1、高二数学试题第 1 页 （共 7 页） 南平市南平市2020212120202222学年第一学期高二年级期末质学年第一学期高二年级期末质量检测量检测 数学试题数学试题 （满分：（满分：150 分分 考试时间：考试时间：120 分钟）分钟） 注意事项： 1本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分。 2答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 3全部答案答在答题卡上，答在本试卷上无效。 4考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第第卷卷 一、单项选择题：本大题共一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选分，在每小题给出的四个选项中，只有
2、一项是符合题目要求的项中，只有一项是符合题目要求的 1抛物线24xy= 的准线方程为 A116x = B1x = C1y = D2y = 2已知向量()2, 3,4a =，()1, ,1bk=，且a与b互相垂直，则k的值为 A1 B2 C3 D4 3设nS为等差数列na的前 n 项和，且45510aS=，则 A21nan= B 37nan= C23nSnn= D21122nSnn= 4 . 曲线12yx=+在点()1,3处的切线方程为 A40 xy+= B20 xy+= C30 xy= D310 xy+ = 5椭圆两焦点分别为()13,0F，()23,0F，动点P在椭圆上，若12PFF的面积的
3、最大值为 12，则此椭圆上使得12F PF为直角的点P有 A0个 B1个 C2个 D4个 高二数学试题第 2 页 （共 7 页） 6设等比数列 na的前n项和为nS，若523aa=，则63SS= A.1 B2 C3 D4 7已知e1=a，ln77b =，ln55c =，则cba，的大小关系为 A acb B acb C bac Dcba， 则数列 nb是递增数列 D若数列 na的公差0d ，则数列 na是递减数列 10如图，在四面体ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，则下列选项正确的是 A0EG FH= BEGEFEH=+ CEH为直线BD的方向向量 D设M是EG和F
4、H的交点，则对空间任意一 点O，都有()14OMOAOBOCOD=+ 11在平面直角坐标系xoy中，动点P与两个定点()2,0M 、()2,0N连线的斜率之积等于14，记点P的轨迹为曲线E，直线l:(5)yk x=与E交于A，B两点，则下列说法正确的是 AE的方程为：()22124yxx= BE的离心率为52 CE的渐近线与圆22(5)1xy+=相交 D满足| 4AB =的直线l有3条 MGFHEDBCA 高二数学试题第 4 页 （共 7 页） 12设Ra,函数xaxxfln)()(2=,则下列说法正确的是 A当10a时，函数)(xf既有极大值也有极小值 C当1=a时，函数)(xf有极大值，没
5、有极小值 D当322ea时，函数)(xf没有极值 第第卷卷 三、填空题：本大题共三、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分分 13在空间直角坐标系中，已知(2,1,3)OA= ，(5,1, 1)OB = ，则AB = 14已知直线1:60lxmy+=，2:2410lxy+ =，若12/ll，则m = . 15若直线()100,0axbyab+ =始终平分圆2224160 xyxy+=的 周 长 ， 则12ab+的 最 小 值为 16若数列 na的各项均为正数，且满足13a =，()221123nnnnaaa a+=，则数列 na的前 6 项和为 四、解答题：本大题共四、解答题：
6、本大题共 6 6 小题，共小题，共 7070 分分解答应写出文字说明、证明过程解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤或演算步骤 17 （本题满分 10 分） 已知圆C经过坐标原点O， 圆心在x轴正半轴上， 且与直线3420 xy+=相切 （1）求圆C的标准方程； （2）若过点()12，的直线l与圆C有交点，求该直线l的斜率的取值范围 高二数学试题第 5 页 （共 7 页） 18 （本题满分 12 分） 在2nSn=， 点1)(,nna a+在直线2yx=+上，且35a =，公差为正数的等差数列 na中，35a =且1a，2a，42a +成等比数列，从这三个条件中任选一个，补充到下面的横线上，并
7、解答 已知数列 na的前n项和为nS， （1）求数列na的通项公式； （2）若12nnnbaa+=()nN，若数列 nb的前n项和nTm对任意正整数n恒成立，求实数m的最小值 19 （本题满分 12 分） 已知函数19)(3+=xaxxf，aR. （1）若3=a，求函数( )f x的极值； （2）若函数( )f x恰有三个零点，求实数a的取值范围 高二数学试题第 6 页 （共 7 页） 20 （本题满分 12 分） 如 图 在 三 棱 锥OABC中 ，2OAOC=，2ABOBBC=且OAOC （1）求证：平面OAC平面ABC （2） 若E为OC中点， 求平面ABC与平面EAB夹角的余弦值 EO
