1、必修第三章 3.2 解答题 21 题一、解答题1、某乡镇现在人均一年占有粮食 360kg，如果该乡镇人口平均每年增长 1.2%，粮食总产量平均每年增长4%，那么 x 年后若人均一年占有 ykg 粮食，求出函数 y 关于 x 的解析式2、某城市现有人口总数为 100 万人，如果年自然增长率为 1.2%，试解答下面的问题：(1)写出该城市人口总数 y(万人)与年份 x(年)的函数关系式；(2)计算 10 年以后该城市人口总数(精确到 0.1 万人)；(1.012101.127)3、依法纳税是每个公民应尽的义务，国家征收个人工资、薪金所得税是分段计算的：总收入不超过 2000 元的，免征个人工资、薪
2、金所得税；超过 2000 元部分需征税，设全月纳税所得额(所得额指工资、薪金中应纳税的部分)为 x， x全月总收入2000 元，税率如表所示：级数全月应纳税所得额 x 税率1 不超过 500 元部分 5%2 超过 500 元至 2000 元部分 10%3 超过 2000 元至 5000 元部分 15%9 超过 100000 元部分 45%(1)若应纳税额为 f(x)，试用分段函数表示 13 级纳税额 f(x)的计算公式；(2)某人 2008 年 10 月份工资总收入为 4200 元，试计算这个人 10 月份应纳个人所得税多少元？4、(10 分)根据总的发展战略，第二阶段，我国工农业生产总值从
3、2000 年到 2020 年间要翻两番，问这 20 年间，每年平均增长率至少要多少，才能完成这一阶段构想？5、商场销售某一品牌的豆浆机，购买人数是豆浆机标价的一次函数，标价越高，购买人数越少，把购买人数为零时的最低标价称为无效价格，已知无效价格为每台 300 元现在这种豆浆机的成本价是 100 元/台，商场以高于成本价的相同价格(标价)出售问：(1)商场要获取最大利润，豆浆机的标价应定为每台多少元？(2)通常情况下，获取最大利润只是一种“理想结果”，如果商场要获得最大利润的 75%，那么豆浆机的标价应为每台多少元？6、为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒已知药物释放过程中，室内每立方
4、米空气中的含药量 y(毫克)与时间 t(小时)成正比药物释放完毕后，y 与 t 的函数关系式1为 y16ta(a 为常数)，如图所示，根据图中提供的信息，回答下列问题：(1)从药物释放开始，每立方米空气中的含药量 y(毫克)与时间 t(小时)之间的函数关系式为；(2)据测定，当空气中每立方米的含药量降低到 0.25 毫克以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至少需要经过小时后，学生才能回到教室7、为了保护环境，实现城市绿化，某房地产公司要在拆迁地如图所示长方形 ABCD 上规划出一块长方形地面建住宅小区公园(公园的一边落在 CD 上)，但不超过文物保护区AEF 的红线 EF.问如何设计才
5、能使公园占地面积最大？并求出最大面积(已知 ABCD200m，BCAD160m，AE60m，AF40m)8、养鱼场中鱼群的最大养殖量为 mt，为保证鱼群的生长空间，实际养殖量不能达到最大养殖量，必须留出适当的空闲量已知鱼群的年增长量 yt 和实际养殖量 xt 与空闲率的乘积成正比，比例系数为 k(k0)(1)写出 y 关于 x 的函数关系式，并指出这个函数的定义域；(2)求鱼群年增长量的最大值；(3)当鱼群的年增长量达到最大值时，求 k 的取值范围9、(10 分)某公司通过报纸和电视两种方式做销售某种商品的广告，根据统计资料，销售收入 R(万元)与报纸广告费用 x1(万元)及电视广告费用 x2
6、(万元)之间的关系有如下经验公式：R2x12x2213x111x228.(1)若提供的广告费用共为 5 万元，求最优广告策略(即收益最大的策略，其中收益销售收入广告费用)(2)在广告费用不限的情况下，求最优广告策略10、为了发展电信事业方便用户，电信公司对移动电话采用不同的收费方式，其中所使用的“如意卡”与“便民卡”在某市范围内每月(30 天)的通话时间 x(分)与通话费 y(元)的关系如图所示(1)分别求出通话费 y1，y2与通话时间 x 之间的函数关系式；(2)请帮助用户计算，在一个月内使用哪种卡便宜11、我县某企业生产 A，B 两种产品，根据市场调查和预测，A 产品的利润与投资成正比，其
