1、4 4 平面弯曲平面弯曲4.4 4.4 平面弯曲梁的变形平面弯曲梁的变形4.3 4.3 平面弯曲梁的应力平面弯曲梁的应力4.2 4.2 直梁弯曲的内力直梁弯曲的内力4.1 4.1 平面弯曲的概念及实例平面弯曲的概念及实例 4.1 平面弯曲的概念及实例平面弯曲的概念及实例 图4-1 桥式起重机受力模型PqABF1F2R1R2xyO1O1梁梁： 以弯曲变形（以弯曲变形（横向力）横向力）为主的杆件为主的杆件纵向对称面：纵向对称面： 对称轴与轴线组成的平面对称轴与轴线组成的平面平面弯曲：平面弯曲： 梁轴线弯曲成此平面内的一条曲线梁轴线弯曲成此平面内的一条曲线 M M 平面弯曲的定义：梁的轴线弯成对称平
2、面弯曲的定义：梁的轴线弯成对称平面内的一条平面曲线。平面内的一条平面曲线。集中载荷集中载荷P分布载荷分布载荷q集中力偶集中力偶m纵向对称面轴线PmPPmq平面弯曲的特点平面弯曲的特点 有纵向对称面有纵向对称面; 横向力横向力作用：作用在纵向对称面内作用：作用在纵向对称面内 与杆件轴线相垂直的外力与杆件轴线相垂直的外力; 轴线在此平面内由直线变成曲线轴线在此平面内由直线变成曲线.载荷的简化：载荷的简化： 集中载荷、分布载荷、集中载荷、分布载荷、 集中力偶集中力偶外伸梁外伸梁简支梁简支梁悬臂梁悬臂梁 根据梁固定情况可分为：根据梁固定情况可分为： 4.2 直梁平面弯曲时的直梁平面弯曲时的内力内力求出
3、反力：求出反力： NA=NB=P/2采用截面法求内力：采用截面法求内力： 以以左段左段为研究对象：为研究对象： QNAP/2 M=NA.x=P.x/2 以以右段右段为研究对象：为研究对象： QP-NB=P/2 M=NB(L-x)-P(L/2-x)=P.x/2 L/2 L/2 P x A B NA NB Q M Q P M 一一) 横截面的横截面的内力内力剪力和弯矩剪力和弯矩剪力和弯矩的符号规定剪力和弯矩的符号规定QM正剪力正弯矩取左段作研究对象：取左段作研究对象： 若外力向上，横截若外力向上，横截面上产生的面上产生的Q和和M为正。为正。横截面上设横截面上设Q为向下（正），为向下（正），M为逆时
4、针（正）为逆时针（正） L/2 L/2 P x A B NA QM 横截面上产生的剪横截面上产生的剪力力Q的数值的数值为该段为该段上所有外力的代数上所有外力的代数和。和。 横截面上产生的弯矩横截面上产生的弯矩M的数值的数值为该段上所有为该段上所有外力对截面形心之矩的代数和。外力对截面形心之矩的代数和。二二) 剪力方程和弯矩方程剪力方程和弯矩方程-剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图 剪力和弯矩沿着梁轴线分布的数学表剪力和弯矩沿着梁轴线分布的数学表达式达式Q(x)、M(x)为剪力方程和弯矩方为剪力方程和弯矩方程。程。 以以x为横坐标、为横坐标、Q和和M为纵坐标作图即为纵坐标作图即得剪力图和弯矩图。得剪力
5、图和弯矩图。 画简支梁的剪力图和弯矩图画简支梁的剪力图和弯矩图(QM图图) a P A B C Q M x x (+) (+) () a Pa/2 P/2-P/2例例4-2 求简支梁的剪力和弯矩图求简支梁的剪力和弯矩图 a b P x A B YA YB Q1 M1 M Q P C 1、求反力：、求反力： xbaPbxxbaPbxYMYQAA11baPabaPbYYBA,AC段段 (0 xa)2、求剪力和弯矩方程、求剪力和弯矩方程以左段作研究对象以左段作研究对象 xbaPaPaxbaYaxPxxbaPaxBABYMYQ)()(22BC段段(ax(a+b) a b P x A B YB Q2 M