8、CAB 高二数学试题第 7 页 （共 7 页） 21 （本题满分 12 分） 设圆222150 xyx+=的圆心为P，过点(1,0)Q且与x轴不重合的直线交圆P于C、D两点，过Q作CP的平行线交PD于点E （1）证明|EPEQ+为定值，并写出点E的轨迹的方程； （2）已知点( 2,0)A ，(2,0)B，过点(1,0)Q的直线l与曲线交于M、两点，直线AM，BN交于点K，求证：点K在直线4x =上 22 （本题满分 12 分） 已知函数( )e2sinxf xxx=+，函数12)(2+= axxg （Ra） （1）求函数)(xf的单调区间； （2）若对任意的0 x，( )( )f xg x恒成
9、立，求实数a的取值范围 高二期末数学参考答案 第1页（共 8 页） 南平市南平市 20202 21 120202 22 2 学年第学年第一一学期高学期高二二年级期末质量检测年级期末质量检测 数学数学参考答案参考答案及评分标准及评分标准 说明： 1.本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则. 2.对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分. 3.只给整数分数. 选
10、择题和填空题不给中间分. 一、选择题：本题考查基础知识和基本运算，每小题 5 分，满分 60 分 1C 2B 3B 4A 5A 6D 7A 8D 二、多项选择题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分. 9B D 10B CD 11A B 12A B D 三、填空题：本题考查基础知识和基本运算，每小题 5 分，满分 20 分 135 142 159 16189 四、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17.（本小题满分 10 分）
11、 解: （1）圆C经过坐标原点O，圆心在x轴正半轴上， 故可设圆C的圆心坐标为( ,0)C a， 1 分 其中0a ，且半径ra=2 分 又圆C与直线3420 xy+=相切， 22|302|34aa+=+，4 分 解得1a =或14a = （舍去） ， 故圆C的标准方程为22(1)1xy+=5 分 （2）直线l过点()12，设直线l方程为()21yk x=，6 分 即20kxyk+= 直线l与圆C有公共点，圆心到直线的距离2211dk=+，8 分 解得：33kk 或10 分 高二期末数学参考答案 第2页（共 8 页） 18. （本小题满分 12 分） 解（1）方案一：选条件：2nSn=. 当1
12、n =时，111as=.1 分 当2n 时，212(1)21nnnassnnn= 4 分 又当1n =时,11a =符合上式， 5 分 21nna=6 分 方案二：选条件 ：点1)(,nna a+在直线2yx=+上，且35a =， 12nnaa+=+， 即12nnaa+=，2 分 na为等差数列，公差2d =，4 分 3(3) 221nnnaa=+=.6 分 方案三：选条件公差为正数的等差数列 na中，35a =且1a，2a，42a +成等比数列. 设等差数列 na的公差为(0)d d ，依题意，得232145aaaa=且 （+2） 2ddd(5- )(5-2 )(7+) , 解得2d =或5
13、d =（舍去） ， 2d=，4 分 3(3) 221nnnaa=+=.6 分 （2）21nan=， 12211(21) (21)2121nnnbaannnn+=+.7 分 12nnbbTb=+ 高二期末数学参考答案 第3页（共 8 页） 1111111()()()11335212121nnn=+= +， 9 分 1021n+， 11121n+ .10 分 数列 nb的前n项和nTm对任意的正整数n恒成立， 1m，11 分 m的最小值为 1 12 分 19 （本小题满分 12 分） 解： （1）因为3=a，所以193)(3+=xxxf，99)(2=xxf， 1 分 所以，当1x 或1x 时，(
14、)0fx ；当11x 时，( )0fx ； 所以( )f x在(, 1) 和(1,)+单调递增，在()1,1单调递减， 3 分 所以( )f x的极大值为7) 1(=f，( )f x的极小值为5) 1 (=f. 5 分 （2）) 3( 393)(22=axaxxf， 6 分 当0a 时，0) 3( 3)(2=axxf恒成立，( )f x在R上单调递减， ( )f x至多一个零点，不合题意； 7 分 当0a 时，令( )0fx =，则ax3=， 8 分 所以，当ax3或ax3时，( )0fx ；当axa33时，( )0fx ； 所以( )f x在），（a3和），（+a3单调递增，在），（aa33
15、单调递减， 9 分 高二期末数学参考答案 第4页（共 8 页） 所以( )f x的极大值为136)3(+=aaf， ( )f x的极小值为136)3(+=aaf. 10 分 又( )f x恰有三个零点，所以36103610aa+， 11 分 解得1080 a 综上，a的取值范围为1080 a 12 分 20 （本小题满分 12 分） 证明： （1）如图，取AC中点D，连接OD、BD， 因为2OAOC=，所以ODAC，1 分 又OAOC， 所以2AC =，112ODAC= 因为2ABBC=，所以BDAD 又因为112ADAC=，又=2OB，所以3BD =， 所以222ODBDOB+= ， 所以O
