1、2.3 随 机 过 程基本概念介绍1. 随机过程的基本概念随机过程的基本概念2. 统计特性和数字特征统计特性和数字特征3. 平稳随机过程平稳随机过程4. 高斯随机过程高斯随机过程5. 随机过程通过线性系统随机过程通过线性系统6. 窄带随机过程窄带随机过程7. 正弦波加窄带高斯噪声正弦波加窄带高斯噪声 1 随机过程的基本概念随机过程的基本概念u确定性过程确定性过程p其变化过程可以用一个或几个时间其变化过程可以用一个或几个时间t 的确定函数来描述。的确定函数来描述。u随机过程随机过程p其变化过程不可能用一个或几个时间其变化过程不可能用一个或几个时间t的确定函数来描述。的确定函数来描述。通信过程是信
2、号和噪声通过通信系统的过程。而通信系统中通信过程是信号和噪声通过通信系统的过程。而通信系统中遇到的信号和噪声总带有随机性，从统计数学的观点看，遇到的信号和噪声总带有随机性，从统计数学的观点看，随随机信号和噪声统称为随机过程机信号和噪声统称为随机过程1 随机过程的基本概念随机过程的基本概念u随机过程的定义：设随机过程的定义：设 是随机试验。每一次试是随机试验。每一次试验都有一条时间波形（称为样本函数或实现），记作验都有一条时间波形（称为样本函数或实现），记作 ，所有可能出现的结果的总体所有可能出现的结果的总体 就构成一随机过程，记作就构成一随机过程，记作 。u简言之，无穷多个样本函数的总体叫做简
3、言之，无穷多个样本函数的总体叫做随机过程。随机过程。u典型代表：掷硬币、固定时间段内电话用户的呼叫次数等。典型代表：掷硬币、固定时间段内电话用户的呼叫次数等。(1, 2,)kSk )(txi)(,),(),(21txtxtxn)(tx1(t)x2(t)xn(t)ttt样本空间S1S2Sn(t)tk一个样本一个随机变量1 随机过程的基本概念随机过程的基本概念u随机过程随机过程(t)具有两个基本特征：具有两个基本特征：p (t)是时间是时间t的函数；的函数；p在某一观察时刻在某一观察时刻t1，样本的取值，样本的取值(t1)是一个随是一个随机变量。因此，我们又可以把随机过程看成依机变量。因此，我们又
4、可以把随机过程看成依赖时间参数的一族随机变量。赖时间参数的一族随机变量。p可见，随机过程具有可见，随机过程具有随机变量和和时间函数的特的特点。点。1 随机过程的基本概念随机过程的基本概念一维分布函数：一维分布函数：一维概率密度函数：一维概率密度函数：二维分布函数：二维分布函数：二维概率密度函数：二维概率密度函数：随机过程的随机过程的统计特性用统计特性用分布函数、分布函数、概率密度函概率密度函数或数字特数或数字特征来描述。征来描述。2 统计特性2 数字特征分布函数或概率密度函数能够较全面地描述随机过程的统计特分布函数或概率密度函数能够较全面地描述随机过程的统计特性性在实际工作中，有时不易或不需求
5、出分布函数和概率密度函数，在实际工作中，有时不易或不需求出分布函数和概率密度函数，用随机过程的数字特征来描述随机过程的统计特性，更简单直用随机过程的数字特征来描述随机过程的统计特性，更简单直观。观。111111),()(dxtxfxtEdxtxfxtEta),()()(1数学期望（均值）数学期望（均值）方差方差2 数字特征方差等于均方值与数学期望平方之差。它表示随机过程在时刻方差等于均方值与数学期望平方之差。它表示随机过程在时刻t对于均值对于均值a(t)的偏的偏离程度。离程度。均值和方差是对均值和方差是对随机变量求积分随机变量求积分或求和或求和均值均值和方差和方差是时是时间的函数间的函数2 数
6、字特征相关函数衡量随机过程在任意两个时刻获得的随机变量之间的关联程度时，常用协方衡量随机过程在任意两个时刻获得的随机变量之间的关联程度时，常用协方差函数差函数B(t1, t2)和相关函数和相关函数R(t1, t2)来表示。来表示。协方差函数同一随机过程同一随机过程,不同时间间关系不同时间间关系自协方差函数自协方差函数不同随机过程不同随机过程,不同时间间关系不同时间间关系互协方差函数互协方差函数 2121212212121),;,()()(),(dxdxttxxfxxttEttR)()(),(),(212121tatattRttB)()(),(2121ttEttR相关函数相关函数同一随机过程同一