7、关系如图 1，B 产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图 2(注：利润与投资单位是万元)(1)分别将 A，B 两种产品的利润表示为投资的函数，并写出它们的函数关系；(2)该企业已筹集到 10 万元资金，并全部投入 A，B 两种产品的生产，问：怎样分配这 10 万元投资，才能使企业获得最大利润，其最大利润约为多少万元(精确到 1 万元)12、一片森林原来的面积为 a，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积1的一半时，所用时间是 10 年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的，已知到今年为止，42森林剩余面积为原来的，(1)求每年砍伐面积的百分比；2(2)到今年
8、为止，该森林已砍伐了多少年？(3)今后最多还能砍伐多少年？13、如图，有一块矩形空地，要在这块空地上开辟一个内接四边形为绿地，使其四个顶点分别落在矩形的四条边上，已知 ABa(a2)，BC2，且 AEAHCFCG，设 AEx，绿地面积为 y.(1)写出 y 关于 x 的函数关系式，并指出这个函数的定义域(2)当 AE 为何值时，绿地面积 y 最大？14、用模型 f(x)axb 来描述某企业每季度的利润 f(x)(亿元)和生产成本投入 x(亿元)的关系统计表 明，当每季度投入 1(亿元)时利润 y11(亿元)，当每季度投入 2(亿元)时利润 y22(亿元)，当每季度投入 3(亿元)时利润 y32
9、(亿元)又定义：当 f(x)使f(1)y12f(2)y22f(3)y32的数值最小时为最佳模型2(1)当 b，求相应的 a 使 f(x)axb 成为最佳模型；3(2)根据题(1)得到的最佳模型，请预测每季度投入 4(亿元)时利润 y4(亿元)的值15、根据市场调查，某种商品在最近的 40 天内的价格 f(t)与时间 t 满足关系 f(t)143(tN)，销售量 g(t)与时间 t 满足关系 g(t)t(0t40，tN)求33 这种商品的日销售额(销售量与价格之积)的最大值16、某种商品进价每个 80 元，零售价每个 100 元，为了促销拟采取买一个这种商品，赠送一个小礼 品的办法，实践表明：礼
10、品价值为 1 元时，销售量增加 10%，且在一定范围内，礼品价值为(n1)元时，比礼品价值为 n 元(nN*)时的销售量增加 10%.(1)写出礼品价值为 n 元时，利润 yn(元)与 n 的函数关系式；(2)请你设计礼品价值，以使商店获得最大利润17、已知桶 1 与桶 2 通过水管相连如图所示，开始时桶 1 中有 aL 水，tmin 后剩余的水符合指数衰减函数 y1aent，那么桶 2 中的水就是 y2aaent，假定 5min 后，桶 1 中的水与桶 2 中的水相等，a那么再过多长时间桶 1 中的水只有 L?418、东方旅社有 100 张普通客床，若每床每夜收租费 10 元时，客床可以全部
11、租出；若每床每夜收费提高 2 元，便减少 10 张客床租出；若再提高 2 元，便再减少 10 张客床租出；依此情况继续下去为 了获得租金最多，每床每夜租金选择多少？19、芦荟是一种经济价值很高的观赏、食用植物，不仅可美化居室、净化空气，又可美容保健，因此深受人们欢迎，在国内占有很大的市场某人准备进军芦荟市场，栽培芦荟，为了了解行情，进行市场调研，从 4 月 1 日起，芦荟的种植成本 Q(单位为：元/10kg)与上市时间 t(单位：天)的数据情况如下表：t50110250Q150108150(1)根据上表数据，从下列函数中选取一个最能反映芦荟种植成本 Q 与上市时间 t 的变化关系：Qatb，Q
