1、必修第三章 3.1 解答题 21 题一、解答题1、证明方程 63x2x在区间1,2内有唯一一个实数解，并求出这个实数解(精确度 0.1)12、判断函数 f(x)lnx在区间(1,3)内是否存在零点x13、(10 分)定义在 R 上的偶函数 yf(x)在(，0上递增，函数 f(x)的一个零点为，21求满足 f(logx)0 的 x 的取值集合94、求方程 2x33x30 的一个近似解(精确度 0.1)5、求方程 lnxx30 在(2,3)内的根(精确到 0.1)6、(10 分)在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障，这是一条 10km 长的线路，如何迅速查出故障所在？
2、如果沿着线路一小段一小段查找，困难很多，每查一个点要爬一次电线杆子，10km 长，大约有 200多根电线杆子呢！想一想，维修线路的工人师傅怎样工作最合理？7、已知函数 f(x)2xx2，问方程 f(x)0 在区间1，0内是否有解，为什么？8、讨论函数 f(x)lnx2x6 的零点个数19、定义在 R 上的偶函数 yf(x)在(，0上递增，函数 f(x)的一个零点为1，求满足 f(logx)240 的 x 的取值集合10、已知函数 f(x)3xx2，求方程 f(x)0 在区间1,0上实根的个数11、确定函数 f(x)log xx4 的零点所在的区间1212、当 a 取何值时，方程 ax22x10
3、 的一个根在(0,1)上，另一个根在(1,2)上13、下列是关于函数 yf(x)，xa，b的命题： 若x0a，b且满足 f(x0)0，则(x0,0)是 f(x)的一个零点；若 x0是 f(x)在a，b上的零点，则可用二分法求 x0的近似值；函数 f(x)的零点是方程 f(x)0 的根，但 f(x)0 的根不一定是函数 f(x)的零点；用二分法求方程的根时，得到的都是近似值 那么以上叙述中，正确的个数为()A0B1C3D414、在 26 枚崭新的金币中，混入了一枚外表与它们完全相同的假币(重量稍轻)，现在只有一台天平，请问：你最多称几次就可以发现这枚假币？15、证明：方程 x44x20 在区间1
4、,2内至少有两个实数解16、关于 x 的方程 mx22(m3)x2m140 有两实根，且一个大于 4，一个小于 4，求 m 的取值范围17、若方程 x2(k2)x2k10 的两根中，一根在 0 和 1 之间，另一根在 1 和 2 之间，求 k 的取值范围18、若函数 f(x)x3x22x2 的一个零点附近的函数值的参考数据如下表：f(1)2f(1.5)0.625f(1.25)0.984f(1.375)0.260f(1.4375)0.162f(1.40625)0.054求方程 x3x22x20 的一个近似根(精确度 0.1)19、分别求实数 m 的范围，使关于 x 的方程 x22xm10，(1)
5、有两个负根；(2)有两个实根，且一根比 2 大，另一根比 2 小；(3)有两个实根，且都比 1 大20、已知函数 f(x)x|x4|.(1)画出函数 f(x)x|x4|的图象；(2)求函数 f(x)在区间1,5上的最大值和最小值；(3)当实数 a 为何值时，方程 f(x)a 有三个解？x221、已知函数 f(x)axx1(a1)(1)证明：函数 f(x)在(1，)上为增函数；(2)用反证法证明方程 f(x)0 没有负数根以下是答案一、解答题1、证明设函数 f(x)2x3x6，f(1)10， 又f(x)是增函数，函数 f(x)2x3x6 在区间1,2内有唯一的零点，则方程 63x2x在区间1,2
6、内有唯一一个实数解设该解为 x0，则 x01,2，取 x11.5，f(1.5)1.330，f(1)f(1.5)0，f(1)f(1.25)0，x0(1,1.25)，取 x31.125，f(1.125)0.4440，f(1.125)f(1.25)0，x0(1.125,1.25)，取 x41.1875，f(1.1875)0.160，f(1.1875)f(1.25)0，x0(1.1875,1.25)|1.251.1875|0.06250.1，1.1875 可作为这个方程的实数解12、【解析】因为函数 f(x)lnx的图象在1,3上是连续不断的一条曲线，且 f(1)x110，从而由零点存在性定理知，函数
7、在(1,3)内存在零点33、【解析】1是函数的一个零点，21f()0.2yf(x)是偶函数，且在(，0上递增，111当 logx0，即 x1 时，logx，解得 x3.即 1x3.99211由对称性可知，当 logx0 时，x1.931综上所述，x 的取值范围为，3.34、【解析】设 f(x)2x33x3，经试算，f(0)30，所以函数在(0,1)内存在零点，即方程 2x33x30 在(0,1)内有实数解，取(0,1)的中点 0.5，经计算 f(0.5)0，所以方程 2x33x30 在(0.5,1)内有解如此继续下去，得到方程的一个实数解所在的区间，如下表：(a，b)(a，b)的中点f(a)f
8、(b)fab2(0,1)0.5f(0)0f(0.5)0(0.5,1)0.75f(0.5)0f(0.75)0(0.5,0.75)0.625f(0.5)0f(0.625)0(0.625,0.75)0.6875f(0.625)0f(0.6875)0因为|0.68750.75|0.06250.1，所以方程 2x33x30 的精确度为 0.1 的一个近似解可取为 0.75.5、【解析】令 f(x)lnxx3，即求函数 f(x)在(2,3)内的零点用二分法逐步计算列表如下：区间中点中点函数值2,32.50.41632,2.52.250.06092,2.252.1250.12122.125,2.252.18