7、随机过程,不同时间间关系不同时间间关系自相关函数自相关函数不同随机过程不同随机过程,不同时间间关系不同时间间关系互相关函数互相关函数2 数字特征 过程是慢变化，过程是慢变化， 过程是快变化，它们大致有相过程是快变化，它们大致有相同的均值、方差，但是在不同时刻的取值，对于同的均值、方差，但是在不同时刻的取值，对于 来说，相关性强；对于来说，相关性强；对于 来说，相关性弱。来说，相关性弱。 2 数字特征)(t)(t)(t相关函数相关函数)(t)(t)(t相关器的概念相关器的概念自相关器自相关器随机信号随机信号x x（）的自相关函数的自相关函数RxRx（）由此可绘出测量、计算自相关函数的电路或装置由
8、此可绘出测量、计算自相关函数的电路或装置01( )( ) ()lim( ) ()TxTRx t x tx t x tdtT积分器积分器延时延时X(t-X(t-)Rx(Rx() )X(t)X(t)自相关器的电路原理图自相关器的电路原理图例：设例：设s（t）为随机相位正弦信号，）为随机相位正弦信号，n（t）为低频限带噪声，则信号和噪声的相）为低频限带噪声，则信号和噪声的相关函数分别为关函数分别为由图知，当由图知，当较大时，较大时，Rs（ ） Rn（ ）,因此只要因此只要足够大，就可以从噪足够大，就可以从噪声中提取信号。声中提取信号。20cos( )2msUR0sin(2)( )2nBRN BB 自
9、相关器优点：自相关器优点：（1）方法简单）方法简单（2）实现起来容易）实现起来容易缺点：缺点：（1）它不可能完全消除噪声的影响，除非时间足够长。）它不可能完全消除噪声的影响，除非时间足够长。（2）时间必须很长，即）时间必须很长，即，用有限的时间代替不理想。，用有限的时间代替不理想。互相关器互相关器互相关器的优点：互相关器的优点：提取信号效果优于自相关器，提取信号能量越强，对噪声抑制越彻提取信号效果优于自相关器，提取信号能量越强，对噪声抑制越彻底。底。Rxy()积分器延时y(t-)X(t)互相关器的电路原理图y(t)2 数字特征独立概念相关概念X和Y不相关X和Y线性相关【例【例】 已知已知X和和
10、Y是相互独立的两个随机变量，它们均值和方是相互独立的两个随机变量，它们均值和方差分别为差分别为2和和6，试求，试求 的均值、方差和自相关函数。的均值、方差和自相关函数。11( )cossinZ tXw tYw t2 数字特征平稳随机过程平稳随机过程 是指它的统计特性不随时间的推移而变化。是指它的统计特性不随时间的推移而变化。),;,(),;,(21212121hththtxxxftttxxxfnnnnnn则称则称 是是严平稳随机过程或狭义平稳随机过程严平稳随机过程或狭义平稳随机过程。)(),(11111xftxf);,(),;,(21221212xxfttxxf)(t3 平稳随机过程如果如果任
11、意非零值任意非零值21tt一维概率密度函数一维概率密度函数二维概率密度函数二维概率密度函数均值均值adxxfxtE1111)()(自相关函数自相关函数12111221212( , )( ) ()( ,; )( )R t tEttx x fx xdx dxR )(),(11RttR3 平稳随机过程设有一个二阶矩随机过程设有一个二阶矩随机过程 ，它的均值为常数，它的均值为常数，自相关函数仅是自相关函数仅是的函数，则称它为宽平稳随机过程的函数，则称它为宽平稳随机过程或广义平稳随机过程。或广义平稳随机过程。通信系统中所遇到的信号及噪声，大多数可视为平稳的随机过程。通信系统中所遇到的信号及噪声，大多数可