6、2 C a+b-x 3. 画简支梁的剪力图和弯矩图画简支梁的剪力图和弯矩图(QM图图) a b P A B C Q M x x (+) (+) () Pb/(a+b)-Pa/(a+b)Pab/(a+b)例例4-3 求悬臂梁的剪力图和弯矩图求悬臂梁的剪力图和弯矩图QMxLqq 剪力方程：剪力方程： Q(x)=-qx (0 xL) 弯矩方程：弯矩方程： M(x)=-qx2 / 2 (0 xL)悬臂梁的剪力弯矩图（悬臂梁的剪力弯矩图（QM图图) q Q M x x -qL -0.5qL2 () () L 例例4-3 悬臂梁受集中力作用时的剪力弯矩图悬臂梁受集中力作用时的剪力弯矩图例例4-4：一受均匀
7、载荷作用的简支梁：一受均匀载荷作用的简支梁(P66)。430AB q=6103 KN/m430800CDRARBkNRRBA2400kNQkNQDC24002400mkNMmkNMDC1032430240010324302400mkNM151224.04.0106)4.043.0(24003max430AB q=6 103KN/m430800CDQMkN2400kN2400mkN 1032mkN 1032mkN 1512RARB4.2.3 载荷集度、剪力和弯矩间的关系叠加法作QM图qP=ql/3MQxx(+)(+)(-)(-)l/3qMqQqxx-ql(-)(-)+ + + +P=ql/3Mp
8、Qpxx(+)(+)例例4-44-4P66P66：截面法求图、图：截面法求图、图三三) 剪力、弯矩和载荷集度间的微分关系剪力、弯矩和载荷集度间的微分关系 q A B q(x)dx Q M Q+dQ M+dM 0)()()()(, 0dxxqxdQxQxQFy)()(xqdxxdQ剪力图上任一点的斜率即为梁上相应点处的载荷集度剪力图上任一点的斜率即为梁上相应点处的载荷集度qQdxdMQdxdMdxdxqdMMMQdxMO02/.)(0 q=0 q0 Q(x) + - M(x) qdMQdxdMqdxdQxd22弯矩图上任一点的斜率即为梁上相应横截面上的剪力弯矩图上任一点的斜率即为梁上相应横截面上
9、的剪力QQ、M图的四点规律图的四点规律1 1. .梁上某段无分布力，梁上某段无分布力，Q Q为水平线，为水平线，M M为斜直线为斜直线2.2.有向下的分布力，有向下的分布力，Q Q图递减图递减()()，M M为上凸为上凸()() 有向上的分布力，有向上的分布力，Q Q图递增图递增()()，M M为下凹为下凹( ( ) ) 如分布力均匀，如分布力均匀，Q Q为斜直线，为斜直线，M M为二次抛物线为二次抛物线3.3.在集中力作用处，在集中力作用处，Q Q图有突变图有突变, ,突变值为集中力突变值为集中力 的值，的值，M M图有折角。图有折角。 在集中力偶处，弯矩图有突变，突变值为集中在集中力偶处，
10、弯矩图有突变，突变值为集中 力的值。力的值。4.4.某截面某截面Q Q0 0，则弯矩为极值。，则弯矩为极值。例例4-54-5：判断：判断Q Q、M M图是否有错图是否有错? ?xM60kNmP=70kNq=20kN/m1m2mRA=60kNRB=50KNACBQx60kN50kN例：判断例：判断Q、M图是否有错图是否有错？Qx60kN50kNxM60kNm10kNP=70kNq=20kN/m1m2mRB=50KNACBRA=60kNa)q=15kN/mM0=10kNmACB4m0.5m1mRA=36.4KNRB=23.6KNb)36.4KN23.6KN144.2KN23.6kNmQMq=15k
11、N/mM0=10kNmACB4m0.5m1mRA=36.4KNRB=23.6KN36.4KN23.6KNQ23.6kNmM例例4-6：一外伸梁如图，画其剪力和弯矩图。：一外伸梁如图，画其剪力和弯矩图。RBEP1=2kNq=1kN/m400400CDM0=10kN-mP2=2kN400300按静力平衡方程求得支反力为：按静力平衡方程求得支反力为：kNRqPMRPMBBA50288412150102RARARBEP1=2kNq=1kN/m400400CDM0=10kN-mP2=2kN400300按静力平衡方程求得支反力为：按静力平衡方程求得支反力为：kNRPRPqRFABAY708021EP1=2