12、at2btc，Qabt，Qalogbt；(2)利用你选择的函数，求芦荟种植成本最低时的上市天数及最低种植成本20、某工厂生产一种电脑元件，每月的生产数据如表：月份 123产量(千件)505253.9 为估计以后每月对该电脑元件的产量，以这三个月的产量为依据，用函数 yaxb 或 yaxb(a，b为常数，且a0)来模拟这种电脑元件的月产量 y 千件与月份的关系请问：用以上哪个模拟函数较好？说明理由21、某种放射性元素的原子数 N 随时间 t 的变化规律是 NN0et，其中 N0，是正常数(1)说明该函数是增函数还是减函数；(2)把 t 表示成原子数 N 的函数；N0(3)求当 N时，t 的值2以
13、下是答案一、解答题1、解设该乡镇现在人口量为 M，则该乡镇现在一年的粮食总产量为 360M，经过 1 年后，该乡镇粮食总产量为 360M(14%)，人口量为 M(11.2%)，则人均占有粮食为360M14%360M14%2；经过 2 年后，人均占有粮食为；经过 x 年后，人均占有粮食为 y M11.2%M11.2%2360M14%x1.04，即所求函数解析式为 y360()x.M11.2%x1.0122、【解析】(1)1 年后该城市人口总数为y1001001.2%100(11.2%)2 年后该城市人口总数为y100(11.2%)100(11.2%)1.2%100(11.2%)2.3 年后该城市
14、人口总数为y100(11.2%)2100(11.2%)21.2%100(11.2%)2(11.2%)100(11.2%)3.x 年后该城市人口总数为y100(11.2%)x(xN)(2)10 年后人口数为 100(11.2%)10112.7(万)3、【解析】(1)第 1 级：f(x)x5%0.05x第 2 级：f(x)5005%(x500)10%0.1x25第 3 级：f(x)5005%150010%(x2000)15%0.15x125.0.05x(0 x500)f(x).0.1x25(500 x2000)0.15x125(2000 x5000)(2)这个人 10 月份的纳税所得额为42002
15、0002200(元)，f(2200)22000.15125205(元)，即这个人 10 月份应纳个人所得税 205 元4、【解析】设平均每年增长率为 x.从 2000 年到 2020 年共 21 年，若记 2000 年工农业总产值为 1，则2001,2002,2003，的年总产值分别为(1x)，(1x)2，(1x)3，第 n 年为(1x)n1.根据题意，有(1x)2022，两边取对数得 20lg(1x)2lg2，1即 lg(1x)lg2，10lg(1x)0.0301，1x1.072，x0.0727.2%.即平均每年增长 7.2%，即可完成第二阶段的任务5、【解析】设购买人数为 z，标价为 x，
16、则 z 是 x 的一次函数，有 zaxb(a0)又当 x300 时，z0，0300ab，b300a，有 zax300a.(1)设商场要获得最大利润，豆浆机的标价为每台 x 元，此时，所获利润为 y.则 y(x100)(ax300a)a(x2400 x30000)(100 x300)又a0，当 x200 时，y 最大所以，标价为每台 200 元时，所获利润最大(2)当 x200 时，ymax10000a，令 y10000a75%，即 a(x2400 x30000)10000a75%，解得 x150，或 x250.所以定价为每台 150 元或 250 元时，所获利润为最大利润的 75%.6、7、【
17、解析】如右图所示，设P 为 EF 上一点，矩形CGPH 为划出的公园，PH=x， 则PN=200-x.又AE=60，AF=40，由最大面积为 240662/3m2.mx8、【解析】(1)由题意得 ykxmkxx1m (0 xm)k(2)yx2kxmkmmxkm22.4m当 x 时，y2km最大，4即鱼群年增长量的最大值为 kmt.4(3)由题意可得 0 xym，mkm即 0m，2k0，0k2.9、【解析】(1)依题意 x1x25，x25x1，R2x12x2213x111x2282x12(5x1)213x111(5x1)283x1212x12(0 x15)，收益 yR53x1212x133(x1