12、视为平稳的随机过程。)(t3 平稳随机过程平稳平稳随机随机过程过程均值为常数均值为常数自相关函数自相关函数只与时间间隔有关只与时间间隔有关与时间起点无关与时间起点无关如何判别随机过程是平稳的？x(t)是平稳随机过程是平稳随机过程 的任意一个实现，它的的任意一个实现，它的 时间均值时间均值 和和 时间相关函数时间相关函数 分别为分别为2/2/)(1lim)(TTTdttxTtxa2/2/)()(1lim)()()(TTTdttxtxTtxtxR)(t如果平稳随机过程依概率1使下式成立： aa )()(RR 则称该平稳随机过程具有则称该平稳随机过程具有各态历经性。各态历经性。所谓各态历经的意思是只
13、要观测时间足够长所谓各态历经的意思是只要观测时间足够长,随机过程的每个样本函数都能够随机过程的每个样本函数都能够”经历经历”各种可能的状态。即按各种可能的状态。即按“时间平均时间平均”来代替来代替“统计平均统计平均” 。各态历经性 “各态历经各态历经”的含义：的含义：随机过程中的任一实现都经历了随机过程的所有随机过程中的任一实现都经历了随机过程的所有可能状态。因此，可能状态。因此， 我们无需（实际中也不可能）获得大量用来计算统计平均我们无需（实际中也不可能）获得大量用来计算统计平均的样本函数，而只需从任意一个随机过程的样本函数中就可获得它的所有的数的样本函数，而只需从任意一个随机过程的样本函数
14、中就可获得它的所有的数字特征，从而使字特征，从而使“统计平均统计平均”化为化为“时间平均时间平均”，使实际测量和计算的问题大，使实际测量和计算的问题大为简化。为简化。 具有各态历经性的随机过程必定是平稳随机过程，但平稳随机过程不具有各态历经性的随机过程必定是平稳随机过程，但平稳随机过程不一定是各态历经的。在通信系统中所遇到的随机信号和噪声，一般均能满足一定是各态历经的。在通信系统中所遇到的随机信号和噪声，一般均能满足各态历经条件。各态历经条件。各态历经性判断各态历经性首先判断是否满足宽平稳条件判断各态历经性首先判断是否满足宽平稳条件例：例：设有一个随机相位余弦波设有一个随机相位余弦波0( )c
15、os()X tAt 其中其中A A 和和 0 0 均为常数，均为常数， 是在是在(0, 2(0, 2 ) )内均匀分布的随机变内均匀分布的随机变量。试讨论量。试讨论X X(t(t) )是否具有各态历经性。是否具有各态历经性。解解: : (1) (1) 先求先求X X(t(t) )的统计平均值。数学期望的统计平均值。数学期望20020002200001( )( )cos()2(coscossinsin)2coscossinsin20a tE X tAtdAttdAtdtd 自相关函数自相关函数12120 10 220210212220210210202120( ,)( )( )cos()cos(
16、)cos()cos()2 21cos()cos()2 222cos()02cos( )( )2R t tE X tX tE AtAtAEttttAAttttdAttAR 由由a(t) 和和R( ) 可见可见X(t)是一个广义随机过程。是一个广义随机过程。(2) 求求X(t)的时间平均值。的时间平均值。/20/21( )limcos()0TTTa tAtdtT/200/22/2/2000/2/2201( )limcos()cos()limcoscos(22 )2cos2TTTTTTTTRAtAtdtTAdttdtTA 比较比较X(t)的统计平均值和时间平均值，有的统计平均值和时间平均值，有( )
17、( ),( )( )a ta tRR 故故X(t)是各态历经的。是各态历经的。q 平稳随机过程自相关函数的性质平稳随机过程自相关函数的性质 设设X(t) 为实平稳随机过程，则为实平稳随机过程，则它的自相关函数它的自相关函数 具有下列主要性质：具有下列主要性质：(1) R(0) = EX2(t) =S称为称为X(t) 的平均功率的平均功率 (2) R() = E2X(t)称为称为X(t) 的直流功率的直流功率 (3) R( ) =R( ) R是是 的偶函数的偶函数 (4) |R( )| R(0) R(0) 是是R( ) 的上界的上界 (5) R(0) R() = 2 方差，称为方差，称为X(t)