12、kNq=1kN/m4m4mCDM0=10kN-mP2=2kN4m3mRARBkN7kN52kN7kN3kN1kN-3kN(7-4q= 3kN)FF5mQ4.2.3 载荷集度、剪力和弯矩间的关系RBEP1=2kNq=1kN/m4m4mCDM0=10kN-mP2=2kN4m3mkN7kN56kN-mMD=16-M0=6 kN-mMD=RA 8-q8 8/2-P1 4= 16 kN-mMmax=?Where?RAF5mMmax=RA5-P11- q 5 5/2= 20.5 kN-mmKNqRMAC.202444M4.2.3 载荷集度、剪力和弯矩间的关系 Pa C D a P A B P a P P
13、Q M x x 平面纯弯曲平面纯弯曲4.3 4.3 平面弯曲的正应力平面弯曲的正应力2) 纵向直线变弧线，纵向直线变弧线，ab缩短，缩短，ab伸长，伸长，o1o2长长短不变，该层纤维称中短不变，该层纤维称中z性层。性层。平面纯弯曲的实验现象平面纯弯曲的实验现象1) 弯曲后弯曲后mn不平行不平行mn，但仍与纵向轴线垂，但仍与纵向轴线垂直；直；mm1n1nacdbO2O1 刚性平面假设（平面截面假设）：刚性平面假设（平面截面假设）： 1 梁的所有横截面在变形过程中要发生转动，但梁的所有横截面在变形过程中要发生转动，但 仍保持平面，且变形后仍与梁轴线垂直。仍保持平面，且变形后仍与梁轴线垂直。 2 梁
14、所有与轴线平行的纵向纤维都是轴向拉伸或梁所有与轴线平行的纵向纤维都是轴向拉伸或 压缩，没有相互挤压。压缩，没有相互挤压。 3 纵向纤维的变形量与离开纵向纤维的变形量与离开中性轴中性轴的距离有关，的距离有关， 且沿宽度相等。且沿宽度相等。中性层中性层中性轴中性轴一一) 纯弯曲时梁横截面上的正应力纯弯曲时梁横截面上的正应力 2) 物理方程物理方程：yddd)y(yEE 1)变形几何方程变形几何方程: 3) 静力关系静力关系:正应力的计算正应力的计算IZyM1)变形几何方程变形几何方程:2) 物理方程物理方程:yEE dyddcoo)(1121(yyoooodc)(112121(y梁截面上的应力分布
15、梁截面上的应力分布 M M x y Z 3）静力平衡计算弯曲正应力）静力平衡计算弯曲正应力 静力平衡方程：静力平衡方程： dAEydAM0dAzM0dANy2ZydAyIZ2定义：定义：ZIEM1则有：则有：轴惯性矩轴惯性矩称为整个横截面对中性轴的惯性矩称为整个横截面对中性轴的惯性矩yoxyzdAdAM 从而可推得从而可推得：IZyMWMZmaxmaxyIWZZmax 横截面上最大的正应力横截面上最大的正应力定义：定义：截面的截面的抗弯截面模量抗弯截面模量轴惯性矩轴惯性矩I IZ Z：关于截面几何尺寸的量，：关于截面几何尺寸的量， EIEIZ Z：梁的抗弯刚度。：梁的抗弯刚度。代入物理方程代入
16、物理方程yEE ZIEM14.4 常用截面的惯性矩和抗弯截面模量常用截面的惯性矩和抗弯截面模量 矩形截面矩形截面1232222hyyIbbdydAhhZ62maxhyIWbZZh/2 h/2 b z y y dy 惯性矩惯性矩抗弯截面模量抗弯截面模量 圆形截面圆形截面 y z d z y dy dDdyDyDZdyZdAyyIZcos2sin2cos2222惯性矩惯性矩64)4cos1 (2132242/2/42DDyIddyZZDDyIWZZ33max1 . 032抗弯截面模量抗弯截面模量 3 圆环截面圆环截面DdOzyD O z y dOzyssDddDddddDDdDdDIZ333223