16、DBD.3 分 又=ACBD D， 所以OD 平面ABC， 5 分 又因为OD平面OAC， 所以平面OAC 平面ABC.6 分 DEOCAB 高二期末数学参考答案 第5页（共 8 页） （2）由（1）可得DO、DA、DB两两垂直，以D为原点，分别以DA、DB、DO为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系-D xyz，如图. 则()1,0,0A，()0, 3,0B，()1,0,0C ，()0,0,1O，11,0,22E，8 分 所以()1, 3,0AB = ，11, 3,22EB=， 设()=, ,nx y z为平面EAB的法向量， 则301130.22xyxyz +=+=， 令1y =，则3x =
17、，3 3z = 所以()=3,1,3 3n是平面EAB的一个法向量，10 分 由（1）知()= 0,0,1DO为平面ABC的一个法向量，11 分 设平面ABC与平面EAB所成角为，则3 33 93coscos,3131n DO= 故平面ABC与平面EAB夹角的余弦值为3 933112 分 21 （本小题满分 12 分） （1）证明：由圆222150 xyx+=可得， 圆心为，半径为 4， / /EQPC， PCDEQD= ， 又| |PDCP=， PCDPDC=， DEBOCAzxy 高二期末数学参考答案 第6页（共 8 页） EQDPCDPDC= = ， | |EQED=，2 分 | | |
18、 4EPEQEPEDPD+=+=，则| 4EPEQ+=，3 分 点E的轨迹是以( 1,0)P ，(1,0)Q为焦点，4为长轴长的椭圆，4 分 故点E的轨迹的方程为221(0)43xyy+=；5 分 （2）解： 当直线l的斜率不存在时，直线l的方程是1x =. 此时点M的坐标是31,2，点N的坐标是31,2. 所以直线AM的方程是()122yx=+，直线BN的方程是()322yx=. 所以直线AM，BN的交点K的坐标是()4,3. 所以点K在直线4x =上. 6 分 当直线l的斜率存在时，设斜率为k.所以直线l的方程为()1yk x=. 联立方程组()221143yk xxy=+=， 消去y，整
19、理得()2223484120kxk xk+=. 显然0 . 不妨设()11,M x y，()22,N xy， 所以2122834kxxk+=+，212241234kx xk=+.7 分 因为直线AM的方程是()1122yyxx=+， 高二期末数学参考答案 第7页（共 8 页） 由()112 ,24.yyxxx=+=得116,24.yyxx=+= 即AM与=4x的交点11164,2yKx=+，8 分 同理可得BN与=4x的交点22224,2yKx=，9 分 因为()()121212126121622222k xk xyyxxxx=+ ()()()()()()12121261222122k xxk
20、 xxxx+=+，10 分 因为()()()()1212612221k xxk xx+ () ()12211212232222kx xxxx xxx=+()12122258kx xxx=+ ()22222 4125 8283434kkkkk=+()2880k= +=，11 分 所以1K与2K重合，即直线AM、BN的交点K在直线4x =上12 分 22 （本小题满分 12 分） 【解析】 （1）( )e2cosxfxx=+ 1 分 令)()(xfxh=，则( )00h=且( )esinxh xx=，2 分 )0(+，x，( )esin1 sin0 xh xxx= ， 所以( )(0)0h xh=
21、，即( )0fx， 所以)(xf在)0(+，的单调递增，3 分 高二期末数学参考答案 第8页（共 8 页） )0(，x，( )e2coscos10 xfxxx=+ ， 所以)(xf在)0(，单调递减.4 分 所以)(xf的单调递减区间为)0(，)(xf的单调递增区间为)0(+，5 分 （2）设2( )( )( )e2sin21xF xf xg xxxax=+，且0)0(=F，6 分 ( )ecos42xF xxax=+，令)()(xFxG=，( )esin4xG xxa=， 令)()(xGxH=，( )ecos1 cos0 xH xxx= ， 所以)(xG在)+，0上单调递增， 8 分 若41a，041)0()(=aGxG，所以)(xF在)+，0上单调递增， 所以0)0()(=FxF，所以0)0()(= FxF恒成立. 9 分 若41a，041)0(=aG， 0)24sin(24)24sin(24)24(ln(+=+=+aaaaaG，10 分 所以存在)24ln(0(0+ax，使0)(0= xG，且0(0)xx，0)( xG， 所以( )G x在0(0)x，单调递减，即)(xF在0(0)x，单调递减，所以0(0)xx，时， 0)0()(=FxF，所以0)0()(= FxF，不合题意. 综上，41a. 12 分