18、的交流功率的交流功率 12( )( )( )RE X tX t随机过程的频谱特性是用它的功率谱密度来表述的随机过程的频谱特性是用它的功率谱密度来表述的。对于任意的确定功率信号对于任意的确定功率信号f(t)，它的功率谱密度为，它的功率谱密度为TFPTTf2)(lim)(我们可以把我们可以把f(t)看成是平稳随机过程看成是平稳随机过程(t)中的任一实现，因而中的任一实现，因而每每一实现一实现的功率谱密度也可用上式来表示。的功率谱密度也可用上式来表示。由于由于(t)是无穷多个实现的集合，哪一个实现出现是不能预知的，是无穷多个实现的集合，哪一个实现出现是不能预知的，因此，某一实现的功率谱密度不能作为过
19、程的功率谱密度。因此，某一实现的功率谱密度不能作为过程的功率谱密度。过程过程的功率谱密度应看做是任一实现的的功率谱密度应看做是任一实现的功率谱的统计平均功率谱的统计平均，即，即 平稳随机过程的功率谱密度功率信号功率信号f(t)及其截短函数及其截短函数f (t)Otf T(t)tOT2T2平稳随机过程的功率谱密度的平均功率的平均功率S则可表示成则可表示成)(t平稳随机过程的功率谱密度功率谱的统功率谱的统计平均计平均2/2/2/2/2/2/2/2/2/2/2()/2/2( )1( )( )1( )( )1()(1) ( )(,)TTTj tj tTTTTTTj tj tTTTTjttTTTjTFE
20、Et edtt edtTTEt edtt edtTR tt edt dtTRedtt kttT 2( )limlim( )(1) ( )( )TTjTjFPERedTTTTRed 平稳随机过程的功率谱密度u确知的非周期功率信号的自相关函数与其谱密度是一对确知的非周期功率信号的自相关函数与其谱密度是一对 傅氏变换关系傅氏变换关系 。 对于平稳随机过程，也有类似的关系，即维纳对于平稳随机过程，也有类似的关系，即维纳辛钦定理辛钦定理)()(PR平稳随机过程的功率谱密度R(0)表示随机过程的平均功率表示随机过程的平均功率非负性非负性偶函数偶函数平稳随机过程的功率谱密度例例 某随机相位余弦波某随机相位余
21、弦波 ，其中，其中A和和 均为常数，均为常数，是在是在(0, )内均匀分布的随内均匀分布的随机变量。机变量。 求求 的自相关函数与功率谱密度的自相关函数与功率谱密度.)cos()(tAtcc2)(t平稳随机过程的功率谱密度解：解： 先考察先考察(t)是否是否广义平稳广义平稳 的数学期望为的数学期望为021)cos()()(20dtAtEtac的自相关函数为的自相关函数为)()(cos2)()(),(1222121RttAttEttRc)(t)(t根据根据)()(cosccc以及以及)()(PR是广义平稳。是广义平稳。)(t)()(2)(2ccAP则功率谱密度为则功率谱密度为2)()0(2AdP
22、RS平均功率为平均功率为平稳随机过程的功率谱密度4高斯随机过程高斯随机过程 若随机过程若随机过程(t)的任意的任意n维（维（n=1, 2, ）分布都是正）分布都是正态分布，则称它为高斯随机过程或正态过程。态分布，则称它为高斯随机过程或正态过程。 12121/2/212111(,; ,)(2 )1exp2nnnnnnnjjkkjkjkjkfx xxt ttBxaxaBB 1111,(,; ,)(, )()nnnnnfxx ttf x tf x t如果各随机变量两两之间互不相关，则上式中，对所有如果各随机变量两两之间互不相关，则上式中，对所有统计独立统计独立4高斯随机过程高斯随机过程 1. 由式可