17、4444393. 08)(64646464sDddDyIWZZ244max785. 0324.5 弯曲正应力强度条件弯曲正应力强度条件 若横截面对中性轴不对称，或材料的抗若横截面对中性轴不对称，或材料的抗拉、压能力不等时，须分别计算最大拉拉、压能力不等时，须分别计算最大拉应力和最大压应力，强度条件为：应力和最大压应力，强度条件为： WMZmaxmax拉拉WM1maxmax压压WM2maxmax例例3： 某梁由工字钢制成，材料为某梁由工字钢制成，材料为Q345，=160MPa, P=20KN,q=10KN/m,M=40KN.m,确定工字钢的型号确定工字钢的型号 1 画受力图画受力图0241044
18、01200YMBCKNYB25024104405200YMcBKNYC35 2 求支座反力求支座反力ACqPPBYBQMMQq4m1mMAx1x2YcYB 在在AC段：段：(0 x11) 左段作研究对象左段作研究对象xxMxQ111112020 xxxMxxQ2222222252510253 列剪力和弯矩方程：分列剪力和弯矩方程：分AC和和CB段段 在在CB段：段：(0 x24)， 右段为研究对象右段为研究对象ACqPPBYBQ1M1M1Q 1q4m1mMAx1x2在x=2.5m,|M|max=31.25KN.mACqPQMB15KN20KN25KN(+)()()xM20KN.m31.25KN
19、.m(+)()x4 、 画画 Q/M 图图 mmMWZ33max1019516025.315 求最大求最大WZ 查表查表P293，应选用，应选用20a工字钢，工字钢，WZ237103 mm3例4-7：P73自学二二.(20.(20) )由铸铁制成的槽形截面梁，由铸铁制成的槽形截面梁，Jz=40106mm4，y1=140mm，y2=60mm， 拉拉40Mpa，压压150Mpa，试校核梁的强度，试校核梁的强度。4.6 提高梁抗弯强度的主要途径提高梁抗弯强度的主要途径1 选择合理截面，增加抗弯模量选择合理截面，增加抗弯模量 (提高截面的抗弯模量提高截面的抗弯模量W=bh2/6)以比值以比值WZ/A来
20、衡量截面的合理程来衡量截面的合理程度，该值越大，截面越经济合理。度，该值越大，截面越经济合理。 矩形截面：矩形截面： 圆形截面：圆形截面： 工字形截面：工字形截面：hhbhbhAWz167. 0662ddddAWz125. 0843223hAWz)31. 027. 0(Zy拉max压maxm材料性能抗拉和抗压不同时，应材料性能抗拉和抗压不同时，应采用不对称的中性轴，如铸铁：采用不对称的中性轴，如铸铁：2) 合理布置支座和载荷作用位置合理布置支座和载荷作用位置 （减少梁中最大弯矩（减少梁中最大弯矩Mmax)AqBPMxPL/4PL/8ABPMxPPL163PL41xxLmmqARBRm(a)xq
21、L /8AB2+aaLmqmx(b)qL(L-8a)/8-m+-PABmxPL/4+mxBAq=P/LPL/8图4-22 改变载荷分布对梁中弯矩的影响+L/2L/2L(a)(b)4.7 弯曲变形弯曲变形一一) 挠度和转角挠度和转角挠曲线：挠曲线：y=f(x)挠度：挠度：y(x)转角：转角： tg = yxPxyy maxmaxyy二二) 刚度条件刚度条件三三) 挠曲线微分方程及其积分挠曲线微分方程及其积分 挠曲线可用挠曲线可用y=f(x)表示，则转角表示，则转角)(xftg 挠曲线曲率：挠曲线曲率：EIxMx)()1（ 数学定义曲率：数学定义曲率：yyxy 2)1123（EIy= M(x)dx
