Y=g(X)的数学期望存在的数学期望存在, ,且且,)()( xdFxg)()()()(xFdxgXgEYE 重要重要公式公式 定义定义1.4.3 随机变量随机变量X的分布函数为的分布函数为F(x), 则则其方差其方差 )()()(2xdFXExXD随机变量的数字特征随机变量的数字特征电子科
9、技大学 定理定理1.4.3 柯西柯西-许瓦兹不等式许瓦兹不等式 对任意的随对任意的随机变量机变量X,Y。若若E(X2) ,E(Y2)有限有限, 则有则有等式当且仅当等式当且仅当 时成立时成立, .1 aXYPRa 对随机变量对随机变量X, ,若有若有 , ,则则E(X)与与D(X)存在存在, ,且且 )(2xdFx22 )()()(0XEXEXD )( )(22xdFxxxdF 222YEXEXYE 随机变量的数字特征随机变量的数字特征电子科技大学三、条件数学期望三、条件数学期望 1.条件数学期望概念条件数学期望概念)(xyFXY 定义定义1.4.4 设设(X, Y)是二维随机变量是二维随机变
10、量, 条件条件分布函数分布函数 存在，又若存在，又若 )(xydFyXY称称 )()()(xydFyxXYExYEXY为在为在X=x的的条件下条件下, ,随机变量随机变量Y的的条件数学期望条件数学期望.随机变量的数字特征随机变量的数字特征电子科技大学若若(X, Y)是连续型随机变量是连续型随机变量, ,则则,)()( dyxyyfxYEXY EX.1 若若),11(, )0,1;0,1;()( NYX,);1,(2xN 在在X=x 的条件下的条件下, ,Y2212121(),.21yxY Xfy xexR 因因 dyxyyfxXYEXY)()(则则随机变量的数字特征随机变量的数字特征电子科技大
11、学.,121)(221212RxexyfxyXY 因因xdyxyyfxXYEXY )()(则则.)(yyYXE 同理同理都是实都是实值函数值函数.随机变量的数字特征随机变量的数字特征电子科技大学 对于对于X的不同取值的不同取值x1, x2, , xnx1x2x3YX方程方程y=x随机变量的数字特征随机变量的数字特征电子科技大学Ex. 2 设随机变量设随机变量(X, Y)的联合概率密度为的联合概率密度为 .0,;,21),(其它其它xxyeyxfy试求试求E(YX=x).解解;,21)(Rxexfxx 在在“X=x”的条件下的条件下, 有条件概率密度有条件概率密度 ., 0;,)(其它其它xye
12、xyfxyXY随机变量的数字特征随机变量的数字特征电子科技大学 dyxyyfxXYEXY)()(xdyyxxy 1e同同ex.1也是实也是实值函数值函数.一般有一般有 ).( )(, )()(yyYXExxXYE 注注X关于关于Y的的回归函数回归函数随机变量的数字特征随机变量的数字特征电子科技大学定理定理1.4.4 设函数设函数g(x)在在R上连续上连续,若若 )()(yxdFxgYX则随机变量则随机变量g(X)在在“Y=y”条件下的条件数条件下的条件数期望为期望为 )(yYXgE )()(yxdFxgYX定义定义1.4.4 称称2()()D X YyE XE X Yy为为“Y=y”的条件下的
13、条件下, ,随机变量随机变量X的的条件方差条件方差. .随机变量的数字特征随机变量的数字特征电子科技大学 为随机变量为随机变量X 相对于条件数学期望相对于条件数学期望 )(yYXE 注注的偏离程度的衡量指标的偏离程度的衡量指标. .2.条件数学期望性质条件数学期望性质一般一般 是实值函数是实值函数,可以证明随机变量的函数可以证明随机变量的函数),()(XYEX )()(YXEY ).( )(, )()(yyYXExxXYE 仍是随机变量仍是随机变量. .随机变量的数字特征随机变量的数字特征电子科技大学定理定理1.4.4 设设X,Y,Z是是(,F, P)上的随机变量上的随机变量, g()和和h(