23、以看出由式可以看出, 高斯过程的高斯过程的n维分布完全由维分布完全由n个随机变量的数个随机变量的数学期望、方差和两两之间的归一化协方差函数所决定。因此，学期望、方差和两两之间的归一化协方差函数所决定。因此，对于高斯过程，只要研究它的数字特征就可以了。对于高斯过程，只要研究它的数字特征就可以了。2. 如果高斯过程是广义平稳的，则它的均值、方差与时间无关，如果高斯过程是广义平稳的，则它的均值、方差与时间无关，协方差函数只与时间间隔有关，而与时间起点无关，由性质协方差函数只与时间间隔有关，而与时间起点无关，由性质1知，它的知，它的n维分布与时间起点无关。所以，广义平稳的高斯维分布与时间起点无关。所以
24、，广义平稳的高斯过程也是狭义平稳的。过程也是狭义平稳的。3. 高斯过程经过线性变换（或线性系统）后仍是高斯过程高斯过程经过线性变换（或线性系统）后仍是高斯过程。高斯随机过程重要性质高斯随机过程重要性质 222)(exp21)(axxff(x)具有如下特性 (1) f(x)对称于x=a这条直线。 (2)21)()(aadxxfdxxf1)(dxxf正态分布的概率密度正态分布的概率密度一维高斯随机过程一维高斯随机过程 f (x)12Oax（3）a表示分布中心，表示分布中心， 表示表示集中程度集中程度, 图形将随着图形将随着 的的减小而变高和变窄。当减小而变高和变窄。当 时，称为标准正态分布的时，称
25、为标准正态分布的密度函数。密度函数。1, 0a（3）a表示分布中心，表示分布中心， 表示表示集中程度集中程度, 图形将随着图形将随着 的的减小而变高和变窄。当减小而变高和变窄。当 时，称为标准正态分布的时，称为标准正态分布的密度函数。密度函数。1, 0a1, 0a（3）a表示分布中心，表示分布中心， 表示表示集中程度集中程度, 图形将随着图形将随着 的的减小而变高和变窄。当减小而变高和变窄。当 时，称为标准正态分布的时，称为标准正态分布的密度函数。密度函数。1, 0a误差函数和互补误差函数误差函数和互补误差函数xtdtexerf022)(dtexerfxerfcxt22)(1)(引入：互补误差
26、函数引入：互补误差函数)()(, 1)(, 0)0(xerfxerferferf)(2)(, 0)(, 1)0(xerfcxerfcerfcerfc引入：误差函数引入：误差函数它是自变量的递增函数：它是自变量的递增函数： 它是自变量的递减函数：它是自变量的递减函数： 5 随机过程通过线性系统只考虑平稳过程通过线性时不变系统的情况。只考虑平稳过程通过线性时不变系统的情况。随机信号通过线性系统的分析，完全是建立在确知信随机信号通过线性系统的分析，完全是建立在确知信号通过线性系统的分析原理的基础之上的。号通过线性系统的分析原理的基础之上的。我们知道，线性系统的响应我们知道，线性系统的响应v vo o
27、(t(t) )等于输入信号等于输入信号v vi i(t)(t)与系统的单位冲激响应与系统的单位冲激响应h(t)h(t)的卷积，即的卷积，即dthvthtvtvii)()()()()(0),()(),()(),()(00HthVtvVtvii若若则有则有)()()(0iVHV若线性系统是物理可实现的，则若线性系统是物理可实现的，则dthvtvti)()()(0或或dtvhtvi)()()(00 如果把如果把vi(t)看作是输入随机过程的一个样本，看作是输入随机过程的一个样本，则则vo(t)可看作是输出随机过程的一个样本。显然，输可看作是输出随机过程的一个样本。显然，输入过程入过程i(t)的每个样
28、本与输出过程的每个样本与输出过程o(t)的相应样本之的相应样本之间都满足上式的关系。间都满足上式的关系。 这样，就整个过程而言，便有这样，就整个过程而言，便有dthti)()()(005 随机过程通过线性系统假定输入假定输入i(t)是平稳随机过程，是平稳随机过程， 则可以分析系统的输则可以分析系统的输出过程出过程o(t)的统计特性。的统计特性。5 随机过程通过线性系统000000( )( )()( )( )()()( )( )()( )iiiiithtdEtEhtdEtEtahEtdahd 1. 输出过程输出过程o(t)的数学期望的数学期望000( )( )(0)( )( )(0)j tHh