22、.dx+Cx+DEIxMxdydy)(22 综合两式，得挠曲线近似微分方程：综合两式，得挠曲线近似微分方程： 积分一次得转角方程：积分一次得转角方程：EI = M(x)dx+C 再积分得挠度方程：再积分得挠度方程：四四) 积分法求梁的变形积分法求梁的变形)()(xLPxM)(xLPyEI CPPLxyEIx2211.1.列出弯矩方程列出弯矩方程2. 建立挠曲线微分方程建立挠曲线微分方程 积分一次积分一次xPxyy 当当x=0时，时，y=0，因此，因此C=0 当当x=0时，时，y=0，因此，因此D=0DCxPPLEIyxx326121 第二次积分第二次积分: 确定积分常数：确定积分常数：3. 确
23、定转角和挠度方程确定转角和挠度方程 发生在发生在x=L处处xPPLxyEI221xxPPLEIy326121EIpEIpLyL323max2max 转角方程：转角方程： 挠度方程：挠度方程：4. 确定最大转角和最大挠度确定最大转角和最大挠度五) 叠加法求梁的变形AqBPABPAqB+=CCCymax=ypc+yqcEJplypc483EJqlyqc38454例：习题3-12（b）ABCFD3aaEJ16Fa9ayEJ16Fa9EJ16Fl3B22BC六）梁的刚度条件六）梁的刚度条件maxmax yy七七) 提高梁抗弯刚度的主要途径提高梁抗弯刚度的主要途径 1 减少垮度，或增加支座；减少垮度，或
24、增加支座； 2 选用合理截面形状。选用合理截面形状。本章作业：本章作业：-（c,f,b）,4-2ab, 4-7，4-8、4-15 （2）惯矩）惯矩Iz和抗弯截面模量和抗弯截面模量Wz矩形矩形61223hwhIbbzz圆形圆形DDWDIzz3341 . 03264（3）弯曲正应力强度条件）弯曲正应力强度条件 wMzmaxmax第四章的重点与要点第四章的重点与要点（1）掌握）掌握Q、M方程的写法，方程的写法，Q、M图的画法图的画法, 注意内力符号注意内力符号弯应力最大截面习题4-1(C) 剪力和弯矩方程 AC段 (0 xL/2) CB段 (L/2xL)L/2L/2FMoABMoMoM1M2Q1Q2
25、CF10)(0)(11MMQoxxxxFxFxMMQo1015)5 . 0()(10)(22L/2L/2FM oABCQx( )10KN(+)xM10KN.mKNm5KN.m4-1(f) 1 .求支反力 NA=12.5KN NC=-12.5KN 2. 列方程 在AC段：(0 x2a) 在BC段：(2ax3a)ABMCNANCM1Q1M2Q2NANCNAxxxMQ5 .12)(5 .12)(1110)(0)(22MoxxMQABMCQM(+)(+)12.5KN10KN.m习题4-7AqBPQx11.2(+)(-)Mx16.125(+)21.21.5m1.0m10.9MPaWM5 .2600008
26、. 021200maxmax最大应力：A点应力： 拉应力B点应力： 压应力MPayIMZAA18. 800008. 06 . 010900MPayIMZBB1 .1000008. 05 . 016125- A q B G A B G mKNGlMMG5641max解：解：初选工字钢初选工字钢初选工字钢初选工字钢a，查得：，查得： 3561max1048.41251056mmMWz3508, ,/492.43cmWzmkgq叠加法可知：叠加法可知： MPaWM95.116105081074.5940933maxmaxNmLqLLGM74.5940984max故可选工字钢故可选工字钢a。4-15q F q + + F 解：解：悬臂梁的主动载荷为自重悬臂梁的主动载荷为自重q和集中和集中查得：自重查得：自重 MPaWM25.21104752106.2018633maxmax34475,7600/2 .373/083.38cmWxcmIxmNmkgq叠加法可知：叠加法可知：NmLqLFLMMMFq6 .2018622max21yyy挠度为：挠度为：查得：查得：EIqlyEIFLy8,34231mEIqlEIFLyxx00209. 0282343mmLy0025. 0400/所以，该梁的强度和刚度足够。所以，该梁的强度和刚度足够。