9、750.02972.1875,2.25由于区间2.1875,2.25的长度 2.252.18750.06250.1，所以其两个端点的近似值2.2 就是方程的根6、【解析】如图他首先从点 C 查，用随身带的话机向两端测试时，发现 AC 段正常，断定故障在 BC 段，再查 BC 段中点 D，这次发现 BD 段正常，可见故障在 CD 段，再查 CD 中点 E.这样每查一次，就可以把待查的线路长度缩减一半，故经过 7 次查找，即可将故障发生的范围缩小到50m100m 之间，即一两根电线杆附近17、解析因为 f(1)21(1)220，而函数 f(x)2xx2的图象是连续曲线，所以f(x)在区间1,0内有
10、零点，即方程 f(x)0 在区间1,0内有解8、解析函数的定义域为(0，)，任取 x1、x2(0，)，且 x1x2.f(x1)f(x2)(lnx12x16)(lnx22x26)(lnx1lnx2)2(x1x2)，0 x1x2，lnx1lnx2.f(x1)f(x2)0，即 f(x1)f(x2)f(x)在(0，)上是增函数又 f(1)ln121640.f(3)ln3236ln30f(x)在(1,3)内有零点由 f(x)是单调函数知，f(x)有且仅有一个零点129、解析是函数的零点，f12 0，1f(x)为偶函数，f()0，2f(x)在(，0上递增，f(log x)f112 ，410logx，1x2
11、，124f(x)为偶函数，f(x)在0，)上单调减，1又 f(logx)f()，1241110logx，x1，x2.122241故 x 的取值集合为x|x2210、【解析】f(1)30，f(1)f(0)0.又函数 f(x)在1,0上的图象是连续曲线，方程 f(x)0 在1,0内有实根又函数 f(x)3xx2在1,0上是增函数，方程 f(x)0 在1,0上只有一个实数根11、解(答案不唯一)设 y1logx，y24x，则 f(x)的零点个数即 y1与 y2的交点个数，作出两函数图象，如图12由图知，y1与 y2在区间(0,1)内有一个交点，当 x4 时，y12，y20，f(4)0，在(4,8)内
12、两曲线又有一个交点 故函数 f(x)的两零点所在的区间为(0,1)，(4,8)12、解当 a0 时，方程即为2x10，只有一根，不符合题意当 a0 时，设 f(x)ax22x1，方程的根分别在区间(0,1)，(1,2)上，f0010，即a1.，解得 3a210f104a410当 a0 时，设方程的两根为 x1，x2，1则 x1x20，x1，x2一正一负不符合题意a3综上，a 的取值范围为a0，f(0)20.所以在(1,0)，(0,2)内都有实数解 从而证明该方程在给定的区间内至少有两个实数解16、解令 f(x)mx22(m3)x2m14.m0依题意得f40即26m380m0m0，解得19m0f
13、00，即f101k22k1042k42k10 1k.22318、解f(1.375)f(1.4375)0，且|1.43751.375|0.06250.1，方程 x3x22x20 的一个近似根可取为区间(1.375，1.4375)中任意一个值，通常我们取区间端点值，比如 1.4375.19、解(1)方法一(方程思想)设方程的两个根为 x1，x2，44m10，则有两个负根的条件是x1x220， 解得1m0.方法二(函数思想)设函数 f(x)x22xm1，则原问题转化为函数 f(x)与 x 轴的两个交点均在 y 轴左侧，结合函数的图 象，有44m10，b2a10，解得10，y2x220，问题转化为求方
14、程(y2)22(y2)m 10，即方程 y26ym90 有两个异号实根的条件，故有 y1y2m90，解得 m9. 方法二(函数思想)设函数 f(x)x22xm1，则原问题转化为函数 f(x)与 x 轴的两个交点分别在 2 的两侧，结合函数的 图象，有 f(2)m90，解得 m0，x11x210 44m10，或 b11，2a(函数思想)，f1m40 因为两方程组无解，故解集为空集20、解(1)f(x)x|x4|x24x，x4，x24x，x4.图象如右图所示(2)当 x1,5时，f(x)0 且当 x4 时 f(x)0，故 f(x)min0；又 f(2)4，f(5)5，故 f(x)max5. (3)
15、由图象可知，当 0a4时， 方程 f(x)a 有三个解21、解析(1)任取 x1、x2(1，)，不妨设 x10，ax2x11，且 ax10.ax2ax1ax1(ax2x11)0.又x110，x210，x22x12(x22)(x11)(x12)(x21)x21x11(x11)(x21)3(x2x1)0(x11)(x21)x22x12于是 f(x2)f(x1)ax2ax10，故函数 f(x)在(1，)上为增函数x21x11x02(2)证法 1：设存在 x00(x01)，满足 f(x0)0，则 ax0，且 0ax01，x01x02101，即x02.与假设 x00 矛盾，故方程 f(x)0 没有负数根x012证法 2：设存在 x00(x01)，满足 f(x0)0 x02()若1x00，则2，ax01，x01f(x0)1 与 f(x0)0 矛盾x02()若 x00，ax00，x01f(x0)0 与 f(x0)0 矛盾，故方程 f(x)0 没有负数根