29、t edtHh t dtEta H 由此可见由此可见, 输出过程的数学期望等于输入过程的数学输出过程的数学期望等于输入过程的数学期望与直流传递函数期望与直流传递函数H(0)的乘积，且与的乘积，且与t无关。无关。 011010111001100( ,)( )()( )()( )()( ) ( )()()iiiiR t tEttEhtdhtdhhEttd d 可见可见, o(t)的自相关函数只依赖时间间隔的自相关函数只依赖时间间隔而与时间而与时间起点起点t1无关。由以上输出过程的数学期望和自相关函无关。由以上输出过程的数学期望和自相关函数证明，数证明，若线性系统的输入过程是平稳的，那么输出若线性系
30、统的输入过程是平稳的，那么输出过程也是平稳的。过程也是平稳的。2. 输出过程输出过程o(t)的自相关函数的自相关函数 )()()(11iiiRttE011000( ,)( ) ( )()( )iR t thhRd dR 5 随机过程通过线性系统3. 输出过程输出过程o(t)的功率谱密度的功率谱密度deddRhhdeRPjij 0000)()()()()(可见，系统输出功率谱密度是输入功率谱密度系统输出功率谱密度是输入功率谱密度Pi()与与系统功率传输函数系统功率传输函数|H()|2的乘积。的乘积。5 随机过程通过线性系统)()()()()()(20iiPHPHHPdeRdehdehPjwijj
31、000)()()()(6 窄带随机过程随机过程通过以随机过程通过以fc为中心频率的窄带系统的输出，即为中心频率的窄带系统的输出，即是窄带随机过程。所谓窄带系统，是指其通带宽度是窄带随机过程。所谓窄带系统，是指其通带宽度ffc，且，且fc远离零频率的系统。远离零频率的系统。实际中，大多数通信系统都是窄带型的，通过窄带系实际中，大多数通信系统都是窄带型的，通过窄带系统的信号或噪声必是窄带的，如果这时的信号或噪声统的信号或噪声必是窄带的，如果这时的信号或噪声又是随机的，则称它们为窄带随机过程。可表示为：又是随机的，则称它们为窄带随机过程。可表示为：0)(,)(cos)()(tatttatcttttt
32、csccsin)(cos)()(窄带过程的频谱和波形示意 fcOS( f )fffcf(a)tOS( f )缓慢变化的包络 a(t)频率近似为 fc(b)6 窄带随机过程 a(t)及(t)分别是(t)的随机包络和随机相位，c(t)及s(t)分别称为(t)的同相分量和正交分量，它们也是随机过程，显然它们的变化相对于载波cosct的变化要缓慢得多。 (t)的统计特性可由a(t)，(t)或c(t),s(t)的统计特性确定。反之，如果已知(t)的统计特性则可确定a(t),(t)以及c(t)，s(t)的统计特性。 6 窄带随机过程1 同相和正交分量的统计特性同相和正交分量的统计特性 设窄带过程设窄带过程
33、(t)是平稳高斯窄带过程，是平稳高斯窄带过程，且且 均值为零，方差为均值为零，方差为 。 可以证明它的同相分量可以证明它的同相分量c(t)和正交分量和正交分量s(t)也也是零均值的平稳高斯过程，而且与是零均值的平稳高斯过程，而且与(t)具有相同的方具有相同的方差。差。 20)(0)(0)(tEtEtEsc2222sc此外，在同一时刻上得到的此外，在同一时刻上得到的c和和s是互不相关的或是互不相关的或统计独立的。统计独立的。 6 窄带随机过程2 包络和相位的统计特性包络和相位的统计特性22222exp21)()(),(cscscfff一个均值为零，方差为一个均值为零，方差为 的窄带平稳高斯过程的