14、)为为R上连续函数上连续函数, 且各数学期望存在且各数学期望存在,有有,)(cYcE 1) ) c 是常数是常数; ;,)()(cyxcdFyYcEYX 证：证：1) ) 对对 , ,y .)(cYcE , )()(EZYbEZXaZbYaXE 2) ) a, b是常数是常数. .自证自证. .随机变量的数字特征随机变量的数字特征电子科技大学3) 如果如果X与与Y相互独立相互独立, ,则则. )()(XEYXE ., )()(RyxFyxFXYX 证证 X与与Y 独立独立, , )()(,yxxdFyXERyYX对对, )()( XExxdFX. )()(XEYXE ; )()()()()4X
15、YhEXgXYhXgE .)()()()(YXgEYhYYhXgE 自证自证. .随机变量的数字特征随机变量的数字特征电子科技大学);,(),()5YXgEYYXgEE 证证 )(),(gYSYYXE )( )(),(ydFyxdFyxgYYX )()( ),( yFdyxdFyxgYYX)(),(gYSEYYXEE ),(g),(g)(yyXEyYYXEyS 且且 )(d),()(d)(yFyyXgEyFySYY随机变量的数字特征随机变量的数字特征电子科技大学. ),(),(),(YXgEyxFdyxg .)()()622YgXEYXEXE 3. .全数学期望公式全数学期望公式.)()()1
16、YXEEXE .)()()2YXgEEXgE 性质性质5)之特例之特例特别有特别有全概率公式全概率公式对随机事件对随机事件A, 定义示性函数定义示性函数随机变量的数字特征随机变量的数字特征电子科技大学Y是离散型是离散型 .0, 1不发生不发生若若，发生；发生；若若AAIA两点分布两点分布随机变量随机变量)()(YIEEIEAPAA )(yYAPyYIEA )(ydFyYIEYA() (),()( ),yYP AYy P YyP AYy fy dy Y是连续型是连续型随机变量的数字特征随机变量的数字特征电子科技大学 Ex.3 常用全数学期望公式常用全数学期望公式 若若 11,1,2,( ,kkk
17、kpkpyYP), )()(, kkkkyYXEAXEyYA 记记 . )()(1 kkkAPAXEXE则有则有 Ex.4 设某段时间内到达商场的顾客人数设某段时间内到达商场的顾客人数N服从参数为服从参数为的泊松分布的泊松分布.每位顾客在该商场每位顾客在该商场的消费额的消费额X 服从服从a, b上的均匀分布上的均匀分布.各位顾客各位顾客之间消费是相互独立的且与之间消费是相互独立的且与N 独立独立.求顾客在求顾客在该商场总的消费额该商场总的消费额.随机变量的数字特征随机变量的数字特征电子科技大学 解解 设第设第i 个顾客消费额为个顾客消费额为Xi , 全体顾客在全体顾客在该商场总消费额为该商场总
18、消费额为 NiiXS1根据全数学期望公式得根据全数学期望公式得 )( )()(1 NiiNXEENSEESE 01nniinNPnNXE )(01 nniinNPXEXi与与N相相互独立互独立随机变量的数字特征随机变量的数字特征电子科技大学 0nnNnPXE. 2)()(baNEXE 参见讲义参见讲义p198例例5 5 Xi同分布同分布 Ex.5 已知随机变量已知随机变量X 服从服从0, a上的均匀分上的均匀分布布,随机变量随机变量Y 服从服从X, a 上的均匀分布上的均匀分布, 试求试求1) E(Y X=x), 0 x 0, 有有 其它其它0,;,1)(ayxxaxyfXY对任意的对任意的0 x a 有有 axxadyxayxXYE,2)(.4322)2()()()2aaaXaEXYEEYE