18、2)299，当且仅当 x12 时取等号最优广告策略是报纸广告费用为 2 万元，电视广告费用为 3 万元(2)收益 yR(x1x2)2x12x2213x111x228(x1x2)2(x13)2(x25)21515，当且仅当 x13，x25 时取等号最优广告策略是报纸广告费用为 3 万元，电视广告费用为 5 万元10、【解析】(1)由图象可设 y1=k1x+29，y2=k2x，把点 B(30,35)、C(30,15)分别代入 y1，y2得k1=1/5，k2=1/2.y1=1/5x+29(x0)，y2=1/2x(x0)(2)令 y1=y2，即 1/5x+29=1/2x，则 x=962/3.当 x=9
19、62/3 时，y1=y2，两种卡收费一致；当 xy2，即便民卡便宜；当 x962/3 时，y1y2，即如意卡便宜11、解(1)投资为 x 万元，A 产品的利润为 f(x)万元，B 产品的利润为 g(x)万元，由题设 f(x)k1x，g(x)k2x，1155由图知 f(1)，k1，又 g(4)，k2.4424 15从而 f(x)x(x0)，g(x)x(x0)44(2)设 A 产品投入 x 万元，则 B 产品投入 10 x 万元，设企业的利润为 y 万元，x5yf(x)g(10 x)10 x(0 x10)，44令 10 xt，10t251565则 yt(t)2(0t10)，444216 525当
20、t，ymax4，此时 x103.75,10 x6.25.24所以投入 A 产品 3.75 万元，投入 B 产品 6.25 万元时，能使企业获得最大利润，且最大利润约为 4万 元12、解(1)设每年砍伐面积的百分比为 x(0 x0ax0由，得 02y2x2(a2)x，定义域为(0,2a2(2)当2，即 a6 时，4a2a22则 x时，y 取最大值；48 a2当2，即 a6 时，y2x2(a2)x 在(0,2上是增函数，4则 x2 时，ymax2a4.a2a22综上所述：当 a6，AE时，绿地面积取最大值；48 当 a6，AE2 时，绿地面积取最大值 2a4.14、解(1)b2时，f(1)y12f
21、(2)y22f(3)y3231114(a)2，26112a时，f(x)x为最佳模型223x28 (2)f(x)，则y4f(4).23315、解据题意，商品的价格随时间 t 变化，且在不同的区间 0t20 与 20t40 上，价格随时间t 的变化的关系式也不同，故应分类讨论设日销售额为 F(t)当 0t20，tN 时，1143F(t)(t11)(t)2331(t)2(946)，2114416264故当 t10 或 11时，F(t)max176.当 20t40 时，tN 时，14311F(t)(t41)(t)(t42)2，3333故当 t20 时，F(t)max161.综合、知当 t10 或 11
22、 时，日销售额最大，最大值为 176.16、解(1)设未赠礼品时的销售量为 m， 则当礼品价值为 n 元时，销售量为 m(110%)n.利润 yn(10080n)m(110%)n(20n)m1.1n(0n20，nN*)(2)令 yn1yn0，即(19n)m1.1n1(20n)m1.1n0.解得 n9，所以 y1y2y3y11y19.所以礼品价值为 9 元或 10 元时，商店获得最大利润17、解由题意得 ae5naae5n，即 e.5n12设再过 t min 后桶 1 中的水有aL，4n(t5)an(t5)1 则ae，e.44将式平方得 e.10n14 比较、得n(t5)10n，t5.即再过 5
23、 min 后桶 1 中的水只有aL.418、解设每床每夜租金为 102n(nN)，则租出的床位为10010n(nN 且 n10) 租金 f(n)(102n)(10010n)522520(n)2，24 其中 nN 且 n0)解得a2b48(两方程组的解相同)两函数分别为 y2x48 或 y2x48.当 x3 时，对于 y2x48 有 y54；当 x3 时，对于 y2x48 有 y56.由于 56 与 53.9 的误差较大， 选 yaxb 较好21、解(1)由于 N00，0，函数 NN0et是属于指数函数 yex类型的，所以它是减函数，即原子数 N 的值随时间 t 的增大而减少(2)将 NN0et写成 e，根据对数的定义有tln，所以t(lnNlnN0)(lnN0lnN)tNN11N0N0 N01(3)把 N代入 t(lnN0lnN)，21N01得 t(lnN0ln)ln2.2