34、窄带平稳高斯过程(t)，其包络其包络a(t)的一维分布是瑞利分布，相位的一维分布是瑞利分布，相位(t)的一的一维分布是均匀分布，并且就一维分布而言，维分布是均匀分布，并且就一维分布而言，a(t)与与(t)是统计独立的是统计独立的，即有下式成立：20,2exp)(222aaaaf20,21)(f6 窄带随机过程瑞利分布瑞利分布7 正弦波加窄带高斯噪声信号经过信道传输后总会受到噪声的干扰，为了减少噪声的影信号经过信道传输后总会受到噪声的干扰，为了减少噪声的影响，通常在接收机前端设置一个带通滤波器，以滤除信号频带响，通常在接收机前端设置一个带通滤波器，以滤除信号频带以外的噪声。以外的噪声。因此，带通
35、滤波器的输出是信号与窄带噪声的混合波形。因此，带通滤波器的输出是信号与窄带噪声的混合波形。最常见的是正弦波加窄带高斯噪声的合成波，这是通信系统中最常见的是正弦波加窄带高斯噪声的合成波，这是通信系统中常会遇到的一种情况，所以有必要了解合成信号的包络和相位常会遇到的一种情况，所以有必要了解合成信号的包络和相位的统计特性。的统计特性。)()cos()(tntAtrcttnttntncsccsin)(cos)()(22)(, 0)(ntnEtnE正弦波有用信号正弦波有用信号窄带高斯噪声窄带高斯噪声)(cos)(sin)(cos)()(tttzttzttztrccscc)(cos)(tnAtzcc)(s
36、in)(tnAtzss0, )()()(22ztztztzsc20,)()(arctan)(tztztcs合成信号合成信号r(t)的包络和相位为的包络和相位为222,sin)(,cos)(nscscAtzEAtzE正弦波加窄带高斯过程的包络概率密度函数为正弦波加窄带高斯过程的包络概率密度函数为0,)(21exp)(202222zAzIAzzzfnnn广义瑞利分布，广义瑞利分布，莱斯（莱斯（Rice）密度函数）密度函数7正弦波加窄带高斯噪声上式存在两种极限情况：上式存在两种极限情况： 1. 当信号很小，当信号很小，A0，即信噪比，即信噪比 时，时，x值很小，有值很小，有I0(x)=1，这时合成波
37、，这时合成波r(t)中只中只存在窄带高斯噪声，即由莱斯分布退化为瑞利分存在窄带高斯噪声，即由莱斯分布退化为瑞利分布。布。2. 当信噪比当信噪比r很大时，有很大时，有I0(x) ，这时在，这时在zA附近，附近， f(z)近似于高斯分布。近似于高斯分布。22/20nAr /2xex 由此可见，信号加噪声的合成波包络分布与信噪比有由此可见，信号加噪声的合成波包络分布与信噪比有关。小信噪比时，它接近于瑞利分布；大信噪比时，关。小信噪比时，它接近于瑞利分布；大信噪比时，它接近于高斯分布；在一般情况下它是莱斯分布。它接近于高斯分布；在一般情况下它是莱斯分布。7 正弦波加窄带高斯噪声正弦波加窄带高斯过程的包
38、络与相位分布 n f (z)0.50.40.30.20.1r 0nAz(a) 0r 0f ( )(b)0r 1r 1f()也与信噪比有关。小信噪比时，也与信噪比有关。小信噪比时，f()接近于均匀接近于均匀分布，它反映这时窄带高斯噪声为主的情况；大信噪分布，它反映这时窄带高斯噪声为主的情况；大信噪比时，比时，f()主要集中在有用信号相位附近。主要集中在有用信号相位附近。7正弦波加窄带高斯噪声这种噪声被称为这种噪声被称为白噪声白噪声，它是一个理想的宽带随机过，它是一个理想的宽带随机过程。式中程。式中n n0 0为一常数，单位是瓦为一常数，单位是瓦/ /赫。显然，白噪声赫。显然，白噪声的自相关函数可
39、借助于下式求得，即的自相关函数可借助于下式求得，即信号在信道中传输时，常会遇到这样一类噪声，它的信号在信道中传输时，常会遇到这样一类噪声，它的功率谱密度均匀分布在整个频率范围内，即功率谱密度均匀分布在整个频率范围内，即这说明，白噪声只有在这说明，白噪声只有在=0=0时才相关，而它在任意两时才相关，而它在任意两个时刻上的随机变量都是互不相关的。个时刻上的随机变量都是互不相关的。高斯白噪声高斯白噪声P()0f0n02n02R白噪声的功率谱和自相关函数白噪声的功率谱和自相关函数高斯白噪声高斯白噪声 如果如果白噪声白噪声又是又是高斯分布高斯分布的，我们就称之为高斯的，我们就称之为高斯白噪声。白噪声。
40、高斯白噪声在任意两个不同时刻上的取值之间，高斯白噪声在任意两个不同时刻上的取值之间，不仅是互不相关的，而且还是统计独立的。不仅是互不相关的，而且还是统计独立的。 应当指出，我们所定义的这种理想化的白噪声在应当指出，我们所定义的这种理想化的白噪声在实际中是不存在的。但是，如果噪声的功率谱均实际中是不存在的。但是，如果噪声的功率谱均匀分布的频率范围远远大于通信系统的工作频带，匀分布的频率范围远远大于通信系统的工作频带，我们就可以把它视为白噪声。我们就可以把它视为白噪声。高斯白噪声高斯白噪声功率谱功率谱角度角度概率分概率分布角度布角度例 带限白噪声带限白噪声。试求功率谱密度为n0/2的白噪声通过理想
41、矩形的低通滤波器后的功率谱密度、自相关函数和噪声平均功率。理想低通的传输特性为其它, 0,)(0HtjeKH可见，输出噪声的功率谱密度在可见，输出噪声的功率谱密度在|H内是均匀的，内是均匀的， 在此范围外则为零，通常把这样的噪声称为带限白噪在此范围外则为零，通常把这样的噪声称为带限白噪声。声。HiHPHPKH),()()(,)(20202带限白噪声带限白噪声其自相关函数为其自相关函数为2200002001( )( )22sinHHfjjffHHHnRPedKedfK n f 由此可见，带限白噪声只有在由此可见，带限白噪声只有在=k/2fH(k=1, 2, 3, )上得到的随机变量才不相关。即，
42、如果对带上得到的随机变量才不相关。即，如果对带限白噪声按抽样定理抽样的话，则各抽样值是互不限白噪声按抽样定理抽样的话，则各抽样值是互不相关的随机变量。相关的随机变量。HfnKR0200)0(带限白噪声的平均功率：带限白噪声的平均功率：带限白噪声的功率谱和自相关函数fOPo()ORo()fHfHn02K0212fH12fHK0n0 fH2带限白噪声从原理上看，在已知输入过程分布的情况从原理上看，在已知输入过程分布的情况dthti)()()(00总可以确定输出过程的分布。总可以确定输出过程的分布。其中一个十分有用的情形是：其中一个十分有用的情形是：如果线性系统的输入如果线性系统的输入过程是高斯型的
43、，则系统的输出过程也是高斯型的过程是高斯型的，则系统的输出过程也是高斯型的。因为从积分原理来看，上式可表示为一个和式的极因为从积分原理来看，上式可表示为一个和式的极限，即限，即kkkkihttk)()(lim)(0004. 输出过程o(t)的概率分布带限白噪声 由于由于i(t)已假设是高斯型的，所以，在任一时刻已假设是高斯型的，所以，在任一时刻的每项的每项 都是一个高斯随机变量。都是一个高斯随机变量。因此，输出过程在任一时刻得到的每一随机变量，都因此，输出过程在任一时刻得到的每一随机变量，都是无限多个高斯随机变量之和。是无限多个高斯随机变量之和。 由概率论得知，这个由概率论得知，这个“和和”的
44、随机变量也是高斯的随机变量也是高斯随机变量。这就证明，高斯过程经过线性系统后其输随机变量。这就证明，高斯过程经过线性系统后其输出过程仍为高斯过程。出过程仍为高斯过程。 更一般地说，更一般地说，高斯过程经线性变换后的过程仍为高斯过程经线性变换后的过程仍为高斯过程。高斯过程。但要注意，由于线性系统的介入，与输入但要注意，由于线性系统的介入，与输入高斯过程相比，高斯过程相比，输出过程的数字特征已经改变了输出过程的数字特征已经改变了。 kkkiht)()(带限白噪声小 结随机过程基本概念严平稳随机过程宽平稳随机过程各态历经性自相关函数功率谱密度函数高斯随机过程窄带随机过程正弦波+窄带随机过程随机过程通过线性系统
